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1、高中数学解题基本方法+常用数学思想+高考热点问题及解一 配方法 . 2 二、换元法 . 6 三、待定系数法 . 13 四、定义法 . 18 五、数学归纳法 . 22 六、参数法 . 27 七、反证法 . 31 第二章 高中数学常用的数学思想 . 34 二、分类讨论思想方法 . 40 三、函数与方程的思想方法 . 46 四、等价转化思想方法 . 53 第三章 高考热点问题和解题策略 . 60 二、探索性问题 . 66 三、选择题解答策略 . 72 四、填空题解答策略 . 78 2第一章 高中数学解题基本方法 配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和
2、未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 222配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a，b),a，2ab，b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如: 2222a，b,(a，b),2ab,(a,b)，2ab; b3222222a，ab，b,(a，b),ab,(a,b)，3ab,(a，)，(
3、b); 221222222a，b，c，ab，bc，ca,(a，b)，(b，c)，(c，a) 222222a，b，c,(a，b，c),2(ab，bc，ca),(a，b,c),2(ab,bc,ca), 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如: 2，sin2,1，2sincos,(sin，cos); 1111222x，,(x，),2,(x,)，2 ; 等等。 2xxx?、再现性题组: 1. 在正项等比数列a中，a,a+2a,a+a,a=25，则 a，a,_。 n. 方程x，y,4kx,2y，5k,0表示圆的充要条件是_。 111 A. k1 B. k1 C. k?R D. k,或k,1
4、 44444已知sin3. ，cos,1，则sin，cos的值为_。 A. 1 B. ,1 C. 1或,1 D. 0 24. 函数y,log (,2x，5x，3)的单调递增区间是_。 1255155 A. (,?, B. ,+?) C. (, D. ,3) 442442225. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x，则点P(x,x)在圆x+y=4上，则1212实数a,_。 2【简解】 1小题:利用等比数列性质aa,a，将已知等式左边后配方(a，mp,mp，m32a)易求。答案是:5。 522222小题:配方成圆的标准方程形式(x,a)，(y,b),r，解r0即可，选B。 22222
5、3小题:已知等式经配方成(sin，cos),2sincos,1，求出sincos，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。 2 34小题:配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。 5小题:答案3,。 11?、示范性题组, 例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_。 A. 2 B. C. 5 D. 6 314【分析】 先转换为数学表达式:设长方体长宽高分别为x,y,z，则211()xyyzxz，,222 ,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式xyz，,424()xyz，,可得。 【解】设长方体长宽高分别为x
6、,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度211()xyyzxz，,之和为24”而得:。 ,424()xyz，,2222长方体所求对角线长为:,xyz，()()xyzxyyzxz，,，22611,5 所以选B。 【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。 pq222例2. 设方程x，kx，2=0的两实根为p、q，若()+()?7成立，求实数k的取qp值范围。 2【解】方程x，kx，2=0的两实根为p、q，由韦达定理得:p，q,k，
7、pq,2 , 22222222244()pqpq，,2()pqpqpq，,22pqpq，22()+(),222qp()pq()pq()pq22()k,48?7， 解得k?,或k? 。 1010422又 ?p、q为方程x，kx，2=0的两实根， ? ?,k,8?0即k?2或k?,2 22综合起来，k的取值范围是:,?k?, 或者 ?k?。 10222210【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“”;已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p，q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p，q与pq的组合式。假如本题不对“?”讨论，结果将出
8、错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“?”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。 ba2219981998例3. 设非零复数a、b满足a，ab，b=0，求()，() 。 ab，ab，3 4aaa2【分析】 对已知式可以联想:变形为()，()，1,0，则, (为1的立方bbb2虚根);或配方为(a，b),ab 。则代入所求式即得。 aa222【解】由a，ab，b=0变形得:()，()，1,0 ， bba1b233设,，则，1,0，可知为1的立方虚根，所以:,，,1。 ,ba,222又由a，ab，b=0变形得:(a，b),ab ， 22baabab99999所以 ()，()
9、,()，(),()，(),，baab，ab，abab999,2 。 ,【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式;巧用1的立方虚根，活用的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。 aab,13i222【另解】由a，ab，b,0变形得:()，()，1,0 ，解出,后，化bba2ab999999成三角形式，代入所求表达式的变形式()，()后，完成后面的运算。此方法用于ba,13i只是未联想到时进行解题。 2,13i22假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a，ab，b,0解出:a,b，2直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣
10、莫佛定理完成最后的计算。 ?、巩固性题组: 221. 函数y,(x,a)，(x,b) (a、b为常数)的最小值为_。 222，ab()ab,A. 8 B. C. D.最小值不存在 222222. 、是方程x,2ax，a，6,0的两实根，则(-1) +(-1)的最小值是_。 49A. , B. 8 C. 18 D.不存在 4，xy3. 已知x、y?R，且满足x，3y,1,0，则函数t,2，8有_。 22A.最大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值 22222224. 椭圆x,2ax，3y，a,6,0的一个焦点在直线x，y，4,0上，则a,_。 A. 2 B. ,6 C. ,2或,6 D.
