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1、高中理科数学解题方法篇(圆锥曲线3)圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫 做方程的曲线. 点与曲线的关系 若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P(x,y)在曲线C上f(x,y ,0000)=0; 0点P(x,y)不在曲线C上f(x,y)?0 ,00000两条曲线的交点 若曲线C，C的方程分别为f(x,y)=0,f(x,y)=0,则
2、1212f(x,y)=0 100点P(x,y)是C，C的交点 ,00012f(x,y) =0 200方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解，曲线就没有 交点. 2.圆 圆的定义 点集:,M,OM,=r,，其中定点O为圆心，定长r为半径. 圆的方程 (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是 222(x-a)+(y-b)=r 圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是 222x+y=r (2)一般方程 22当D+E-4F,0时，一元二次方程 22x+y+Dx+Ey+F=0 22DE-4F，DE叫做圆的一般方程，圆心为(-,-，半径是.配方，将方程22222x+
3、y+Dx+Ey+F=0化为 22DE-4F，DE22(x+)+(y+)= 42222当D+E-4F=0时，方程表示一个点 DE(-,-); 2222当D+E-4F,0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x,y)，则 00,MC,r点M在圆C内， ,MC,=r点M在圆C上， ,第 1 页 共 57 页 ,MC,r点M在圆C内， ,22其中,MC,=. (x-a)，(y-b)00(3)直线和圆的位置关系 ?直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交有两个公共点 ,直线与圆相切有一个公共点 ,直线与圆相离没有公共点 ,?直线和圆的位置关
4、系的判定 (i)判别式法 Aa，Bb，C(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=与半径r的大小关系22A，B来判定. 3.椭圆、双曲线和抛物线 椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表. 曲 线 椭 圆 双曲线 抛物线 性 质 点集:(M,MF+,点集:M,MF,-,点集M, ,MF,=点M11轨迹条件 MF,=2a,F F,MF,. 到直线l的距离. 21222a, =?2a,FF,2a. 22圆 形 2222xyxy+=1(a,b,0) -=1(a,0,b,2222标准方程 y=2px(p,0) 2abab0) A(-a,0),A(a,0); 12顶 点 A(0,-a),
5、A(0,a) O(0,0) 12B(0,-b),B(0,b) 12对称轴x=0,y=0 对称轴x=0,y=0 轴 长轴长:2a 实轴长:2a 虚轴长:对称轴y= 短轴长:2b 2b P，0) F(F(-c,0),F(c,0) F(-c,0),F(c,0) 1212焦 点 2焦点在长轴上 焦点在实轴上 焦点对称轴上 ,FF,=2c， F,=2c, ,F 1212焦 距 c= c= a2-b2a2，b222paa x=-x=? x=? 2cc准 线 准线与焦点位于顶点准线垂直于长轴，且准线垂直于实轴，且在两侧，且到顶点的距在椭圆外. 两顶点的内侧. 第 2 页 共 57 页 离相等. cce=,0
6、,e,1 e=,e,1 离心率 e=1 aa4.圆锥曲线的统一定义 平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e,0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率. 当0,e,1时，轨迹为椭圆 当e=1时，轨迹为抛物线 当e,1时，轨迹为双曲线 5.坐标变换 坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点 的坐标与曲线的方程. 坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度
7、单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴. 坐标轴的平移公式 设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x Oy中的坐标是(x,y).设新坐标系的原点O在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 x=x+h x=x-h (1) 或(2) y=y+k y=y-k 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表. 方 程 焦 点 焦 线 对称轴 222(x-h)(y-k)ax=h (?c+h,k) +=1 x=?+h 22y=k cab椭圆 222(x-h)(y
8、-k)ax=h (h,?c+k) + =1 y=?+k 22y=k cba222(x-h)(y-k)ax=h (?c+h,k) -=1 =?+k 22y=k cab双曲线 222(y-k)(x-h)ax=h (h,?c+h) -=1 y=?+k 22y=k cabpp2+h,k) x=-+h (y-k)=2p(x-h) y=k 22pp2+h,k) x=+h (-抛物线 (y-k)=-2p(x-h) y=k 22pp2+k) y=-+k (h, (x-h)=2p(y-k) x=h 22第 3 页 共 57 页 pp2+k) y=+k (h,- (x-h)=-2p(y-k) x=h 22二、知识
