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1、高中数学解题思想方法技巧：关羽开门 刀举成功第4 关羽开门 刀举成功 ?计名释义 关羽不同于诸葛. 诸葛是智星，靠着扇子;关羽是武士，用的大刀. “过关斩将”用这大刀，“水淹七军”用这大刀. 数学上的“分析”、“分解”、“分割”等，讲的都是刀工. 关羽的“切瓜分片”是什么意思,切者，七刀也，分者，八刀也再难的数学题，经过这七刀、八刀，最后不就粉碎了吗 ?典例示范 ,例1, (2006年四川卷第19题) 如图，在长方体ABCDABCD中，E、P分别是BC、AD111111的中点，M、N分别是AE、CD的中点，AD=AA=a，AB=2a. 11(?)求证:MN?面ADDA; 11(?)求二面角PA
2、ED的大小; (?)求三棱锥PDEN的体积. ,分析, 这是个长方体，而“长”正好是“宽”和“高”的2倍，这正是“关羽开门”的对象:用刀从中一劈，则分成2个相等的正方体. 对于正方体，我们该多么熟悉啊有关线段的长度，各线段间的位置关系，我们都了如指掌. ,解?, 取DC的中点Q ，过Q和MN作平面QRST. 显然，M、N都在这平面里. 11易知QN和SM都平行于平面BCCBMN?BCCBMN?面ADDA(证毕). ,111111,插语, 其所以这么简单，是因为我们对正方体熟悉. 正方体从何而来，感谢关羽的大刀之功. 以后的(?)和(?)，都可转化到正方体里进行(从略). 2【例2】 (04?重
3、庆卷题21)设p0是一常数，过点Q(2p，0)的直线与抛物线y=2px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H(H为圆心). (?)试证:抛物线顶点在圆H的圆周上; (?)并求圆H的面积最小时直线AB的方程. 1【分析】 (?)AB是圆H的直径，欲证抛物线的顶点在圆上，有如下各种对策:(1)证|OH|=|AB|.2222(2)证|OA|+|OB|=|AB| (3)证?AOB=90?,即OA?OB，等. OA,OB显然，利用向量知识证=0,当为明智之举. 222【解答】 (?)当AB?x轴时，直线AB的方程为x=2p,代入y=2px;y=4p,y=?2p,?|AB|=|y-y|=4p.121显
4、然，满足|OQ|=|AB|,此时Q、H重合,?点Q在?H上. 2如直线AB与x轴不垂直，设直线AB:y=tan(x-2p), 22yy22x=,代入:y=tan?-2ptan.即tan?y-2py-4ptan=0. 2p2p此方程有不同二实根yy 122p2?y+y=,yy=-4p 1212tan,224yy16p212?OA,OB =xx+yy=+yy=-4p ,12121222p2p4p?OA,OB,故点O仍在以AB为直径的圆上 【分析】 (?)为使圆面积最小只须圆半径取到最小值，为此不可避免的要给出直径AB之长的函数表达式，直观上我们已可推测到当AB?x轴时，弦AB之长最短(这就是论证方
5、向)，为此又有多种途径 2(1)用直线的点斜式与抛物线方程联立，得关于x(或y)的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|的函数式，再用二次函数或均值不等式的知识求其最值 2(2)用直线的参数方程与抛物线方程联立，得关于参数t的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|=2(t-t)的函数表达式，再依正、余弦函数的有界性求其最值 12这两种方法各有优长，但都须牵涉到两个变量x,y,以下我们推荐，利用投影公式得出的|AB|函数式，只牵涉一个变量 2【解答】(?)直线AB的倾角为,当=90?时，?H的半径为2p,S ?H22|x,x|y,y|(y，y)(y,y)|12121212|AB|,cos,2pc
6、os,2pcos,12p2,(y，y),4yy,12122pcos,tan,当?90?时，不妨设?,0,)，则 2214p2p12,，16p,，422sin,sin,tan,tan,2p，2,4p2综上，=4p,当且仅当=90?时，(S)=4p,相应的直线AB的方程为: ?minHmin别解:由(1)知恒有? 222AB?|=| OA|，|OB|2222x，y，x，y= 1122?2xx+2p(x+x) 1212?2xx+4p xx121222yy2212?yy=-4p,?xx= ,4p12122p2p222ABAB于是|?16p,| |=4p.当且仅当x=x=2p时，S=4p ?min12H
