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1、高中数学解题思想方法技巧全集23 探索开门 智勇双锋数学破题36计 第23计 探索开门 智勇双锋 ?计名释义 所谓创新题，就是这之前没有做过，没有见过没有现成“套路”可以套用的陌生题目，它的答案(是否存在)，它的解法(暂时不知)，需要我们在“摸着石头过河”中得以发现和解决.这就是所谓的“探索解题”. “石头”，指我们已有的知识和方法，这当然是很重要的.若要“过河”，仅有这些还不够. 过河人还需要两大素质:大智大勇 面对着数学上的探索问题，智、勇体现在哪里,勇大胆地猜;智小心地证.?典例示范 【例1】 如图所示，在正四棱柱ABCDABCD中，E、F、G、H分别是棱CC，CD，1111111D，D
2、的中点，N是BC中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只要满足 1条件 时，就有MN?平面BBDD(请填上你认为正确的一个条件即可，不必考11虑全部可能情况). 【思考】 显然HN?BD，即得HN?平面BBDD，为使点M在平面EFGH内运动时总11有BBDD?M，只需过HN作平面，使之平行于平面BBDD，将线面平行的问题转化为面1111面平行的问题. 【解答】 连FH，当点M在HF上运动时，恒有MN?平面BBDD 11例1题图 例1题解图 证明如下:连NH，HF，BD，BD，且平面NHF交BC于P. 则NH?BD，HF?BB，11111故平面PNHF?平面BBDD. MN平面PNHF，?
3、MN?平面BBDD. 1111【例2】 知f (x)是二次项系数为负数的二次函数，且对于任何x?R，f (2-x)= f (2+x)总成22立，问f (1-2x)与f (1+2x-x)满足什么条件时，才能使-2x0成立. 【思考】 根据已知条件很容易得到f (x)是开口向下且对称轴为x=2的二次函数，然后可通过函数单调区间进行分类讨论. 【解答】 由题设知:函数f (x)的图象是开口向下且对称轴为直线x=2的抛物线. 故函数f (x)在(-?,2,上是增函数;在,2,+?)上是减函数. 22222?1-2x?12，1+2x-x=-(x-1)+2?2 ?1-2x?(-?,2,，1+2x-x?(-
4、?,2, 2222当f (1-2x) f (1+2x-x)时， 1-2x0，解得x0，不能使-2xf (1+2x-x)时，1-2x1+2x-x, 即x+2x0，解得-2x0，符合题意， 22当f (1-2x)=f (1+2x-x)时， 可得x= -2或0，不能使-2xf (1+2x-x)时，才能使-2x0时，对应的f (x)的性质有哪些,(4)你还能研究另外的某些性质吗, (5)设g(x)=x，写出与g(x)对应的f (x)的三个不同的解析式. 【思考】 本例是结论开放型试题，解题时要求根据已知条件将结论(必要条件)补充完整. f (x)与g(x)是什么关系,我们容易由f(x)=2ax+b，知
5、f(x)=g(x)，可见，只有当 g(x)= f(x)时，才有可能用g(x)的性质来研究f (x)的某些性质. 【解答】 (1)?a=1，b=2，?g (x)=2x+2. (2)?g(x)的一次项系数是f (x)的二次项系数与其次数的积; ?g(x)的常数项等于f (x)的一次项系数. bb(3)g(x)0，即2ax+b0，当a0时，x，而x=是f (x)的对称轴，故这时f (x)是单,2a2abb，,调增函数;a0时，x，f (x)仍为单调增函数(前者单调区间为,.后者单,，,2a2a，,b,，,). 调区间为,2a,，(4)当g(x)0)，圆心O在抛物线x=2py上运动，MN为圆O在x轴上
6、截得的弦，令|AM|=d，|AN|=d，?MAN=. 12(1)当O运动时，|MN|是否有变化，并证明你的结论; dd12(2)求的最大值,并求取得最大值的的值. ，dd212.如图所示，已知在矩形ABCD中， AB=1，BC=a(a0)，PA?平面AC， 且PA=1. (1)问BC边上是否存在Q， 便得PQ?QD，并说明理由; (2)若BC边上有且只有一点Q， 使得PQ?QD，求这时二面角 QPDA的大小. 第2题图 22xy63.已知椭圆(ab0)的离心率e=，过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点，,1223ab3距离为. 2(?)求椭圆方程; (?)已知定点E(-1,0),若直线
7、y=kx+2(k?0)与椭圆交于C、D两点，试判断:是否存在k的值，使以CD为直径的圆过点E,若存在，求出这个值.若不存在，说明理由. 4.是否存在一条双曲线同时满足下列两个条件: ?原点O与直线x=1是它的焦点和准线; ?被直线x+y=0垂直平分的弦的长等于2，若存在，求出它的方程;若不存在，说明理2由. ?参考答案 2x01.(1)如图所示，设抛物线上一点O(x，)， 02p连结OA，OM. 作OC?MN于C， 则|MN|=2|MC|， 24xx22200?|OM|=|OA|= x，(,p),，p022p4p42xx222200,?|MC|= 第1题解图 |OM|,|OC|,，p,(),p
8、22p4p?|MN|=2p为定值. 即当O运动时，|MN|不会有变化，总有|MN|=2p. (2)如图所示，有M(x-p，0)，N(x+p，0) 00222222?d= d= OA，OM,P，(x,p)p，(x，p)12002222442222?d+d=4p+2x，dd= (2p，x),(2px),4p，x120120002222224p，2x(2p，x)d，ddd210012?,2= ，4444dddd4p，x4p，x12120022224px4px00=4 21，,21，,22.44224p，x2，2p，x0022当且仅当x=2p，即x=?p，y=p时等式成立，此时|OM|=|ON|=p.