9、点、能力点提示 (一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点 说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求 出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断 曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标. 三、 考纲中对圆锥曲线的要求: 考试内容: . 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程; . 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质; . 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质; 考试要求: . (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程; . (
10、2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质; . (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质; . (4)了解圆锥曲线的初步应用。 四(对考试大纲的理解 高考圆锥曲线试题一般有3题(1个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计22分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络,
11、着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视。 求圆锥曲线的方程 【复习要点】 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. 定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定
12、22在哪个坐标轴上时，可设方程为mx+ny=1(m,0,n,0). 定量由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大第 4 页 共 57 页 小. 【例题1】 22yx【例1】 双曲线=1(b?N)的两个焦点F、F，P为双曲线上一点， ,1224b2|OP|,5,|PF|,|FF|,|PF|成等比数列，则b=_. 1122解:设F(,c,0)、F(c,0)、P(x,y),则 12222222|PF|+|PF|=2(|PO|+|FO|),2(5+c), 121222即|PF|+|PF|,50+2c, 12222又?|PF|+|PF|=(|PF|,|PF|)+2|PF|?|P
13、F|, 121212依双曲线定义，有|PF|,|PF|=4, 1222依已知条件有|PF|?|PF|=|FF|=4c 121217222?16+8c,50+2c,?c, 35172222又?c=4+b,?b,?b=1. 33答案:1 202221，x,，y,【例2】 已知圆C的方程为，椭圆C的方程为 12322xy2，C的离心率为，如果C与C相交于A、B两点，且线段AB，,1ab,0，212222ab恰为圆C的直径，求直线AB的方程和椭圆C的方程。 122c22222解:由 e,得,a,2c,b,c.2a222xy设椭圆方程为 ，,1.222bbA(x,y).B(x,y).由圆心为(2,1).
14、设 1122y？x，x,4,y，y,2. 12122222xyxy1122A又 ，,1,，,1,22222bb2bb2222x,xy,y1212两式相减，得 ，,0.C1222bbFFO(x，x)(x,x)，2(y，y)(y,y),0,1 212121212xBy,y12又x，x,4.y，y,2.得,1. 1212x,x12？直线AB的方程为y,1,(x,2). y,x，3即 第 5 页 共 57 页 22xy将 y,x，3代入，,1,得222bb223x,12x，18,2b,0. 2 ？直线AB与椭圆C相交.？,24b,72,0.2202由 AB,2x,x,2(x，x),4xx,.12121
15、23224b,72202,.得 3322xy2b,8.解得 故所有椭圆方程 ，,1.1682【例3】 过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的21椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右2焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程. 22c21a,b22解法一:由e=,得,从而a=2b,c=b. ,22a2a222设椭圆方程为x+2y=2b,A(x,y),B(x,y)在椭圆上. 1122222222则x+2y=2b,x+2y=2b,两式相减得， 1122y,yx，x22221212,(x,x)+2(y,y)=0, .1212x,xy，y
16、2()1212x0设AB中点为(x,y),则k=, 00ABy2y01y=xB211又(x,y)在直线y=x上，y=x, 000022x0于是,=,1,k=,1, AB2y0FxFo21设l的方程为y=,x+1. A右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x,y), ,y,1,x,1,x,b 则 解得,y,1,byx，b,，1,22,992222,a,由点(1,1,b)在椭圆上，得1+2(1,b)=2b,b=. 168第 6 页 共 57 页 28x162?所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=,x+1. ，y992221ca,b22,从而a=2b,c=b. 解法二:由e=,得,222aa222
