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1、高中数学解题思路大全：用放缩法证明不等式用放缩法证明不等式 徐加生 戴加荣 所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。 一. “添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 43322b为不相等的两正数，且a,b,a,b，求证。 例1. 设a，1,，,ab322222证明:由题设得a，ab，b,a，b，于是(a，b),a，ab，b,a，b，又a，b,0，11322
2、2得a，b,1，又ab,(a，b)，而(a，b),a，b，ab,a，b，(a，b)，即(a444442，b),a，b，所以a，b,，故有1,a，b,。 33例2. 已知a、b、c不全为零，求证: 3222222 aabbbbcccacaabc，,()222bbbb3222aabba，,，,，(),()?baaa证明:因为，42222ca2222，,bbccbcacac，,同理，。 223222222所以 aabbbbcccacaabc，,()2二. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目
3、的。 abc例3. 已知a、b、c为三角形的三边，求证:。 12,，,bc，ac，abbaab证明:由于a、b、c为正数，所以，,bc，abcac，abc高考学习网,中国最大高考学习网站G | 我们负责传递知识 cc，所以,ab，abcabcabc，又a，b，c为三角形的，,，,1bc，acabc，abc，abc，ab，aa2ab2b边，故b+c,a，则为真分数，则，同理，,bc，bc，abcac，abcc2c， ,ab，abcabc222abc故. ，,，,2bc，acabc，abcabcab，abc综合得。 12,，,bc，ac，ab三. 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，
4、可采用数列中裂项求和等方法来解题。 111 例4. 已知n?N*，求。 1，,2n23n11122证明:因为，则 1，,(),21nn23nnnnn，,11,()()(),，,，,，,122123221212nnnnn，证毕。 *n,N例5. 已知且，求证:a,1，2，2，3，？，n(n，1)n2(1)(1)nn，n，对所有正整数n都成立。 ,a,n22n(n1)，2n(n，1),n,n证明:因为，所以a12n， ,，？，,n2n(n，1)n(n，1),又， 22n(n1)(n1)1223352n1，a所以，综合知结论成,，？，,，？，,n2222222立。 四. 公式放缩 利用已知的公式或恒
5、不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。 高考学习网,中国最大高考学习网站G | 我们负责传递知识 x2,1n*n,N(),fxn,3例6. 已知函数，证明:对于且都有。 f(n),x2，1n，1证明:由题意知 nnn2,1n21122,(2n，1)f(n),(1,),(1,),nnnnn，1n，1n，1n，12，12，12，1(n，1)(2，1)*nn,N2,2n，1n,3且，所以只须证，又因为 又因为，n(n,1)012n,1nnn所2,(1，1),C，C，C，？，C，C,1，n，？，n，1,2n，1nnnnn2n以。 f(n),n，12fafbab()(),ab,例7. 已知f(x)
6、,1，x，求证:当时。 证明:22abab，,ab,22fafbab()(),，,，,11, 22221111，ab，aba，ba,b(a，b)a,b,a,b证毕。 a，ba，b五. 换元放缩 对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。 111例8. 已知a,b,c，求证。 ，,0a,bb,cc,a74.94.15有趣的图形3 P36-41b,c，u(t,u,0)证明:因为a,b,c，所以可设，所以t,u,0则a,c，tB、当a0时11111111t,u111，即。 ，,，,0，,0a,bb,cc,at,uututtua,bb,cc,a（3）二次函数的图象
7、：是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线，二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。222*a，b,cn,N例9. 已知a，b，c为?ABC的三条边，且有，当且n,3时，求nnna，b,c证:。 222 证明:由于abc，,，可设a=csina，b=ccosa(a为锐角)，因为，01,sinan2n2sinsinaa,coscosaa,，则当时， 01,cosan,3nnnnnnn22abcaacaac，,，,，,(sincos)(sincos)所以。 六. 单调函数放缩 函数的增减性：高考学习网,中国最大高考学
8、习网站G | 我们负责传递知识 顶点坐标：（，）(2)中心角、边心距：中心角是正多边形相邻两对角线所夹的角，边心距是正多边形的边到圆心的距离.根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。 30 o45 o60 oa，bab,，例10. 已知a，b?R，求证。 1，a，b1，a1，b74.94.15有趣的图形3 P36-41x0,x,x证明:构造函数，首先判断其单调性，设，因为f(x),(x,0)121，xxxx,x1212，fx,fxf(x)，所以，所以在f(x),f(x),012121，x1，x(1，x)(1，x)1212(6）三角形的内切圆、内心.0,x,x0,，,上是增函数，取，显然满足， x,a，bx,a，b1212(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.所以， f(a，b),f(|a|，|b|)|a，b|a|，|b|a|b|a|b|,，,，即。证毕。 1，|a，b|1，|a|，|b|1，|a|，|b|1，|a|，|b|1，|a|1，|b|高考学习网,中国最大高考学习网站G | 我们负责传递知识