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1、直线与椭圆的综合问题考点与题型归纳考点一弦中点问题典例（2018南宁摸底联考）已知椭圆x2+3=1（ab0）的一条弦所在的直线方程是x-y+ 5=0,弦的中点坐标是 M（ 4,1）,则椭圆的离心率是（）1A.2B 二B. 2解析设直线x 一x2y2y+5=0与椭圆孑十东=1相父于 A(xi, yi), B(x2,y2）两点，因为ABy2 y1的中点 M( 4,1),所以 x + x2= 8, y + y2=2.易知直线 AB的斜率 k=1.由x2 x1x2y22 b2= 1，x1+x2x1 x2 y + y2 y一y2y1一y2两式相减得，-2+22.= 0 , 所以abx1 x2b2x1 +
2、 x2 b2 1 Cb2-,所以a2= 4,于是椭圆的离心率 e=-,故选C.答案C解题技法1.用“点差法”求解弦中点问题的步骤2.解有关弦中点问题的注意点对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.在用根与系数的关系时，要注意前提条件 A 0;在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.题组训练x21 1 ,1.已知椭圆：9+y2 = 1,过点P 2，2的直线与椭圆相交于 A, B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为（）A. 9x+y-5=0C. x+9y-5 = 0B. 9x-y-4=0D. x9y+4= 0两式作差得X2 Xi X2+X19x91+y2= 1,解析
3、：选 C 设 A(Xi, yi), B(X2, V2),则有 2X22.9+y2=i,y2 yii十 (y2yi)(y2+yi)= 0,因为X2+Xi=i, y2+yi=i, = kAB, 代入后求得 Kab=-所以X2 Xi9弦所在的直线方程为y- 2= - 9 x- 2 ,即 x+ 9y-5=0. 294 2,2.焦点为F(0,5V2),并截直线y=2x- I所得弦的中点的横坐标是 7的椭圆的标准万程 为.22解析：设所求的椭圆方程为 刍+a=i(ab 0),直线被椭圆所截弦的端点为A(xi,yi),a bB(X2, y2).,xi + X2 yi + y2x1 + X2 2 y1 + y
4、23由题意，可得弦 AB的中点坐标为匕上，且二=：,匕2=_曰2 ,22727将A, B两点坐标代入椭圆方程中，得y2 x2a2 + b2 = i,y2 x26一7 一1=3,7a2 yi y2 yi + y2两式相减并化简，得72= = - 2 xb Xi X2 Xi + X2所以 a2=3b2,又 c2=a2b2=50,所以 a2= 75, b2= 25,- 一 , 、y2 x2故所求椭圆的标准方程为 ；7+-=i.75 25y2 x2答案：=i75 25考点二弦长问题 .一x2 y26典例(20i8北东局考节选)已知椭圆 M: /+b= i(ab0)的离心率为 多 焦距为2亚.斜率为k的
5、直线l与椭圆M有两个不同的交点 A, B.求椭圆M的方程；(2)若k=i,求|AB|的最大值.a2= b2+ c2,c 6-解(1)由题息得 g=，解得a = 3, b= 1.a 32c=2版所以椭圆M的方程为x2+ y2=1.3(2)设直线 l 的方程为 y=x+ m, A(xi, yi), B(x2, y2).y= x+ m,由 x2得 4x2+6mx+3m23=0,5 + y2= 1，3m3ml 3所以 xi+x2= 2 , xix2=4所以 |AB| =x2xi 2+ y2yi 2 = 12 x2 xi 2 = 2xi + x2 2 4x1x2=12- 3m22当m=0,即直线l过原点
6、时，|AB|最大，最大值为 V6.解题技法弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.(2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A(xi, yi), B(x2, y2),则|AB| =寸 1 + k2 xi + x2 2 4xix2 =1 + yi+y224yiy2(k 为直线斜率).提醒利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略 判别式.题组训练x24 21,已知椭圆 彳+ y2=1与直线y=x+m父于A, B两点，且|AB|=U-,则头数 m的值23为()A. 1B. 2C./2D. 42箕 y2= i ，解析：选A 由2消
