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1、高中数学解题思想方法技巧全集25_函数开门_以静显动 你的首选资源互助社区 数学破题36计 第25计 函数开门 以静显动 ?计名释义 函数把运动学带进了数学.函数本身讲的是数的互动，而静则是运动过程中的某一即时状态.动以静为参照，没有参照物的运动是没有意义的，同样没有“静数”的函数也无意义.当变量(动数)的个数较多时，2我们先考虑一对互动中的变数，而把其他变数暂视静止(常数或参数)，例如，考虑二次函数y=ax+bx+c时，是把x,y看作一对互动的变数，而把a,b,c看作“静数”.其实，a,b,c也在变化，只是要等到需要考虑它们的变化时再把它们视作变数.?典例示范 2x2【例1】 设双曲线与直线
2、x+y=1相交于两个不同的点A和B，求双曲线离心率的取值范围.,y,12a【分析】 求取值范围就是求离心率e的值域.为此，我们要寻求e的函数式. 2a，11【解答】 按双曲线离心率的关系式，有 e,，1,f(a)2aa2ca1，【插语】 公式e=本来是“静式”，现在让其运动起来，成了函数式f (a).启发我们求函数,aae=f (a)的定义域，即a的取值范围. 2,x2y,1,2【续解】 由双曲线与直线相交于两点，得方程组 a,xy，,1,2【插语】 我们并非要从这个方程中解得x和y的值，而是要由“方程组有2个解”的条件求出a的取值范围. 【续解】 消y后整理得 2,1,a,0,22222 (
3、1,a1)x，2ax,2a,0,0,a,2且a,1.,422,4a，8a(1,a),0,16函数e=f (a)=，1在(0，1)和(1，)上都是减函数，故有f (a)且f (a)?.即所求范围是2222a6. (,2),(2,，,)2【点评】 函数解题，动静相依，动静互控，从而实现由简单函数与复合函数的互动，以及函数与方程，函数与不等式的互动. 2【附录】 以下我们用函数性质讨论a的取值范围. 你的首选资源互助社区 2211111x1,22由方程组解得:a=h(x)=.由于?0,所以a?1.因为，2,，,22222x22x,x，x,111,2,，,22x,2所以a?2. 222由于相交的两点
4、A、B对应着不同的x值，因此a到x的对应是1对2，因此在h (x)中x,由此得到a?2. 故2有a2. 20032003【例2】 解方程(x+6)+x+2x+6=0. 20032003【解答】 将原方程变形得(x+6)+(x+6)=(-x)+(-x). 2003由方程的特点，我们构造函数f x)=x+x，知f (x)是x?R上的单调递增函数，又f (x+6)= f (-x),故x+6=-x，即x=-3. 2003【点评】 此题从方程的特点入手，利用函数思想，构造了函数f (x)=x+x，把解方程的问题变为讨论函数的性质的问题，巧妙地求出了方程的解. 2例3】 在xOy平面上给定一曲线y-2x=
5、0. 【2(?)设点A的坐标为(,0)，曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|. 3(?)设点A的坐标为(a,0)，a?R，曲线上点到点A的距离的最小值. 2【解答】 (?)设P(x,y)为曲线上任意一点，y=2x(x?0), 2224411,2222|PA|=， x,，y,x,x，x,x，,33933,2?当x=0时，|PA|取得最小值. 32222(?)设P(x,y)为曲线上任意一点,同理有 |PA|=(x-a)+y=,x-(a-1),+(2a-1)(x?0), ?当a?1时，在x=a-1?0处，|PA|取得最小值. 2a,12?当a0时，在x=0处，|PA|取得最小值 (a,1
6、)，2a,1,|a|.【点评】 解题方向是建立目标函数，然后转化为以a为自变量的二次函数在闭区间上的最值问题. 【例4】 某工厂有旧墙一面长14米，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126平方米的a厂房，工程条件:?建1米新墙的费用为a元;?修1米旧墙的费用是元;?拆去1米旧墙,用所得材料4a建1米新墙的费用为元.经过讨论有两种方案: 2(1)利用旧墙的一段x米(x14)为矩形厂房一面的边长; (2)矩形厂房利用旧墙的一面边长为x?14.问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省,(1)、(2)两种方案哪个更好, 【分析】 通过分析已知条件比较容易想到用函数模型来解此题.以建墙费用
7、为目标函数，再通过讨论函数的最小值来解决问题. 126【解答】 设利用旧墙的一面边长为x米，则矩形的另一面边长为米. 你的首选资源互助社区 ax(1)利用旧墙的一段x米(x14)为矩形一面边长，则修旧墙的费用为元，将剩余的旧墙拆得的材料4a(14,x)2，126,建新墙的费用为元，其余建新墙的费用为:元， 2x，,14a,2x,故总费用为: ax(14,x)a252y= ，(2x，,14)a42x，x36x36,得: 所以， y,7a，,1(0,x,14),y,7a2,1,35a,4x4x,，x36当且仅当 即x=12?(0，14)米时，y=35a ,min4x2，25214,(2)若利用旧