17、设椭圆C的方程为x+2y=2b,l的方程为y=k(x,1), 22222将l的方程代入C的方程，得(1+2k)x,4kx+2k,2b=0, 24k2k则x+x=,y+y=k(x,1)+k(x,1)=k(x+x),2k=,. 12121212221，2k1，2k2x，xy，y,k12k11212,直线l:y=x过AB的中点(),则, ,2222221，2k1，2k解得k=0，或k=,1. 若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=,1，直线l的方程为y=,(x,1),即y=,x+1,以下同解法一. 22xy解法3:设椭圆
18、方程为 ，,1(a,b,0)(1)22ab1y,x过AB直线不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线中点矛盾。 l2l的方程为y,k(x,1)(2)故可设直线 2222222222(2)代入(1)消y整理得: (ka，b)x,2kax，ak,ab,0(3)222ka设A(x，y)B(x，y)， 知:x，x,112212222ka，b又y，y,k(x，x),2k代入上式得: 1212222221112kka，bb2，又e, ？k,k,？k,k,k,2222222x，x2kaka122222(a,c)2b2？直线l的方程为y,1,x， ？k,2，2e,122aa222222此时a,2b， 方程(3
19、)化为3x,4x，2,2b,0,16,24(1,b),8(3b,1),032222222又c,a,b,b， ？b,椭圆C的方程可写成:x，2y,2b(4)3？右焦点F(b，0)设点F关于直线l的对称点(x，y)， 00y,0,1,x,b,0则， ,x,1，y,1,b,00yx，b,00,1,22,第 7 页 共 57 页 332又点(1，1,b)在椭圆上，代入(4)得:， ？b,1，2(1,b),2b439922？b,a,， 16822yx所以所求的椭圆方程为: ，,19981627【例4】 如图，已知?POP的面积为，P为线段PP的一个三等分点，1212413求以直线OP、OP为渐近线且过点
20、P的离心率为的双曲线方程. 122解:以O为原点，?POP的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系. 1222yxy设双曲线方程为,=1(a,0,b,0) 2P22ab2b3cb13222,由e=，得. ,1，(),()2a2a2a33?两渐近线OP、OP方程分别为y=x和y=,x 12P22ox33设点P(x, x),P(x,x)(x,0,x,0), 1112221222P1PP1则由点P分所成的比=2, PP12PP222x，xx,x1212,得P点坐标为(), 32224yx又点P在双曲线,=1上， 22a9a22(x，2x)(x,2x)1212,所以=1, 229a9a2222即(x+
21、2x),(x,2x)=9a,整理得8xx=9a ? 1212129139132222|OP|,x，x,x,|OP|,x，x,x又1111222424232，2tanPOx1221sinPOP, 1229131，tanPOx11，411131227？S,|OP|,|OP|,sinPOP,xx,POP121212122241349即xx= ? 12222由?、?得a=4,b=9 第 8 页 共 57 页 22yx故双曲线方程为=1. ,4922yx222【例5】 过椭圆C:，,1(a,b,0)上一动点P引圆O:x +y =b的两22ab条切线PA、PB，A、B为切点，直线AB与x轴，y轴分别交于M
22、、N两点。(1) 已知P点坐标为(x，y )并且xy?0，试求直线AB方程;(2) 若椭圆的00002225ab短轴长为8，并且，求椭圆C的方程;(3) ，,2216|OMON椭圆C上是否存在点P，由P向圆O所引两条切线互相垂直,若存在，请求出存在的条件;若不存在，请说明理由。 解:(1)设A(x，y)，B(x， y) 112222切线PA:，PB: xx，yy,bxx，yy,b112222?P点在切线PA、PB上，? xx，yy,bxx，yy,b101020202?直线AB的方程为 xx，yy,b(xy,0)000022bb(2)在直线AB方程中，令y=0，则M(，0);令x=0，则N(0，
23、) xy00222222yx25abaa00()?，,，, ? 2222216b|OMONbab22 2?2b=8 ?b=4 代入?得a=25, b =16 22yx?椭圆C方程: (注:不剔除xy?0，可不扣分) ，,1(xy,0)2516(3) 假设存在点P(x，y)满足PA?PB，连接OA、OB由|PA|=|PB|知， 00222四边形PAOB为正方形，|OP|=2|OA| ? ? x，y,2b00222222又?P点在椭圆C上 ? ? ax，by,ab0022222b(a,2b)ab22由?知x ,y,002222a,ba,b22?ab0 ?a ,b0 222(1)当a,2b0，即ab
24、时，椭圆C上存在点，由P点向圆所引两切线互相垂直; 第 9 页 共 57 页 22(2)当a,2b0，即bab时，椭圆C上不存在满足条件的P点 2【例6】 已知椭圆C的焦点是F(,，0)、F(，0)，点F到相331213应的准线的距离为，过F点且倾斜角为锐角的直线l与椭圆C交于A、B两点，23使得|FB|=3|FA|. 22(1)求椭圆C的方程;(2)求直线l的方程. 解:(1)依题意，椭圆中心为O(0，0)， c,32b32点F到相应准线的距离为， 1,3,？b,，3,1c3222a=b+c=1+3=4 yl2x2?所求椭圆方程为 ，y,14P,ll(2)设椭圆的右准线与l交于点P，作AM?