7、去y并整理，y= x+ m得 3x2+ 4mx+2m2 2=0.设 A(xi, yi), B(x2, y2),4m2m2 2则 X1 + X2= -3- , X1X2=3由题意，得 |AB| =72 xi + X2 2- 8x1x2 = 33 m2 = ,解得m = 1.X2 y212.椭圆E： $+5=1(ab0)的左焦点为Fi,右焦点为F2,离心率e=: 过Fi的直 线交椭圆于A, B两点，且 ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线AB的斜率为 乖,求 ABF2的面积.解：(1)由题意知，4a=8,所以a=2,又 e=1,所以 c=：, c= 1, 2 a 2所以 b2=2
8、2-1 = 3,s1,x2 y2所以椭圆E的方程为-+y3=1.(2)设直线AB的方程为y=V3(x+ 1),y= V3 x+ 1 ,由 x2 y2得 5x2+8x=0,一+14十38解得 X1=0, X2=- 5，所以 y1= V3, y2=-353.所以 SMBF2= c y1-y2|= 1 x m+邛3 =-83. 55考点三椭圆与向量的综合问题典例(2019长春质检)已知椭圆 C的两个焦点为F1(1,0), F2(1,0),且经过点e V3,坐.求椭圆C的方程;(2)过Fi的直线l与椭圆C交于A, B两点(点A位于x轴上方)，若磊 =2FB,求直线 l的斜率k的值.22解(i)设椭圆C
9、的方程为 y2= i(ab0),2a= |EFi|十 |EF2|=4,由 a2 = b2+c2,解得c=1,、一 x2 y2所以椭圆C的方程为了+1失(2)由题意得直线l的方程为y= k(x+1)(k0),y= k x+ i ,联立x2 y2整理得Z+3=1，2 6.k2+4 y2Ry9=0,i44 -则 A= p-+i440,设 A(xi, yi), B(x2, y2),贝U yi + y2=6k 9k2yiy2=3 +4k23+4k2又AFi = 2FiB,所以 yi= 2y2,所以 yiy2= 2(yi+y2)2,贝U 3 + 4k2=8,曰5解得k= 2,又k0,所以解题技法解决椭圆中
10、与向量有关问题的方法(i)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系.(2)利用向量关系转化成相关的等量关系.(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题. 题组训练x222 1.已知Fi,F2为椭圆1+y2=1(ab0)的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，BFi BF2i c 一一，一，、，一，一一，4FiF22,则椭圆的离心率的取值范围为()a. 0，2B. 0,当31 .C. 0,D. 2，1-r 一 、门 _ ri r rr、i _ _1c解析：选 C 根据题息不妨设 B(0, b), Fi(-c,0), F2(c,0),因为 BF1 BF2A4F1F22, BF1
11、=(c, b), BF2 = (c, b), |F1F2|2=4c2,所以 b22c2,又因为 b2= a2 c2,所以 a23c2,c 3所以0V二W .a 3 x2 y22.已知椭圆D:/+bi= 1(ab0)的右焦点为F, A为短轴的一个端点， 且|OA|= |OF|, AOF的面积为1(其中O为坐标原点).(1)求椭圆D的标准方程；(2)过椭圆D长轴左端点C作直线l与直线x= a交于点M,直线l与椭圆D的另一交点 、， ，、.一 一一 为P,求OM OP的值.解：(1)因为 |OA|=|OF|,所以 b=c,1又9OF的面积为1,所以2bc=1,解得b = c= 2,所以 a2=b2+
12、c2 = 4, x2 y2所以椭圆D的标准方程为-+2= 1.(2)由题意可知直线 MC的斜率存在，设其方程为y = k(x+ 2),X2 y2代入7 +彳=1,得(1 + 2k2)x2+8k2x+8k24= 0,4k2-24k所以 P2k2+1 2k2+1 .又 M(2,4k)， 二rt ，一 4k 2 4k所以 OM OP = (2,4k) 一 ,= 4.2k2+1 2k2+1课时跟检测A级1. (2019长春二检)椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2),则以P为中点的弦所在直线的 斜率为()C- -4D- -9解析：选A 设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(xi, yi),
