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1、高中数学解题思想方法技巧全集32_立几开门_平面来风 你的首选资源互助社区 数学破题36计 第32计 立几开门 平面来风 ?计名释义 空间型试题感到困难怎么办,退到平面去，平面是立体几何的基础，“空间几何平面化”是我们的基本手段.“平面化”的主要形式有:(1)展开图，把空间展到平面;(2)三视图，从不同的角度看平面;(3)射影图，把一个平面放到另一个平面去;(4)截面图，把我们关心的平面进行特写.如此等等，可以把直观图中的错觉或误差分别转移到平面上作“真实分析”. ?典例示范 例1】 “神舟六号”飞船上 【使用一种非常精密的滚球轴承， 如图所示，该滚球轴承的内 外圆的半径分别为1mm、3mm，
2、 则这个轴承里最多可放 滚珠 个. 例1题图 【解答】 6如图，设两滚球P，Q相切 于点T，轴承中心为O，连接OT， 设滚球半径为d，内、外圆半径 分别为r、R，则R=3，d=r=1. ,在Rt?OTP中，?POT=，OP=2，PT=1, 2PT1,则有sin=,， 2OP2,得=2=，即在圆心角为的轨道内， 例1题解图 633可放一个滚珠，故圆心角为周角(2弧度) ,22时可放的滚珠为=6个. ,3【点评】 本题考查了球体知识的相切问题，把复杂的空间立体图形简化成平面图形来解决. 【例2】 在正四棱柱ABCDABCD中，底面四边形ABCD边长为3，高为4，在棱CB，CD，CC11111113
3、上分别取一点M、N、L使CM,CN,1，CL,. 1114(1)求证:对角线AC?面MNL; (2)求四面体DMNL的体积; 1(3)求AM和平面MNL所成夹角的正弦值. 【思考】 (1)本题并不难，但其手法还是“退”，由证线面垂直退到证线线垂直.根据对称性，只需证AC1与LM、LN之一垂直即可; (2)四面体DMNL的体积不好求，可退而求四面体CMNL的体积，这两个四面体等底不等高，再退而1求四面体对应高之比，然后将所求四面体CMNL的体积适当扩大即可; 1(3)AM与面MAC夹角的正弦不好求，可退而求AM、AC夹角的余弦. 你的首选资源互助社区 【解答】 (1)如图所示，以D为原点，直线
4、DA，DC，DD分别为x,yz轴建立空间坐标系， ，111111则有:A(3，0，4)，C(0，3，0) 13,?=(-3,3,-4);L，N(0,2,0), 0,3,AC,14,3,?=?=0+3-3=0, 0,1,ACNLNL,14,?,根据图形对称性， ACNL1同理有?，故AC?平面MNL. 例2题解图 ACNL11(2)四面体DMNL与CMNL同底不等高，设其高分别为h，h，连CD交NL于E. 1121?D(0,0,4), 3,?=(0,-3,4),且?=(0,-3,4)?=0. 0,1,CDCDNL,114,?，知L、E、D、C在同一个圆上，|?|=|?|, CDCLCCCECDN
5、L111113即?4=|?5. CE143322?|=，从而|=5-=. CECE1155522DEh?h=. ,123CE1122311111，易求V,MNL,?CM?CN?CL=11，?V=(立方单位). ,C1111D-MNL66488312(3)设AM与平面AC成角，已证AC?平面MNL，?MAC=90?-. 111?M(1,3,0),?AM=(-2,3,-4), AM?=(-2,3,-4)?(-3,3,-4)=6+9+16=31. AC1222AM又,=(,2)，3，(,4),29, 222,= (,3)，3，(,4),34. AC1AM,AC3131311?cos (90?-)=.