9、 22000?MON=90?， ?MON为等腰直角三角形. ?= 45?. 2.【思考】 这是一道探索性问题，解决这类问题常从要探求的线面关系必须满足的条件出发.此题要使PQ?QD，?PA?面ABCD，只需满足AQ?QD即可，再转化到在平面ABCD上寻求AQ?QD的条件，从而使问题得到解决. 【解答】 (1)连结AQ，?PA?面ABCD. ?要使PQ?QD，只要AQ?QD，即以AD为直径的圆与BC有公共点. 这就是说，当AD?2AB，即a?2，在BC边上存在点Q，使PQ?QD. (2)?当a2时，以AD为直径的圆与BC有两个交点. 当a=2时，只有BC的中点满足条件. ?AD=2，Q为BC的中
10、点，取AD的中点M，连结QM. ?面PAD?面ABCD，QM?AD，?QM?面PAD.过M作MN?PD于N，连结NQ. 根据三垂线定理有，QN?PD. ?MNQ就是二面角QPDA的平面角. 55,在Rt?QMN中，QM=1，MN=MD?sin?MDN=1?. ?tan?MNQ=. 555?二面角QPDA为arctan. 53.【思考】 第一问从离心率的定义入手，很容易求得a、b的值，从而得到椭圆方程.第二问判断k值是否存在，可以假设其存在把问题变成一个结论确定的传统问题，若求出符合条件的k值则存在，反之，则不存在. 222262ca,ba,b22】 (?)e=，?，?a=3b，即a=b. 【解
11、答,3233aaaxy过A(0,-b)，B (a,0)的直线为. ,1.ab把a=b代入，即x-y-b=0, 333|3|3,b又由已知，解得b=1，?a=. ,3221(3)，(?)设C(x，y)，D(x，y). 11222,x2y，,1,22由消去y， 得(1+3k)x+12kx+9=0. 3,y,kx，2,222必须 1+3k?0且=(12k)-36(1+3k)0 ?k1 ? yy12要存在k满足?且使, 即xx+x+x+1+yy=0. ? ,1121212x，1x，112?y=kx+2，y=kx+2 11222?式即为(1+k)xx+(2k+1)(x+x)+5=0 ? 1212(3)三
12、角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.,12k9222,x,x,?x+x=，代入?得9k+9-24k-12k+5+15k=0. 1212221，3k1，3k3、通过教科书里了解更多的有关数学的知识，体会数学是人类在长期生活和劳动中逐渐形成的方法、理论，是人类文明的结晶，体会数学与人类历史的发展是息息相关。77?k=满足?式.?存在k的值使以CD为直径的圆过E点，这个值是. 662. 图像性质：22x，y4.设存在这样的双曲线，其离心率为，则根据双曲线定义得:. ,e|x,1|22222化简为:(e-1)x-y-2ex+e=0 186.257.1期末总复习及考试22222将弦所在直线y
13、=x+b代入得:(e-2)x-2(b+e)x+e-b=0 初中阶段，我们只学习直角三角形中，A是锐角的正切；设弦AB的两端点A(x，y)B (x，y)，AB中点M(x，y)则 1122002222x，xb，e2(b，e)e,b12,x+x=，xx=，x= 121202222e,2e,2e,21.圆的定义：2b，e即y=x+b=+b，代入x+y=0，得b=-2. 002e,24.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。22e,42从而x+x=2，x?x=弦长|AB|=2(x，x),4x,x,22,22.1212121222e,2e,2周 次日 期教 学 内 容解得e=2符合题意, 10、做好培优扶差工作，提高数学及格率，力争使及格率达95%。垂直于切线; 过切点; 过圆心.22所以存在双曲线方程:3x-y-8x+4=0，经检验它是满足题意的双曲线.