13、 B(x2, y2),斜率为k,则 4x2+9y2= i44,4x2+9y2= i44,两式相减得 4(xi+x2)(xi x2) + 9(yi + y2)(yi y2) = 0,又yi y22xi + x2=6, yi + y2=4, = k,代入解得 k=一可.xi x232.已知直线y=-x+i与椭圆勺 a2卜3=1(ab0)相交于A, B两点，若椭圆的离心率 b为坐,焦距为2,则线段AB的长是(BUB. 3C. 2D. 2解析：选B由条件知c=i, e= c=乎，所以a=V2, b=i,椭圆方程为x+y2=i, a 224 i42联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(o,i), 3,
14、3 ,所以abi=Wx23,斜率为1的直线l与椭圆 + y2=1相父于a, B两点，则|AB|的最大值为()A. 2Bb0）的右焦点 F,与椭圆交于A, B两点，且AF=2FB ,则该椭圆的离心率为（）A.13B.半C ,3D.y解析：选B 由题可知，直线的方程为 y=x- c,与椭圆方程联立x2 . y2 .02 + b2=i , a b得(b2y= x c,+ a2）y2+2b2cyb4 = 0,由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则 0.设 A(xi)y1),B(x2,y2),则2b2c yi+y2=，b4y1y2 =2又 AF =2 FB ,，(cxi, yi) = 2(x2c,
15、y2),2b2c一广而， yi = 2y2,可得-2-b42y2= 丁%a2+ b2i 4c2.122=a”，-3，故选 B.-口x2 , y2,5.已知点P是椭圆行十仁=i上的动点，Fi, F2分别是椭圆的左、右焦点，。是坐标原点，若M是/ FiPF2的平分线上一点，且 FiM 小 =0,则|OM |的取值范围是（）A. 0,3)C. 2亚 3)B. (0,2/2)D. (0,4解析：选B 如图，延长FiM交PF2的延长线于点G. FiM MP =0, /.FiM MP .又MP为/F1PF2的平分线,.|PFi|= |PG|,且 M 为 FiG 的中点. 1一一,.O 为 F1F2 中点，
16、OM 触/F2G.IF2G|=|PF2|PG|=|PFi|PF2|,T-1 _ ，|OM |=2|2a 2|PF2|= |4 |PF2|. 4 2V2|PF2|4 或 4开2|1),由|AB|=3,知点1, 2在椭圆上，代入椭圆方程得 4a417a2+4 = 0,所以a2=4或a21 人 w/一 、十x2 y2=4(舍去).故椭圆C的标准万程为1十七=1.22答案：X4+3=1 x27.已知焦点在x轴上的椭圆C： a2+y2= 1(a 0),过右焦点作垂直于 x轴的直线交椭圆 于A, B两点，且|AB|=1,则该椭圆的离心率为 .解析：因为椭圆x1+ y2= 1(a0)的焦点在x轴上，所以c=
17、 x/a2- 1,又过右焦点且垂直 a于x轴的直线为x= c,将其代入椭圆方程中，得 M+y2=1,则y= 土、/1一d 又|AB|=1, aJ a所以2、/1 J =1,得=3,所以该椭圆的离心率 6 =孑=*.二 aa 4a 2答案：-23, x2 y28.已知P(1,1)为椭圆了 + 2=1内一定点，经过 P引一条弦，使此弦被 P点平分，则此 弦所在的直线方程为.解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k,弦的端点坐标为(x1, y1)，(x2, y2),x2 y2x2 y2则 + =1 ，彳+ =1 ，一得X1 + X2 X1 X2yi + y2 yi y2=0,.Xi + x2
18、=2, yi+y2=2,Xi X22+yi y2= 0,12.yi y2 k =Xi X2此弦所在的直线方程为y-i = - 2(x i),即 x+2y-3= 0.答案：x+2y3 = 09. (2019湖北武汉部分学校调研)设O为坐标原点，动点M在椭圆C: X2 + y2=i(a1, aaCR)上，过O的直线交椭圆 C于A, B两点，F为椭圆C的左焦点.(1)若4 FAB的面积的最大值为 1,求a的值；(2)若直线MA, MB的斜率乘积等于1,求椭圆C的离心率.3解：(1)因为 MAB= 1|OF| yA|- yB|W|OF|= &2_=1，所以 a = *.(2)由题意可设 A(X0, y