25、，AN?AM,l，垂足 FFOx12分别为M、N. 由椭圆第二定义， NB|AF|2得 ,e,|AF|,e|AM|2|AM|同理|BF|=e|BN| 21由Rt?PAM,Rt?PBN，得9分 |PA|,|AB|,2|FA|,2e|AM|22|AM|113k,tan，PAM,2的斜率. ？cos，PAM,l|PA|2e332，2?直线l的方程 y,2(x,3)即2x,y,6,0【例7】 已知点B(,1，0)，C(1，0)，P是平面上一动点，且满足|PC|,|BC|,PB,CB.(1)求点P的轨迹C对应的方程; (2)已知点A(m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD?AE，判
26、断:直线DE是否过定点,试证明你的结论. (3)已知点A(m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k、k满足k?k=2.求证:直线DE过定点，并求出这个定点. 1212222解:(1)设 P(x,y)代入|PC|,|BC|,PB,CB得(x,1)，y,1，x,化简得y,4x.第 10 页 共 57 页 2(2)将A(m,2)代入y,4x得m,1,？点A的坐标为(1,2).4822设直线AD的方程为y,2,k(x,1)代入y,4x,得y,y，,4,0,kk444由y,2可得y,2,？D(，1,2).122kkk122 同理可设直线AE:y,2,(x,1),代入y,
27、4x得E(4k，1,4k,2).k4，4kk2则直线DE方程为:y，4k，2,(x,4k,1),化简得42k,4k2k(y，2)，k(x,5),(y，2),0,k即y，2,(x,5),过定点(5,2).2k,12(3)将A(m,2)代入y,4x得m,1,设直线DE的方程为y,kx，b,D(x,y),E(x,y)1111y,kx，b, ,222由得kx，2(kb,2)x，b,0,2,y,4x,y,2y,212？k,k,2,？,2(x,x,1),ADAE12x,1x,112且y,kx，b,y,kx，b112222？(k,2)xx，(kb,2k，2)(x，x)，(b,2),2,0,12122,2(k
28、b,2)b22将x，x,xx,代入化简得b,(k,2),？b,(k,2).121222kk？b,(k,2).将b,k,2代入y,kx，b得y,kx，k,2,k(x，1),2,过定点(,1,2).将b,2,k代入y,kx，b得y,kx，2,k,k(x,1)，2,过定点(1,2),不合,舍去,？定点为(,1,2)2223xy【例8】 已知曲线1(0,0)，直线l过A(a，,a,b,的离心率e,223ab0)、 3B(0，,b)两点，原点O到l的距离是 .2(?)求双曲线的方程; OM,ON,23(?)过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若，求直线m的方程. xy解:(?)依题意， 由原点O到l的距
29、离 l方程，,1,即bx,ay,ab,0,a,bc233abab3为，得 又 ？b,1,a,3e,222a3c2a，b2x2故所求双曲线方程为 ,y,13第 11 页 共 57 页 (?)显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y=kx,1，则点M、N坐标()、 x,y11ykx,1,()是方程组 的解 x,y222,x2y,1,3,22消去y，得 ? (1,3k)x，6kx,6,026k6依设，由根与系数关系，知 1,3k,0,x，x,xx,1212223k,13k,1OM,ON,(x,y),(x,y),xx，yy,xx，(kx,1)(kx,1)1122121212122226(1，k)6k =
30、(1，k)xx,k(x，x)，1,，11212223k,13k,16 = ，123k,161 ?=,23，k=? ，1？OM,ON,23223k,11当k=?时，方程?有两个不等的实数根 211故直线l方程为 y,x,1,或y,x,12222xy【例9】 已知动点P与双曲线的两个焦点、的距离之和为FF,112231cos，FPF定值，且的最小值为,( 129(1)求动点P的轨迹方程; N,D(0,3)(2)若已知，M、在动点P的轨迹上且，求实数的取值范DM,DN围( 222(2)1a，a,c解:(1)由已知可得: ， ,c,5292a2222? a,9,b,a,c,422xy? 所求的椭圆方程
31、为 . ，,194(2)方法一: 由题知点D、M、N共线，设为直线m，当直线m的斜率存在时，设为k，则直线m的方程为 y = k x +3 代入前面的椭圆方程得 22 (4+9k ) x +54 k +45 = 0 ? 5222k,由判别式 ，得. ,(54k),4，(4，9k)，45,09第 12 页 共 57 页 再设M (x , y ), N ( x , y )，则一方面有 1122，得 DM,(x,y,3),DN,(x,y,3),(,x,(y,3)112222,x,x,12 ,y,y,3,(,3)12,54k45x，x,xx,另一方面有 ， ? 1212224，9k4，9k将代入?式并
