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1、（5）二次函数的图象与yax2的图象的关系：9.直角三角形变焦关系：（2）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)5.二次函数与一元二次方程5、能掌握一些常见的数量关系和应用题的解答方法，逐步提高解答应用题的能力。同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。七、学困生辅导和转化措施平方关系：商数关系：定义：在RtABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即;八、教学进度表河南师范大学本科毕业论文 学号：0801114101递推数列求通项公式方法学院名称： 数学与信息科学学院 专业名称： 数学与应用数学 年级班别： 08级二班 姓 名： 王军雷 指导教师： 焦争鸣 2012年0
2、4月几类递推数列求通项公式方法王军雷（河南师范大学 河南 新乡 453007）摘 要 数列是数学的重要内容之一，初等数学中主要学习了基本数列：等差数列、等比数列，高等数学中我们也了解了数列的性质：有界性、单调性等等，而由递推数列求通项公式一直是研究、探讨数列的重要渠道。递推数列求通项公式主要是通过划归思想，利用构造法或者特征方程法从而求出通项公式。本文对递推数列进行明确的分类，并对不同的类型运用不同方法求其通项公式，让学生能快速、准确解决此类试题。关键词 递推数列；构造法；特征方程Research on the Diagonalization of a MatrixWang Junlei（He
3、nan Normal University Xinxiang Henan 453007）Abstract The sequence is one of the important contents of mathematics. We mainly learned the basic sequence in the primary mathematics, such as contiguous Numbers, compares the sequence, we also learned some properties of sequences higher mathematics, such
4、 as boundedness, monotonicity and so on. and by the recursive sequence for the general term formula has been studies and discusses the sequence important channel. Recursion sequence for the general term formula is mainly through the ranks thoughts, using the method of construction or characteristic
5、equations to work out the general term of formula. In this paper, we classify the recursive sequence clearly, and use different methods for the different types to work out the general term formula,so the student can solve such questions rapidly and accurately.Keywords Recursion sequence; constructio
6、n; Characteristic equations目 录前 言11 一阶递推数列1 1.1 一阶线性递推数列1 1.1.1 类11.1.2 类2 1.1.2.1 构造法2 1.1.2.2 特征方程法3 1.2 一阶非线性递推数列3 1.2.1类3 1.2.2 类4 1.2.3 类52 二阶递推数列5 2.1 构造法5 2.2 特征方程法6 2.3 区别与联系63 分式递推数列6 3.1 类6 3.2 类7 3.2.1 构造法7 3.2.2 特征方程法84 小结9参考文献10致 谢11前 言 数列是数学的重要内容之一，通项公式是研究、探讨数列的重要渠道。递推数列求通项一直是各类数学竞赛的热点