11、2或6 5. 化简:2，的结果是_。 18,sin228，cosA. 2sin4 B. 2sin4,4cos4 C. ,2sin4 D. 4cos4,2sin4 22x6. 设F和F为双曲线,y,1的两个焦点，点P在双曲线上且满足?FPF,90?，12124则?FPF的面积是_。 124 5217. 若x,1，则f(x),x，2x，的最小值为_。 x，13,3128. 已知，cos(-),，sin(+),，求sin2的值。(9254213年高考题) 222229. 设二次函数f(x),Ax，Bx，C，给定m、n(m0; ? 是否存在一个实数t，使当t?(m+t,n-t)时，f(x)1，t1，m
12、?R，x,logt，logs，y,logt，logs，m(logt，logs), ststst? 将y表示为x的函数y,f(x)，并求出f(x)的定义域; ? 若关于x的方程f(x),0有且仅有一个实根，求m的取值范围。 5 6二、换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或
13、者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通xxx过变形才能发现。例如解不等式:4，2,2?0，先变形为设2,t(t0)，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y,，
14、的值域时，易发现x?0,1，设xx1,x,2,sin ，?0,，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中2222主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x，y,r(r0)时，则可作三角代换x,rcos、y,rsin化为三角问题。 SS均值换元，如遇到x，y,S形式时，设x,，t，y,t等等。 22我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例,中的t0和?0,。 2?、再现性题组: 1.y,sinx?cosx，sinx+cosx的最大值是_。 2
15、42.设f(x，1),log(4,x) (a1)，则f(x)的值域是_。 a3.已知数列a中，a,1，a?a,a,a，则数列通项a,_。 n1n，1nn，1nn6 724.设实数x、y满足x，2xy,1,0，则x，y的取值范围是_。 ,x13，5.方程,3的解是_。 x13，xx，16.不等式log(2,1) ?log(2,2)2的解集是_。 2221t【简解】1小题:设sinx+cosx,t?,，则y,，t,，对称轴t,1，22221当t,，y,，; 22max2222小题:设x，1,t (t?1)，则f(t),log-(t-1)，4，所以值域为(,?,log4; aa1113小题:已知变形
16、为,1,设b,，则b,1,b,1，(n,1)(-1)n1naaan，1nn1n，所以a,; ,nn224小题:设x，y,k，则x,2kx，1,0, ?,4k,4?0,所以k?1或k?,1; 1x25小题:设3,y，则3y，2y,1,0,解得y,，所以x,1; 35x6小题:设log(2,1),y，则y(y，1)2，解得,2y0，求f(x),2a(sinx，cosx),sinx?cosx,2a的最大值和最小值。 【解】 设sinx，cosx,t，则t?-,，由(sinx，22 y 2t,12 , , cosx),1，2sinx?cosx得:sinx?cosx, 2 x ,22112? f(x),
17、g(t),(t,2a)， (a0)，t?-, 222212t,-时，取最小值:,2a,2a, 22212?时，t,，取最大值:,2a，2a, ; 当2a22221当002222aa，14a恒成立，求a的取值范围。(87年全国理) 241()a，2a()a，1【分析】不等式中log、 log、log三项有何联系,进行对2222aa，14a数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。 41()a，81()a，2aa，1【解】 设log,t，则log,log,3，log,3,2222a，1a2a2a22aa，1()a，1log,3,t，log,2log,2t， 2222a，12a4a2代入后原不等式简化
18、为(3,t)x，2tx,2t0，它对一切实数x恒成立，所以: 30,tt,3,2a，解得 ? t0即log0 ,22a，1tt,06或,，,4830ttt(),10 112a01，解得0a0恒成立，求k的范围。 91622()x,1()y，122【分析】由已知条件，,1，可以发现它与a，b,1有相似之处，于916是实施三角换元。 11 1222x,1()x,1y，1()y，1【解】由，,1，设,cos，,sin， 34916,x,，13cos即: 代入不等式x，y,k0得: ,y,，14sin,3cos，4sin,k0，即k3cos，4sin,5sin(+) 所以k0 (a0)所表示的区域为直
19、线ax，by，c,0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题:椭圆上的点始终y 位于平面上x，y,k0的区域。即当直线x，y,k,0 x 在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切 22,16191144()()xy,，, 时，方程组有相等的一组, x，y,k0 xyk，,0,k 平面区域 实数解，消元后由?,0可求得k,3,所以k0)，则f(4)的值为_。 122A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg4 3334 函数y,(x，1)，2的单调增区间是_。 2.A. -2,+?) B. -1,+?) D. (-?,+?) C. (-?,-1
20、13. 设等差数列a的公差d,，且S,145，则a，a，a，a的值为99n1001352_。 A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5 224. 已知x，4y,4x，则x，y的范围是_。 115. 已知a?0，b?0，a，b,1，则，的范围是_。 a，b，2236. 不等式ax，的解集是(4,b)，则a,_，b,_。 x27. 函数y,2x，的值域是_。 x，18. 在等比数列a中，a，a，a,2，a，a，a,12，求a，a，3032n1210111231，a。 6012 1329. 实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sinx，2mcosx，4m,10,y0)上移动，且