19、。), B(-X0, y。), M(x, y),则/y2=1,9黄=1, aay y0 y + y0 y2 y2kMA kMB=:=2X X0 X + X0 X X0d X2X21-02- 1a2x2-Xi aX2-X2x2-x211a” 3,所以 a2=3,所以 a= V3,所以 c=a2_ b2 = J2,所以椭圆C的离心率e=：=爰=乎.x22210. (2019成都一诊)已知椭圆C: a2+r1(ab0)的右焦点为F(V3, 0),长半轴与 短半轴的比值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点 M, N.若点B(0,1)在以线段MN 为直径
20、的圆上，求直线 l的方程.a如如 如斛：(1)由题可知 c=0, y+y2=2, y1y2=2.4+m24+m2 点B在以MN为直径的圆上， .BM BN =0. BM BN=(my+1, y1 1) my2+ 1, y2 1)= (m2+ 1)y1y2 + (m 1)(y1 + y2) + 2= 0,. (m2+ 1)-3；+ (m-1) -2m+2=0, 4 + m24+m2整理，得 3m2 2m 5=0,解得 m=1 或 m = |. 3 直线l的方程为x+y1 = 0或3x5y3=0.B级x2 y211.已知椭圆 C:bi= 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1, F2,离心率为2,点
21、A在 椭圆C上，AF1|=2, /F1AF2=60,过F2与坐标轴不垂直的直线 l与椭圆C交于P, Q两 点，N为线段PQ的中点.(1)求椭圆C的方程；1(2)已知点M 0, 8 ,且MNXPQ,求线段MN所在的直线万程.1解：(1)由 e= 2,得 a=2c,易知 |AF1|=2, |AF2|=2a 2,由余弦定理，得 AF1|2+|AF2|22|AF11 AF21cosA=|FiF2|2,一c1 c即 4+(2a 2)22X 2X (2a 2)*2=a2,解得a= 2,则c= 1,. b2= a2- c2= 3,x2 y.椭圆c的方程为4 + y3=i.(2)设直线 l 的方程为 y=k(
22、x- 1), P(xi, yi), Q(x2, y2),y= k x- 1 ,则整理得(3+4k2)x2- 8k2x+ 4k2-12=0,x1+ x2 =8k2c, y1+y2= k(x1 +x2) 2k =3 +4k26k3+4k24k2-3k18+3+ 4 k224k+3+4k2N 3+ 4k2,3+ 4k2.又M0，8 ,则 kMN = -4k2=-32k2.0-标1 -1 ,、3.MNPQ,，kMN = 一7 得 k=2或2,2则 kMN = 2 或 kMN=3,故直线 MN 的万程为 16x+8y1 = 0 或 16x+24y3=0.2. (2019唐山五校联考)在直角坐标系xOy中
23、，长为42+1的线段的两端点 C, D分别 在x轴，y轴上滑动，-CP = yJ2 PD .记点P的轨迹为曲线 E.(1)求曲线E的方程；(2)经过点(0,1)作直线l与曲线E相交于A, B两点，。薪=OA + OB ,当点M在曲线 E上时，求直线l的方程.解：(1)设 C(m,0), D(0, n), P(x, y).所以x m= V2x, y= V2 n-y ，由 CP =V2 PD ,得(x m, y)= V2(-x, n- y),m= V2+ 1 x,得V2+1n=by，由 |CD |=m+1,得 m2+n2=(亚+1)2,LL,、，厂 2 2 V2+ 1 2 2 厂 2所以(m+ 1
24、)2x2+2y2= (72+ 1)2,y2整理，得曲线E的方程为x2+y2=1. 、W,(2)设 A(xi, yi), B(X2, y* 由 OM = OA + OB ,知点 M 的坐标为(X1+X2, yi + y2).易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+1,代入曲线E的方程，得(k2+2)x2+ 2kx-1 = 0,一2k则 x1+ x2=卜2+ 2,4所以 y1 + y2= k(x1 + x2)+ 2=.k2+22y1 + y2 2由点M在曲线E上，知(x + x2)2+2=1,r - 4k28即二；+；= 1,解得 k2=2,即 k二班,k2 + 2 2k2+2 2此时直线l的方程为y= 班x+ 1.