8、墙一面矩形边长x?14，则修旧墙的费用为元，建新墙的费用为元，2x，,14aa,4x,7a252,故总费用为: y,，2a，,14a,22,7a126,即 y,，2ax，,7(x,14),2x,126126126?但由于x=时，x=时，y0，而14. 1261262x故x?,14,+?)时函数y单调增. 7a126,?x=14时，y= min，2a14，,7,35,5a,214,综上所述，采用方案(1)，利用旧墙12米为矩形的一面边长时，建墙的总费用最省，费用为35a元. 【点评】 函数应用题真正的难点在于处理其中的最值问题.这也就是函数的“玄机”所在.处理最值的手段很多，有利用均值不等式;利
9、用函数的单调性;利用导函数;利用三角函数的有界性等.其中“导函数法”有通用、快捷的特点，应是掌握的重点. ?对应训练 1.设a、b、c?R，且它们的绝对值都不大于1，求证ab+bc+ca+1?0. 22.直线m:y=kx+1和双曲线x-y2=1在左支交于A，B两点,直线l过P(-2,0)和AB线段的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围. 你的首选资源互助社区 3.某工厂2005年1月、2月、3月生产某产品的数量分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以x选用二次函数或函数y=ab+c(其中
10、a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由. ?参考答案 1.分析 构造函数f (a)=ab+bc+ca+1，f (a)是关于a的一次函数，由于a?,-1,1,，只要证明f (1)?0且f (-1)?0，即可证明f (a)?0. 证明 设f (a)=(b+c)a+bc+1，f (a)是关于a的一次函数. ?abc?,-1,1, ?f (1)=b+c+bc+1=b(1+c)+(c+1)=(b+1)(c+1)?0 、f (-1)=-(b+c)+bc+1=b(c-1)+(1-c)=(1-b)(1-c)?0. ?f (a)在,-1,1,上恒
11、为非负，即f (a)?0. ?ab+bc+ca+1?0. 点评 本题解法的关键在于要具有函数意识，能结合式子结构特征构造出一次函数f (a)，从而由一次函数的图象及性质，使问题得以解决. y,kx，1,222.解析 由消去y得(k-1)x+2kx+2=0, (x,1),22x,y,1,22,4k，8(1,k),0,2k,xx由题意得，,0解得1k. 2,122k1,2,xx,012,21,k,xx，k,12x,02,21,k设M(x，y)，则 00,1,ykx1,，,002,1k,k12,由P(-2,0)，M，Q(0,b)三点共线可求得b=. ,2221k1k,2k，k，2,2设f (k)=-
12、2k+k+2，则f (k)在(1,)上为减函数. 2?，且f(k)?0. f(2),f(k),f(1)? ?b2. ,(2,2),f(k),1,2点评 通过建立b与k的函数关系式，借用函数的单调性，将问题转化为函数的值域以确定. 3、思想教育，转化观念端正学习态度。3.思考 根据题意，该产品的月产量y是月份x的函数，可供选用的函数有两种.其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量愈接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定出这两个函数的具体解经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆 你的首选资源互助社区 8.直线与圆的位置关系析式. 6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的
13、小于90的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30，南偏东45(东南方向)、南偏西为60，北偏西60。二次方程的两个实数根22x设y=f (x)=px+qx+r(p，q，r为常数，且p?0)，y=g(x)=ab+c. 13、第五单元“加与减(二)”，第六单元“加与减(三)” 在“加与减”的学习中，结合生活情境，学生将经历从具体情境中抽象出加减法算式的过程，进一步体会加减法的意义;探索并掌握100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)和连加、连减、加减混合的计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受
14、加减法与日常生活的密切联系。abc，,1,pqr，,1,(5）切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.,2pqr及abc据已知，得4，2，,1,2，,1,2, ,3pqr9，3，,1,3abc，,1,3,(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.解得p=-0.05，q=0.35，r=0.7; 9切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长想等，圆外切四边形对边相等，直角三角形内切圆半径公式.a=-0.8，b=0.5，c=1.4 ?f (x)=-0.05x2+0.35x+0.7; g(x)=-0.80.5x+1.4. ?f (4)=1.3，g(4)=1.35, 5、能掌握一些常见的数量关系和应用题的解答方法，逐步提高解答应用题的能力。x显然g(4)更接近于1.37，故选用y=0.80.5+1.4作为模拟函数较好. 点评 用待定系数法确定两种模拟函数的解析式是解答本题的关键.