6、sin=，即AM与平面MNL所,9862934986,|AM,AC131成角的正弦值为. 986【评注】 本题第(2)问另一解法:?V=V，而SMC?面DNL，从而V ?D-MNLM-DNLDNL1D-MNL1=?SMC也不失为另一有效解法. ?DNL 你的首选资源互助社区 【例3】 (04?全国卷?)如图， 四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形， AB=8，AD=4，侧面PAD为等边 3三角形，并且与底面所成二面角为60?. (?)求四棱锥PABCD的体积; (?)求证:PA?BD. 【分析】 1.题目没有讲是“正”四棱锥， 不要粗心地乱加条件“按正棱锥”解题， 否则是“瞎子点灯”白费蜡，
7、 例3题图 因此，顶点在底面的射影不一定是底面的中心.2.图中的三角因素很多，证垂直的最好办法是利用向量.因而制定三角加向量的解题策略. 【解答】 (?)设O为P在底面的射影，作OE?AD于E，连PE，则?PEO是二面角PADO的平面角，有?PEO=60?.已知?PAD为正三角形，且边长为4. 3?|PE|=4sin60?=6，PO=6sin60?=3. 3311?V=?SPO=?8?4?3=96(立方单位). 33?PABCDABCD33(?)以O为原点，平行于AD的直线为x轴，平行于AB的直线为y轴，垂线OP所在直线为z轴建立如图的空间直角坐标系. 则有P(0,0,3)，A(2,-3,0)
8、，B(2,5,0),D(-2,-3,0), 3333?PA=(2,-3,-3),BD=(-4,-8,0), 333?=-24+24+0=0. ?. PABDPABD?对应训练 1.如图所示，ABCD是边长 为2a的正方形， PB?平面ABCD， MA?PB，且PB=2MA=2a， E是PD的中点 (1)求证:ME?平面ABCD; (2)求点B到平面PMD的距离; (3)求平面PMD与平面 ABCD所成二面角的余 第1题图 2.在正三棱锥SABC中，底面是边长为a的正三角形，点O为?ABC的中心，点M为边BC的中点，AM=2SO，点N在棱SA上，且SA=25SN. (?)求面SBC与底面ABC所
9、成二面角的大小; (?)证明:SA?平面NBC. 3.如图,边长为2的正方形ADEF所在的 平面垂直于平面ABCD，AB=AD， 你的首选资源互助社区 AB?AD，AC=3，AC?BD， 2垂足为M，N为BF的中点. (1)求证:MN?平面ADEF; (2)求异面直线BD与CF所成角的大小; (3)求二面角A-CF-D的大小. 第3题图 ?参考答案 1.(1)延长PM、BA交于F，连接FD，FD、BC延长交于G，连接PG， 1?MAPB=a， 2?M为PF中点，又E为PD中点， ?ME为?PFD中位线，MEFD， ?而FD平面ABCD, ?ME?平面ABCD. 1(2)MAPB时，A为FB的
10、中点. 2?四边形ABCD是正方形，?AD?BC，DC?AB， ?D、C分别为FG、BG的中点. 第1题解图 ?AB=BC=2a. ?BF=BG=4a. ?BD?FG，?PB?平面ABCD，?PB?FG，故FG?平面PBD. 作BH?PD于H，必FG?BH， 故BH?平面PFG，BH之长是点B到平面PFG(也就是平面PMD)的距离. Rt?PBD中，PB=2a，BD=2a. 2PB,BD2222?PD=2a，BH=a，即所求距离为a. ,636PB，BCPD33(3)由(2)知FG?DB，FG?DP. ?PDB是二面角P-FG-B的平面角，且 DB22a66,cos?PDB=，即所求二面角的余
11、弦值为. DP3323a点评: (1)解立体几何题有两句格言:一是空间问题平面化，一是不规则图形规则化.本解中“规则化”的手段是补形，最终补成底面为等腰直角三角形且高与底面垂直的规则四面体，以下的分析计算也就方便了.(2)将正方体截下一个角，所得四面体由于有三条侧棱两两垂直，我们称这样的四面体为直角四面体，直角四面体有许多重要性质，其中最重要的有3条: 2 22?若用S，S，S，S分别表示直角四面体的底面积和三个侧面积,那么:S=S +S+S 12321231222222?若直角四面体的三条侧棱之长依次为a，b，c，则其底面积:S= ab，bc，ca2?若直角四面体的三条侧棱之长，依次为a，b
