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1、高中数学经典解题技巧和方法平面向量高中数学经典解题技巧:平面向量 一、向量的有关概念及运算 解题技巧:向量的有关概念及运算要注意以下几点: (1)正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。 (2)正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻 (3)用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。 a=(m,n)bp,q),(例1:(2010?山东高考理科?,12)定义平面向量之间的一种运算“?”如下，对任意的，ab,mqnp令?，下面说法错误的是( )
2、,abababba,0A.若与共线，则? B.? 2222)，,()abab,(),a,(ab)bab,RC.对任意的,，有? D. (? 【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力. 【思路点拨】根据所给定义逐个验证. ,mqnp0ababba,pnqma【规范解答】选B，若与共线，则有?，故A正确;因为? ,，而?,b,mqnpabba，所以有? ，故选项B错误，故选B. 【方法技巧】自定义型信息题 1、基本特点:该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型. 2、基本对策:解答这类问题时，要通过联想类比，仔细
3、分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性 二、与平面向量数量积有关的问题 解题技巧:与平面向量数量积有关的问题 ababxxyyab,，,00,其中、1(解决垂直问题:均为非零向量。这一条件不能忽视。 1212222AxyBxyABxxyy(,),(,),|()()则,，,|aaa,2(求长度问题:，特别地。 112212123(求夹角问题:求两非零向量夹角的依据 abxxyy，1212cos(,).ab, 2222|abxyxy，1122uuuruuurABAC,例2:1.(2010?湖南高考理科?,4)在RtABC,中，C=90?AC=4，则等于( ) A、-16 B、-8 C、8
4、 D、16 【命题立意】以直角三角形为依托，考查平面向量的数量积，基底的选择和平面向量基本定理. 【思路点拨】由于，C=90，因此选向量CA，CB为基底. uuuruuur2ABAC,【规范解答】 选D .=(CB-CA)?(-CA)=-CB?CA+CA=16.【方法技巧】平面向量的考查常常有两条路:一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理.二是考查数量积，平面向量基本定理，考查垂直，夹角和距离(长度). ccabab2. (2010?广东高考文科?,5)若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x)满足条件(8)?=30，则x= ( )A(6 B(5 C(4 D(3 【命
5、题立意】本题考察向量的坐标运算及向量的数量积运算. 8ab,【思路点拨】 先算出，再由向量的数量积列出方程，从而求出x. (8)(6,3)(3,)abcx,8(1,1)(2,5)(6,3)8ab,【规范解答】选C. ，所以 x,4,3018330，,xC. 即:，解得: ，故选. 三、向量与三角函数的综合 例3(在直角坐标系 , xOy中,已知向量a,(,1,2),又点A(8,0),B(ksin,t)(0,.t,R).,2AB,a,且|OA|,|AB|,求向量OB (I)若; k,4,且tsin,取最大值为4时,求OA,OB.AB与向量a (II)若向量共线，当 AB,(ksin,8,t),？
6、AB,a,？,ksin,，8，2t,0【解析】(1) 2分 22？|OA|,|AB|,？64,(ksin,8)，t又 ,4016540165，,kksinsin,55,或解得 4分 ,8585,tt,55,4016585，4016585,或 6分 ？,OB(,)OB,(,)5555？AB与向量a共线,？t,2ksin,，16 (II) 8分 4322 tsin(2ksin16)sin2k(sin)？,，,，kk4432 10分 又k4,01,sin时,tsin取最大值为,？,？,kkk32, 由,4,得k,8,此时,OB,(4,8),k6？,OAOB(8,0)(4,8)32 12分 注:向量与
7、三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性。(1)解决这类问题的基本思路方法是将向量转化为代数运算;(2)常用到向量的数乘、向量的代数运算，以及数形结合的思路。 ababab,0,1,22ab,例4(2010?重庆高考理科?,2)已知向量，满足，则( ) 22A(0 B( C(4 D(8 【命题立意】本小题考查向量的基础知识、数量积的运算及性质，考查向量运算的几何意义，考查数形结合的思想方法. 2【思路点拨】根据公式进行计算，或数形结合法，根据向量的 aa,三角形法则、平行四边形法则求解. 2222242ababaabb,，()【规范解答】选B (方法一) ,，,40422ab,0;(方法二)数
8、形结合法:由条件知，以向量 abab,1,22=2a，为邻边的平行四边形为矩形，又因为，所以， 2ab,22则是边长为2的正方形的一条对角线确定的向量，其长度为，如图所示. 2【方法技巧】方法一:灵活应用公式， aa,abab,0方法二:熟记向量及向量和的三角形法则 例5(2010?全国高考卷?理科?,8)?ABC中，点D在 抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x0)。CBa边AB上，CD平分?ACB，若= , 5.圆周角和圆心角的关系:CAbab,1,2CD= , ， 则=( ) 函数的增减性：12213443abababab(A)+ (B) + (C)+ (D) + 33553
9、535【命题立意】本题考查了平面向量基本定理及三角形法则的知识。 设O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；dr 直线L和O相交.【思路点拨】运用平面向量三角形法则解决。由角平分线性质知DB:AD= CB:CA =1:2 2、探索并掌握20以内退位减法、100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。abCD 这样可以用向量, 表示 。22ADAB,【规范解答】 选B，由题意得AD:DB=AC;CB=2:1,AD=AB,所以CDCAb +33二次方程的两个实数根1,a
10、+b tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与邻边的比；36.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30，南偏东45(东南方向)、南偏西为60，北偏西60。【方法技巧】角平分线性质、平面向量基本定理及三角形法则 ,1,2,(2),2,，例6(2010?浙江高考文科?,13)已知平面向量则的值是 。 【命题立意】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，属中档题。 【思路点拨】本题先把垂直关系转化为数量积为0，再利用向量求模公式求解。 若a0，则当x时，y随x的增大而减小。221,14，,-20【规范解答】由题意可知，结合，解得， ,，2(一)情感与态度：2224442410,，,，,，,102,，所以=，开方可知答案为. 10【答案】 |aaa,abab,0【方法技巧】(1);(2)。