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1、高中数学解题技巧第2计函数值域的类型和求法高考数学解题技巧(每周一计) 函数值域的类型与求法第二计 确定函数的值域高中数学的一个难点问题，它所涉及到的知识面广，研究方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 1y,x 例1 求函数的值域。 x,0解 ? 1,0x? (,0):(0,，,)显然函数的值域是: y,3,x 例2 求函数的值域。 x,0解 ? ？,x,0,3,x,3 ,3故函数的值域是: 2. 配方法 配方法是求二
2、次函数值域最基本的方法之一。 2y,x,2x，5,x,1,2 例3 求函数的值域。 2y,(x,1)，4解 将函数配方得: x,1,2? y,4y,8minmaxx,1由二次函数的性质可知:当x=1时，当时， 故函数的值域是:4，8 3. 判别式法 21，x，xy,21，x 例4 求函数的值域。 解 原函数化为关于x的一元二次方程 2(y,1)x，(y,1)x,0 y,1x,R(1)当时， 2,(,1),4(y,1)(y,1),0 13,y,22解得 13，1,22，x,0(2)当y=1时，而 13，,22，故函数的值域为 y,x，x(2,x) 例5 求函数的值域。 222x,2(y，1)x，
3、y,0解:两边平方整理得:(1) x,R? 2,4(y，1),8y,0? 1,2,y,1，2解得: x(2,x),00,x,2但此时的函数的定义域由，得 222x,2(y，1)x，y,0,0由，仅保证关于x的方程:在实数集R有实根，而不,0能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程(1)有实根，由 求出的范围可能13，,22，比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 0,x,2? ？y,x，x(2,x),0 ？y,0,y,1，2min代入方程(1) 42，2,22x,0,212解得: 42222，,x,12即当时， 0,1，2原函数的值域为: 注:
4、由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 xe,1y,xe，1 例6 求函数的值域。 y，1xe,y,1解 由原函数式可得: xe,0? y，1,0y,1? ,1,y,1解得 (,1,1)故所求函数的值域为 cosxy,sinx,3 例7 求函数的值域。 ysinx,cosx,3y解 由原函数式可得:，可化为: 2y，1sinx(x，,),3y 3ysinx(x，,),2y，1即 x,R? sinx(x，,),1,1? 3y,1,12y，
5、1即 22,y,44解得: ，22,44,，故函数的值域为 5.函数单调性法 x5,y,2，logx,1(2,x,10)3 例8 求函数的值域。 x5,y,2,y,logx,1123解 令 y,y12则在2，10上都是增函数 y,y，y12所以在2，10上是增函数 13,y2log21,，,min38当x=2时， 5y,2，log9,33max3当x=10时， 1，,33,8，故所求函数的值域为: y,x，1,x,1 例9 求函数的值域。 2y,x，1，x,1解:原函数可化为: y,x，1,y,x,1y,y1,，,1212令，显然在上为无上界的增函数 y,yy1,，,12所以，在上也为无上界的
6、增函数 2,2y,y，y2212所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值 (0,2y,0显然，故原函数的值域为 6.换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 y,x，x,1 例10 求函数的值域。 (t,0)x,1,t解 令， 2x,t，1则 1322ytt1(t),，,，24? t,0又，由二次函数的性质可知 y,1t,0min当时， y,，,t,0当时， 1,，,)故函数的值域为 2y,x，2，1,(x，1) 例11 求函数的值域。 21,(x，1),0解:因 2(x
7、，1),1即 x，1,cos,0,故可令 2y,cos,，1，1,cos,sin,，cos,，1? ,2sin(,，)，14 ,50,0,，,44? 2,？,sin(,，),124,？0,2sin(,，)，1,1，24 0,1，2故所求函数的值域为 3x,xy,42x，2x，1 例12 求函数的值域。 212x1,xy,，2221，x1，x解:原函数可变形为: 22x1,x2,sin2,cos,22x,tg,1，x1，x可令，则有 11？y,sin2,，cos2,sin4,24 k,1,ymax428当时， 1k,y,，,min284当时， tan,而此时有意义。 11，,44，故所求函数的值
8、域为 ,，x,y,(sinx，1)(cosx，1)122， 例13 求函数，的值域。 y,(sinx，1)(cosx，1)解: ,sinxcosx，sinx，cosx，1 12sinxcosx,(t,1)sinx，cosx,t2令，则 1122y,(t,1)，t，1,(t，1)22 t,sinx，cosx,2sin(x，,/4)由 ,，x,122，且 2,t,22可得: 3232y,，2t,y,，maxt,22422?当时，当时， ，323，,，2,422,，故所求函数的值域为。 2y,x，4，5,x 例14 求函数的值域。 2|x|,55,x,0解 由，可得 x,5cos,0,故可令 ,y,