32、消去 x可得 x,x 212,43632440,，由前面知， ,，92225k,5(1，)k,324811? ，解得 . ,59,255,5(1)，1又当直线m的斜率不存在时，不难验证:, ,或,551所以 为所求。 ,55方法二:同上得 ,x,x,12 ,y,y,3,(,3)12,设点M (3cos，2sin)，N (3cos,2sin) ,cos,cos,则有 ,2sin,3,(2sin,3),由上式消去并整理得 2,13,18，5,sin, 由于,1,sin,1 212(,)21,13,18，5,1,1? ， 解得为所求. ,52,12(,)5方法三:设法求出椭圆上的点到点D的距离的最大
33、值为5，最小值为1. 1,进而推得的取值范围为,5。 5【求圆锥曲线的方程练习】 一、选择题 221(已知直线x+2y,3=0与圆x+y+x,6y+m=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP?OQ，则m等于( ) 第 13 页 共 57 页 A.3 B.,3 C.1 D.,1 2(中心在原点，焦点在坐标为(0，?5)的椭圆被直线3x,y,2=0截得的弦的中点21的横坐标为，则椭圆方程为( ) 222222y2y2x2xA.，,1 B.，,125757525 2222yyxxC.，,1 D.，,125757525二、填空题 223(直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线
34、12x,4y=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_. 4(已知圆过点P(4，,2)、Q(,1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，则该3圆的方程为_. 三、解答题 5(已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M和1410M，且|MM|=，试求椭圆的方程. 21236(某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长. 20227(已知圆C的方程为(x,2)+(y,1)=,椭圆C的方程12322yx2，为=1(a,b,0)，C
35、的离心率为，如果C与C相交212222ab于A、B两点，且线段AB恰为圆C的直径，求直线AB的方程1和椭圆C的方程. 2参考答案 第 14 页 共 57 页 22一、1.解析:将直线方程变为x=3,2y,代入圆的方程x+y+x,6y+m=0, 22得(3,2y)+y+(3,2y)+m=0. 2整理得5y,20y+12+m=0,设P(x,y)、Q(x,y) 112212，m则yy=,y+y=4. 12125又?P、Q在直线x=3,2y上， ?xx=(3,2y)(3,2y)=4yy,6(y+y)+9 12121212故yy+xx=5yy,6(y+y)+9=m,3=0，故m=3. 12121212答
36、案:A 22yx222.解析:由题意，可设椭圆方程为:， =1,且a=50+b, 22ab22yx即方程为，=1. 2250，bb将直线3x,y,2=0代入，整理成关于x的二次方程. 22由x+x=1可求得b=25,a=75. 12答案:C 二、3.解析:所求椭圆的焦点为F(,1,0),F(1,0),2a=|PF|+|PF|. 1212欲使2a最小，只需在直线l上找一点P.使|PF|+|PF|最小，利用对称性可解. 1222yx答案: =1 ，542224.解析:设所求圆的方程为(x,a)+(y,b)=r 222,，,(4a)(2b)r,a,1a,5,222,，,(1a)(3b)rb或b则有
37、,0,4 ,22222rr,13,27|a|，(23),r,由此可写所求圆的方程. 2222答案:x+y,2x,12=0或x+y,10x,8y+4=0 222三、5.解:|MF|=a+c,|MF|=a,c,则(a+c)(a,c)=a,c=b, maxmin22yx2?b=4,设椭圆方程为 ，,124a? 设过M和M的直线方程为y=,x+m 12? 222222将?代入?得:(4+a)x,2amx+am,4a=0 第 15 页 共 57 页 ? 设M(x,y)、M(x,y),MM的中点为(x,y), 1112221200214mam则x= (x+x)=,y=,x+m=. 012002224，a4
38、，a2am4m代入y=x,得, 224，a4，a24a2+x=0,xx=, 由于a,4,?m=0,?由?知x121224，a4102又|MM|=, 2()4x，x,xx,121212322yx2代入x+x,xx可解a=5,故所求椭圆方程为: =1. ，1212546.解:以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系， 如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为(,10，,4)、(10，,4) 2设抛物线方程为x=,2py,将A点坐标代入，得100=,2p(,4),解得p=12.5, 2于是抛物线方程为x=,25y. 由题意知E点坐标为(2，,4)，E点横坐标也为2，将2代入得y=
39、,0.16,从而|EE|= (,0.16),(,4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米. 22yx2，7.解:由e=,可设椭圆方程为=1, 2222bb又设A(x,y)、B(x,y),则x+x=4,y+y=2, 1122121222222222xyxyx,xy,y11221212，,1,，又=1,两式相减，得=0, 2222222bb2bb2bb即(x+x)(x,x)+2(y+y)(y,y)=0. 12121212y,y12化简得=,1,故直线AB的方程为y=,x+3, x,x1222代入椭圆方程得3x,12x+18,2b=0. 第 16 页 共 57 页 2022有=24b,72,0,又
