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1、1.2充分条件与必要条件充分条件与必要条件1.2.2充要条件学习目标：1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义. (重点、难点)2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件. (重点)3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.(难点)自主预习探新知1.充分条件与必要条件命题真假“假设p,那么q是真命题“假设p,那么q是假命题推出关系p?_q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件思考1: (1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？(2) 以下五种表述形式：p?q；p是q的充分条件；q的充
2、分条件是p； q是p的必要条件；p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？提示(1)相同，都是p? q 等价2.充要条件(1) 一般地，如果既有p? q,又有q? p,就记作p? q.此时，我们说，p是q 的充分必要条件，简称充要条件.概括地说，如果p? q,那么p与q互为充要条件.(2) 假设 p? q，但qp，那么称p是q的充分不必要条件.(3) 假设 q? p，但p q，那么称p是q的必要不充分条件.(4) 假设p二，且q孚-|p，那么称p是q的既不充分也不必要条件.思考2: (1)假设p是q的充要条件，那么命题p和q是两个相互等价的命题，这 种说法对吗？“ p是q的充要条件与“ p的充要
3、条件是q的区别在哪里？提示(1)正确假设p是q的充要条件，那么p? q,即p等价于q.(2)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论. p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.根底自测1.思考辨析(1) q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(2) q不是p的必要条件时，“ pD? /q成立.()(3) 假设q是p的必要条件，那么q成立，p也成立.()答案“V x2“x2 是“ x2-3x+ 20 成立的()A .充分不必要条件B. 必要不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件A 由 x2- 3x+ 20 得 x2 或 x0， y0，q： xy0;(3) p： ab， q： a+
4、 cb+ c.(1) (3)在(1)(3)中，p? q，所以(1)(3)中p是q的充要条件，在(2)中,q? p，所以中p不是q的充要条件.合作探究攻重难扌曰出以下各题中，p是q的什么 条件(在“充分不必要条件“必要不充分条件“充分必要条件“既不充分 也不必要条件中选出一种作答)(1) 在厶 ABC 中，p：/ AZ B, q： BCAC;(2) 对于实数 x, y, p： x+ yM 8, q： xm2 或6;(3) p: (a 2)(a 3) 0, q: a 3;a(4) p： avb, q： b/ B? BCAC,所以p是q的充分必要条 件.(2) 因为x2且y 6? x+ y 8,即-
5、q? i dp,但- p? - q,所以p是q的充分 不必要条件.(3) 由(a 2)(a 3) 0可以推出a 2或a 3,不一定有a 3;由a 3可以 得出(a 2)(a 3) 0因此，p是q的必要不充分条件.(4)由于avb,当bv0时,1a- baa当b0时，b 1，故假设avb,不一定有b0, b0, bv 1时，可以推出av b；a当av0, bv0, bb. 因此p是q的既不充分也不必要条件.规律方法充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法(2) 等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题.(3) 逆否法：这是等价法的一种特殊情况.假设p? !lq,那么p是q的必要条件，
6、q是p的充分条件；假设P?q,且qP,那么p是q的必要不充分条件；假设p?q,那么p与q互为充要条件；假设-p -q,且-q -p,那么p是q的既不充分也不必要条件.跟踪训练1. 设a, b是实数，贝厂 ab是“ a2b2的()A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件D 令a= 1, b= 1,满足ab,但不满足a2b2，即“ab不能推出“a2b2 ；再令a= 1, b = 0,满足a2b2，但不满足ab,即“a2b2不能推 出“ab，所以“ ab是“a2b2的既不充分也不必要条件.(2)对于二次函数f(x)= ax2 + bx+ c(aM0),以下结论
7、正确的选项是()b2 4ac0是函数f(x)有零点的充要条件；g b2 4ac= 0是函数f(x)有零点的充分条件； b2 4ac0是函数f(x)有零点的必要条件； b2 4ac 0?方程 ax2 + bx+ c= 0(a 0)有实根？ f(x) = ax2 + bx+ c(a 0)有零点，故正确. 假设= b24ac= 0,那么方程ax2 + bx+ c= 0(a 0)有实根，因此函数 f(x)= ax2 + bx+ c(aM 0)有零点，故正确. 函数f(x) = ax2 + bx+ c(aM0)有零点时，方程 ax2 + bx+ c= 0(a工0)有实根, 未必有二b2 4ac0,也可能
8、有二0,故错误. 心 b2 4ac0?方程 ax + bx+ c= 0(a 0)无实根？函数 f(x) = ax2 + bx+ c(a 0)无零点，故正确.“x2 4x0的一个充分不 必要条件为()A. 0x4B. 0x0D . xy，求证：-0.x y思路探究(1)先解不等式X规律方法1探求充要条件一般有两种方法： 探求A成立的充要条件时，先将 A视为条件，并由A推导结论(设为B)， 再证明B是A的充分条件，这样就能说明 A成立的充要条件是B,即从充分性 和必要性两方面说明. 将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程 同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，