9、5cos,，4，5sin,10sin(,，)，44 0, ?,5,？,，,444 y,4，10,/4max当时， y,4,5,min当时， 4,5,4，10故所求函数的值域为: 7. 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 22y,(x,2)，(x，8)例15 求函数 的值域。 y,|x,2|，|x，8|解 原函数可化简得: B(,8)上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2)，间的距离之和。 y,|x,2|，|x，8|,|AB|,10由上图可知，当点P在线段AB上时， y,|x,2|，
10、|x，8|,|AB|,10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时， 10,，,故所求函数的值域为: 22y,x,6x，13，x，4x，5 例16 求函数的值域。 解 原函数可变形为: 2222y,(x,3)，(0,2)，(x，2)，(0，1) P(x,0)A(3,2),B(,2,1)上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和， 22y,|AB|,(3，2)，(2，1),43min由图可知当点P为线段与x轴的交点时， 43,，,故所求函数的值域为 22y,x,6x，13,x，4x，5 例17 求函数的值域。 2222y,(x,3)，(0,2),(x，2)，(0,1)解 将函数变形为: B(,2,1
11、)P(x,0)上式可看成定点A(3，2)到点P(x，0)的距离与定点到点的距离之差。 y,|AP|,|BP|即: P由图可知:(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成,ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有22|AP|,|BP|,|AB|,(3，2)，(2,1),26 ,26,y,26即: |AP|,|BP|,|AB|,26(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有 (,26,26综上所述，可知函数的值域为: 注 由例16，17可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。 (,2,1)如:例16的A，
12、B两点坐标分别为:(3，2)，在x轴的同侧;例17的A，(2,1)B两点坐标分别为(3，2)，在x轴的同侧。 8.不等式法 ，3(a,b,c,R)a，b,2ab,a，b，c,3abc利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 1122y,(sinx，)，(cosx，),4sinxcosx 例18 求函数的值域。 解 原函数变形为: 1122y,(sinx，cosx)，22sinxcosx22,1，cesx，secx22,3，tanx，cotx322,3tanxcotx，2,5 tanx,cotx当且
13、仅当 ,x,k,(k,z)4即当时，等号成立 5,，,)故原函数的值域为: y,2sinxsin2x 例19 求函数的值域。 y,4sinxsinxcosx解: 2,4sinxcosx 42y16sinxcosx,2228sinxsinx(22sinx),22238(sinxsinx22sinx)/3,，,64,27 22sinx,22sinx,2,2sinx3当且仅当，即当时，等号成立。 8383642,y,y,9927由可得: ，8383,99,，故原函数的值域为: 9.多种方法综合运用 x，2y,x，3 例20 求函数的值域。 2t,x，2(t,0)x，3,t，1解 令，则 t11y,2
14、12t1，t，t,0tx,1(1)当时，当且仅当t=1，即时取等号，所以(一)教学重点10,y,2 （3）当0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：(2)当t=0时，y=0。 （2）经过三点作圆要分两种情况:1，0,2，综上所述，函数的值域为: 注:先换元，后用不等式法 d=r 直线L和O相切.2341，x,2x，x，xy,241，2x，x 例21 求函数的值域。 2431,2x，xx，xy,，24241，2x，x1，2x，x解 22,1,xx,，22,1，x1，x, 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.22,1,x2,cos,x,tan2,1，x,2，则 令1、
15、第一单元“加与减(一)”。是学习20以内的退位减法，降低了一年级上学期孩子们学习数学的难度。退位减法是一个难点，学生掌握比较慢，但同时也是今后竖式减法的重点所在。所以在介绍的：数小棒、倒着数数、凑十法、看减法想加法、借助计数器这些方法中，孩子们喜欢用什么方法不统一要求，自己怎么快怎么算，但是要介绍这些方法。x1,sin,221，x 1122？y,cos,，sin,sin,，sin,，122 2117,sin,，,416, 43.193.25观察物体2 生活中的数1 P22-23171ysin,max164?当时， sin,1y,2min当时， （4）二次函数的图象：是以直线为对称轴，顶点坐标为（，）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）17，,2,tan,16，2此时都存在，故函数的值域为 sin,注:此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选0 抛物线与x轴有2个交点；择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其互余关系sinA=cos(90A)、cosA=sin(90A)他各种特殊方法。