12、，c，且直角顶点到底面的距离为h，那么 1h=. 111，222abc根据公式?本题第2问可轻而易举地解决:图中BPFG为直角四面体，且BP=2a，BF=BG=4a 你的首选资源互助社区 14a2?BH= ,6a.31114，1，1，222(2a)(4a)(4a)2.(1)如图，正?ABC边长为a时， 331AM=a，OM=AM=a. 32631SO=AM=a. 24?SMA是二面角SBCA的平面角， SO3设为，则tan=. ,OM23?面SBC与面ABC成arctan的角. 第2题解图 2(2)以O为原点，直线AM、OS分别为x,z轴，过O且平行于BC的直线为y轴建立如图的空间直角坐标系
13、，3333aa则有B(a,0)，M(a，0,0)，C (a,0)，S (0,0, a). ,262664233?|OA|,|AM|,a，有A(-a，0，0). 33333?=(-a，0，-a)，=(0，a，0)， ?=0,?. SABCSABCSABC3469631又=，故有N(a，0，a). =a，0，-a). 333SN,SANM2525255025339363992 2 故?=(- a,0,- a)?(a,0,-a)= -a+0+a=0. SANM3450255050?，从而SA?平面NBC. SANM3.方法一:(1)?AB=AD，AC?BD，垂足为M，?M为BD的中点，?N为BF中点
14、，?MNDF ?MN面ADEF，DF面ADEF，?MN?平面ADEF. (2)?平面ADEF?平面ABCD，又?FA?AD，?FA?面ABCD， ?AC是FC在平面ABCD内的射影，BD?AC，?BD?CF， ?异面直线BD与CF所成角的大小为90?. (3)在平面ACF内过M作MH?CF于H，连DH， ?BD?AC，BD?CF，AC?CF=C， ?BD?面ACF，斜线DH在平面ACF内的射影是MH， 又CF?MH，?CF?DH，?MHD是二面角A-CF-D的平面角. 你的首选资源互助社区 在等腰Rt?ABD中，DM=，AM=，?AC=3，?CM=2，CF=, 222222CMMH224?C
15、MH?CFA,?，?MH=,tanMHD =, ,CFFA41122?二面角A-CF-D的大小为arctan. 4方法二:(1)同法一; (2)?平面ADEF?平面ABCD，又?FA?AD，?FA?面ABCD， ?平面FAC?平面ABCD，在平面FAC内作MG?AC交FC于点G， ?MG?平面ABCD. 如图，建立空间直角坐标系M-xyz, 等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。7、每学完一个单元的内容，做到及时复习，及时考核，这样可以及时了解学生对知识的掌握情况，以便及时补差补漏。则C(2，0，0)，B(0，-，0)，D(0，0)，F(-，0，2)， 2222?=(0,
16、2,0)，=(3,0,-2)，?=0，?. BDBDBD22FCFCFC?异面直线BD与CF所成角的大小为90?. 2、会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。第3题解图(1) 第3题解图(2) 第3题解图(3) (3)设n=(x,y,z)是平面CFD的法向量， （2）圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。?=(3，0，-2),FD=(，-2), 222FC,32x,2x,0n,FC,0,由，?，令z=3，则x=，y=2， 22,2x，2y,2
17、z,0,n,FD,0,如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.（3）当0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：?n=(，2，3)，?MD?AC，?MD?平面ACF 222、探索并掌握20以内退位减法、100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。n,MD4238MDMD,?平面ACF的法向量=(0，0)，则cos=. 21919，12|n|MD|初中阶段，我们只学习直角三角形中，A是锐角的正切；互余关系sinA=cos(90A)、cosA=sin(90A)238?二面角A-CF-D的大小为arccos. 19