21、AB、AD始A B 终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。 O x 三、待定系数法 要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条,件是:对于一个任意的a值，都有f(a)g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等。 ,待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待
22、定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。 使用待定系数法，它解题的基本步骤是: 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式; 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程; 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析: ? 利用对应系数相等列方程; ? 由恒等的概念用数值代入法列方程; ? 利用定义本身的属性列方程; ? 利用几何条件列方程。 比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程:首先设所求方程的形
23、式，其中含有待定的系数;再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组;最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。 ?、再现性题组: 13 14x,11. 设f(x),，m，f(x)的反函数f(x),nx,5，那么m、n的值依次为_。 25555A. , ,2 B. , ， 2 C. , 2 D. , ，,2 22221122. 二次不等式ax，bx，20的解集是(,)，则a，b的值是_。 23A. 10 B. ,10 C. 14 D. ,14 31053. 在(1,x)(1，x)的展开式中，x的系数是_。 A. ,297 B.,
24、252 C. 297 D. 207 314. 函数y,a,bcos3x (b0)的最大值为，最小值为,，则y,4asin3bx的最小22正周期是_。 5. 与直线L:2x，3y，5,0平行且过点A(1,-4)的直线L的方程是_。 2y26. 与双曲线x,1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是4_。 x,1【简解】1小题:由f(x),，m求出f(x),2x,2m，比较系数易求，选C; 2111122小题:由不等式解集(,)，可知,、是方程ax，bx，2,0的两根，代入2233两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得a，b，选D; 55523小题:分析x的系数由C与(,1)C两项组成，
25、相加后得x的系数，选D; 10102,4小题:由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案; 35小题:设直线L方程2x，3y，c,0，点A(1,-4)代入求得C,10，即得2x，3y，10,0; 222xyy26小题:设双曲线方程x,，点(2,2)代入求得,3，即得方程,1。 4312?、示范性题组: 2mxxn，43例1. 已知函数y,的最大值为7，最小值为,1，求此函数式。 2x，1【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值;已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。 2【解】 函数式变形为:
26、 (y,m)x,4x，(y,n),0， x?R, 由已知得y,m?0 322? ?,(,4),4(y,m)(y,n)?0 即: y,(m，n)y，(mn,12)?0 ? 32不等式?的解集为(-1,7)，则,1、7是方程y,(m，n)y，(mn,12),0的两根， m,51120，,()mnmnm,1,代入两根得: 解得:或 ,n,1497120,，,()mnmnn,5,225431xx，xx，435? y,或者y, 22x，1x，114 152此题也可由解集(-1,7)而设(y，1)(y,7)?0,即y,6y,7?0，然后与不等式?比较系mn，,6,数而得:，解出m、n而求得函数式y。 ,m
27、n,127,【注】 在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解;二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”:将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用?0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。 例2. 设椭圆中心在(2,-
28、1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是,，求椭圆的方程。 105【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了。设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一y B 个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a,c的x 值后列出第二个方程。 【解】 设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF| ,a A F O F A 222,， abc,a,10,222 B ? 解得: ，,()2aab,b,5,105ac,22xy 所求椭圆方程是:，,1 ?105也可有垂直关系推证出等腰Rt?BBF后，由其性质推证出等腰Rt?BOF，再进行如bc,ac,105下列式: ，更容易求出a、b的值。 ,222abc,，,【注】 圆锥曲线中，参数(a、b、c、e、p)的确定，是待定系数法的生动体现;如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据(a、b、c、e)不变，本题就利用了这一特征，列出关于a,c的等式。 一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是:设