9、所以不需要将充分性和 必要性分开来说明.2 充要条件的证明(1)证明p是q的充要条件，既要证明命题p?q为真，又要证明q?p为真, 前者证明的是充分性，后者证明的是必要性.-4x0得到充要条件，那么充分不必要条件应 是不等式x2-4x0的解集的子集.(2)充要条件的证明可用其定义，即条件？结论且结论？条件.如果每一步的 推出都是等价的(?),也可以把两个方面的证明合并在一起，用“？ 写出证明.解析由x2-4x0得0x4,那么充分不必要条件是集合x|0x0 及 xy,得xyxy，即-y.必要性：由xy，得x-y0,即牙y，所以y-x0.1 1所以x0.x y1111法二：xy? 1-y0?y-x
10、 y? y-x0，故由；0.1 1所以x0，1 1即-v-的充要条件是xy0.x y(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意 p是q的充要条 件与p的充要条件是q这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论.跟踪训练2. (1)不等式x(x 2)0成立的一个必要不充分条件是()A.x (0,2)B .x 1，+)C.x (0,1)D .x(1,3)B由 x(x 2)0得 0x2，因为(0,2) 1, + )，所以“x 1,+ )是“不等式x(x 2)0成立的一个必要不充分条件.(2)求证：关于x的方程ax2 + bx+ c= 0有一个根是1的充要条件是a+ b+ c =0.证明假
11、设p：方程ax2 + bx+ c= 0有一个根是1，q： a+ b+ c= 0. 证明p? q,即证明必要性.I x= 1是方程ax2 + bx+ c= 0的根，a2l+ b+c= 0，即卩 a+ b+ c= 0. 证明q? p,即证明充分性.由 a+ b+ c= 0，得 c= a b.ax2 + bx+ c= 0， ax2 + bx a b= 0，即 a(x21)+ b(x1)= 0.故(x 1)(ax+ a+ b) = 0. x= 1是方程的一个根.故方程ax2 + bx+ c= 0有一个根是1的充要条件是a+ b+ c= 0.探究问题1 .记集合A=x|p(x)，B = x|q(x)，假
12、设p是q的充分不必要条件，那么集合A、B的关系是什么？假设p是q的必要不充分条件呢？提示：假设p是q的充分不必要条件，那么 AW二B，假设p是q的必要不充分条 件，B A.2.记集合M = x|p(x)，N = x|q(x)，假设M? N，贝U p是q的什么条件？假设N? M , M = N 呢？提示：假设M?N,那么p是q的充分条件，假设N? M，那么p是q的必要条件,假设M = N,那么p是q的充要条件. p： x2 8x 200, q： x22x+ 1 m20),且p是q的充分不必要条件，那么实数 m的取值范围为思路探究解析 由 x2 8x20W0,得2wxW 10,由 x2 2x+ 1
13、 m2w0(m0),得 1 m x0).因为p是q的充分不必要条件，所以p? q且q|p.即x 2x 10是x1 mx0的真子集,m0,所以 1 m 101 m0,解得m?9.1 + m10,所以实数m的取值范围为mm 9.答案mm 9(或9,)母题探究：1本例中“ p是q的充分不必要条件改为“ p是q的必要不充 分条件，其他条件不变，试求 m的取值范围.解 由 x2 8x 20 0 得一2 x 10,由 x2 2x+ 1 m20)得 1 m x0)因为p是q的必要不充分条件，所以q? p,且p q.那么x|1 mx0-匚x| 2 x0所以 1 m 2 ，解得 0m 3.1 + mW 10即m
14、的取值范围是(0,3.2.假设本例题改为： P = x|a 4xa+4, Q = x|1x3，“x P 是“x Q的必要条件，求实数a的取值范围.解因为“x P是x Q的必要条件，所以Q? P.所以a 4 3解得1W a 5即a的取值范围是 1,5.但x2 4x 5= 0时，x= 5不一定成立，应选 B.3以下条件中，是x24的必要不充分条件是()A2x 2B 2x0C. 0x 2D . 1x3A 由x24得一2x2,必要不充分条件的x的范围真包含x| 2x0的充分不必要条件，贝U m的取值范围 是.(X, 1由(x 1)(x 2)0 可得 x2 或 xv 1,由条件，知x|xv m x|x
15、2或xv 1, m0,所以方程x2+ mx+ 1 =0有实根，设两根为X1 , X2,由根与系数的关系知，X1 = 10,所以X1, X2同号.又X1 + X2= m 20,所以X1, X2同为负数.即x2+ mx+ 1 = 0有两个负实根的充分条件是 m?2.(2)必要性：因为x2+ mx+ 1 = 0有两个负实根，设其为 X1, X2,且X1X2= 1, = m2 4?0,m?2 或 mW 2,所以c 即 cX1 + X2 = m0,所以m?2, 即卩x2 + mx+ 1 = 0有两个负实根的必要条件是 m?2.综上可知，m?2是x2 + mx+ 1 = 0有两个负实J根的充分必要条件.感
16、谢您的阅读，祝您生活愉快规律方法利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围(1)化简p、q两命题，(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系，(3)利用集合间的关系建立不等关系，(4)求解参数范围.当堂达标固双基1. “ |x|= M 是“ x= y 的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件B 假设 x= 1，y= 1，那么凶=|y|，但 xmy；假设 x=y，那么 x匸 Ml，应选 B.2. “ x* 1 2 3 4 4x 5 = 0 是“ x= 5 的()A .充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件B 由 x2 4x 5= 0 得 x= 5 或 x= 1,那么当 x= 5 时，x2 4x 5= 0 成立,