7、【点评】 斧子开门，只要你说要进去，直接在墙上打洞最直接了 ?对应训练 23n21.已知函数f(x)=ax+ax+ax+ax,n?N+,且a,a,，a构成一个数列a,满足f(1)=n 123n12nnanlim(1)求数列a的通项公式，并求之值 nn,an，11,(2)证明0f ,3,32.矩形ABCD中,AB=6,BC=2,沿对角线BD将?ABD向上折起，使点A移到点P,并使点P在平面BCD上的射影O在DC上(如图所示 (1)求证:PD? (2)求二面角PDBC的大小 ?参考答案 1.分析: (1)a的各项是f(x)展开式中各项的系数，故其各项和S=f(1). nn1,可以预见:f展开式的各
8、项是系数成等差，字母成等比的综合数列，这 ,3,种数列的求和方法是“错项相减 1,(3)f的解析式必含变量n,为判断其范围可考虑用求导法判断其单调性 ,3,2解答: (1)?f(1)=a+a+a=n 12n2即S=n n?a=S-S=2n- nnn-112,an2,1nnlimlim=; ,lim,1n,n,n,1an2，1n，12，n(2)由(1)知a=2n-1. n3n11111,2?f=1 ? ，3，()，5，？(2n,1)，,33333,23nn，1111111,13(23)(21) ? f？nn,，,，,333333,23nn，12111111,12(21)?-?: fn,，,，,3
9、333333,2n,1n11112111n,f =？ ，,，,3233323,1n，1,1,nn,112113, =，,， ,12323,1,3,，n,1n，111211n,= 1 ，,，,22323,，n,1112n,1n，1,，=1- ，1，,1,n2333,，1,ln3(，1)x，1x-x-x设g(x)=,?g(x)=3+(x+1)?3ln3? (-1)=,0. xx332?g(x)是R+上的减函数，从而g(n)是N+上的减函数，,g(n),=g(1)=, max3211n，1,，,，,0,1又当n?时,g(n)?0,?,从而f? ,n3333,，,，,2.分析:图形经过翻折(或平移、旋
10、转)，只是位置改变，而有关线段的长度、角度及原来的平行、垂直等关系，在位置改变前后都没有改变，紧扣这一点，就能悟出解题门道. 二特殊角的三角函数值11.弧长及扇形的面积(1)为证PD?PC,须先证PD?平面PBC,已有PD?PB(翻折前为AD?AB),还须PD? (2)求二面角的要点是找出二面角的平面角，已有PO?平面BCD于O,且?只须作OM?即可 解答: (1)由条件知PO?平面BCD于O,且?CD,?BC?PD(三垂线定理),但PD?PB,?推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.PD?面PBC,从而PD
11、? 最大值或最小值：当a0，且x0时函数有最小值，最小值是0；当a0，且x0时函数有最大值，最大值是0。115.75.13加与减（二）2 P61-63 数学好玩2 P64-67(2)作OM?BD于M，连接PM,则BD?PM(三垂线定理),?PMO是二面角PBDC的平面角 ?PB=6, 最大值或最小值：当a0，且x0时函数有最小值，最小值是0；当a0，且x0时函数有最大值，最大值是0。94.234.29加与减（二）4 P49-56PD,PB33PD=2,?BD=4,PM= BD推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.22已证PD?PC,?PC=, CD,PD,36,12,26PD,PC23，26,22PO= CD6(1)如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.（圆心向弦作垂线）2222?PMO=,?PMO=arcsin 3322即所求二面角PDBC的大小为 3|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；