40、|AB|=, 2()4x，x,xx,121232247220b,2得，解得b=8. 2,9322yx故所求椭圆方程为=1. ，168直线与圆锥曲线 【复习要点】 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能. 1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思
41、想方法. 2.当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍. 【例题】 【例1】 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭10圆交于P和Q，且OP?OQ，|PQ|=，求椭圆方程. 222,y),Q(x,y) 解:设椭圆方程为mx+ny=1(m,0,n,0)，P(x1122y,x，1,2由 得(m+n)x+2nx+n,1=0, ,22,mx，ny,1,2=4
42、n,4(m+n)(n,1),0,即m+n,mn,0, 由OP?OQ,所以xx+yy=0,即2xx+(x+x)+1=0, 121212122(n,1)2n,?+1=0,?m+n=2 m，nm,n? 第 17 页 共 57 页 4(m，n,mn)102又2, ,()m，n23将m+n=2,代入得m?n= 4? 3131由?、?式得m=,n=或m=,n= 22222331x222故椭圆方程为+y=1或x+y=1. 22222【例2】 如图所示，抛物线y=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角,为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求?AMN4面积最大时直线l的方
43、程，并求?AMN的最大面积. 解:由题意，可设l的方程为y=x+m,5,m,0. y,x，m,22由方程组,消去y,得x+(2m,4)x+m=0? ,2,y,4x,?直线l与抛物线有两个不同交点M、N， 22?方程?的判别式=(2m,4),4m=16(1,m),0, 解得m,1,又,5,m,0,?m的范围为(,5，0) 2设M(x,y),N(x,y)则x+x=4,2m，x?x=m, 11221212?|MN|=42(1,m). 5，m点A到直线l的距离为d=. 222?S=2(5+m),从而S=4(1,m)(5+m) 1,m?2,2m，5，m，5，m3=2(2,2m)?(5+m)(5+m)?2
44、()=128. 3?S?8,当且仅当2,2m=5+m,即m=,1时取等号. 2?故直线l的方程为y=x,1，?AMN的最大面积为8. 222【例3】 已知双曲线C:2x,y=2与点P(1，2)。(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点。(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在. 第 18 页 共 57 页 解:(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1, 与曲线C有一个交点. 当l的斜率存在时，设直线l的方程为y,2=k(x,1), 代入C的方程，并整理得 2222*(2,k)x+2(k,2k)x,k+4k,6=0() 2*(?)
45、当2,k=0,即k=?时，方程()有一个根，l与C有一个交点 22(?)当2,k?0,即k?时 22222=,2(k,2k),4(2,k)(,k+4k,6)=16(3,2k) 3*?当=0,即3,2k=0,k=时，方程()有一个实根，l与C有一个交点. 233,0,即k,又k?,故当k,或,k,或,k,时，?当2222222*方程()有两不等实根，l与C有两个交点. 3*?当,0，即k,时，方程()无解，l与C无交点. 23综上知:当k=?,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点; 223当,k,或,k,或k,时，l与C有两个交点; 222223当k,时，l与C没有交点. 22222(2)假
46、设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x,y),B(x,y)，则2x,y=2,2x,y=211221122两式相减得:2(x,x)(x+x)=(y,y)(y+y) 12121212又?x+x=2,y+y=2 1212?2(x,x)=y,y 1211y,y12即k=2 ABx,x12但渐近线斜率为?,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为2中点的弦不存在. 【例4】 如图，已知某椭圆的焦点是F(,4，0)、1yF(4，0)，过点F并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为22B，且|FB|+|FB|=10，椭圆上不同的两点A(x,y),C(x,y)满足条121122AB件:|FA|、|FB|、|FC|成等差数列. 222CFFo2