7、之一，而近几年来高考多有此类考题，难度逐年加深。虽然递推数列题型很多，但是高考考试题型却只是很少一部分且类型比较固定、难度比较小；即使如此，很多高中学生仍然弄不明白，或者不能快速准确找到解法，在历年高考中得分率也很低！ 有鉴于此，作者结合高考考纲和竞赛解题方法介绍几种高考常考递推数列求通项公式的方法，并分析他们之间的联系，从而使学生能达到快速、准确解决此类试题的效果！1 一阶递推数列我们首先回顾递推数列的定义，参见文献1。定义1 对于任意，由递推关系确定的数列成为递推数列（或递归数列），为阶数。若是线性的，则称此数列为线性递推数列，否则称为非线性递推数列。本节通过分析几种一阶递推数列类型，给出
8、其的求通项公式方法，并分析两种常见方法的区别和联系。1.1 一阶线性递推数列本节主要讨论下面两种一阶线性递推数列。等差数列、等比数列2作为最基本的一阶线性递推数列由于篇幅所限，在这里不再赘述。1.1.1 类 这类递推数列的解题方法与等差数列求通项公式的方法一样，都是叠加法，下面就以高考题为例来说明其解题方法和过程。 例（2007北京高考理第15题） 数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列（I）求的值；（II）求的通项公式.解（I）由题知：，因为，成等比数列，所以，解得或当时，不符合题意舍去，故（II）当时，由于，所以 又，故当时，上式也成立，所以1.1.2 类 此类递推数列是高考最常见的
9、一种，可以用两种方法进行解答，下面我们先来解出他的通项公式，然后通过典型例题运用两种方法来解析。 定理1.1 已知递推数列， 则通项公式为 .证明：由 得 从而故而数列是首项为、公比为的等比数列，由等比数列通项公式可证。1.1.2.1 构造法 构造法是利用初等代数的思想，通过待定系数法构造一个新的等比数列并求出系数，从而利用等比数列的性质求出原来递推数列的通项公式。 例 （2007全国高考理第22题） 已知数列中，求的通项公式解：由题知： 即所以数列是首项为，公比为的等比数列故，即的通项公式为1.1.2.2 特征方程法（不动点法） 特征方程法是构造法的简化，省去了繁琐的推导计算过程，在节约宝贵
10、的考试时间的同时，也有效避免了在繁琐计算中出现错误的可能性。 定理1.23 已知其中，称方程为数列的特征方程，设特征方程的根为（称为不动点），则（1）当时，数列为常数列，；（2）当时，数列是公比为的等比数列， 通项公式为： 证明：由构造法知：存在等比数列，又比较系数得，即是方程的根解得，代入可证：（1）当时，数列为常数列，；（2）当时，数列是公比为的等比数列.故得通项公式为： .1.2 一阶非线性递推数列 一阶非线性递推数列主要有三种类型，下面我们通过典型题例对这三种类型进行解法说明。1.2.1 类例 已知，求的通项公式.解：由于故.1.2.2 且类有大概三种形式：。例 已知,求的通项公式.解
11、： 构造等比数列，使得 .对应系数相等可解得：.故.例4 已知,求的通项公式.解： 构造等比数列，使得 对应系数相等可解得：.故.例 已知,求的通项公式.解： 两边同除得 令可得 由构造法可得 代入得.1.2.3 类例 已知，求的通项公式.解：显然，两边同去对数得令，则转化为一阶线性递推数列.解得.2 二阶递推数列 著名的斐波那契数列5就是二阶递推数列，常见的二阶递推数列往往也是线性递推数列，非线性的可以参照一阶递推数列转化思想转化为二阶线性递推数列，从而求出通项公式。本节分别用构造法和特征方程法求解斐波那契数列，分析两种方法的区别和联系。 斐波那契数列。2.1 构造法 二阶线性递推数列的构造
12、法往往是构造等比数列，通过等比数列的性质来解答。解 由可构造等比数列，满足对比系数可得.解得或.故约去从而可得 2.2 特征方程法 特征方程法在构造法的基础上省去了待定系数求解的过程，避免了繁琐的计算过程，节约了考生宝贵的考试时间，解答更迅速、更准确。定理2.16 二阶线性递推数列，的特征方程为。证明 见构造法解题过程。 解 的特征方程为，解得.设，又带入可得，解得.故 .2.3 区别和联系 构造法是高考考纲内解答递推数列基本方法，特征方程法是竞赛数学常见方法，通过以上题例我们可以看出，特征方程法的特征方程正是构造法求对应系数计算简化后的结果，与构造法相比，特征方程法更简便、直接，大量减少了计
13、算过程，提高做题效率和准确率。3 分式线性递推数列本节通过分析基本的分式线性递推数列，初步探讨分式递推数列求通项公式的方法，而分式非线性递推数列常出现在全国数学联赛中，方法灵活多变，受篇幅和能力所限，在这里就不再赘述。分式线性递推数列主要分两种类型，对应方法也不一样。3.1 类 这类分式线性递推数列分式的分子不含有常数项，最体方法比较简单，下面就以高考题为例来进行说明。 例（08年陕西卷22题）已知数列的首项， 求其通项公式. 解 显然，两边同去倒数可得.令得是一阶线性递推数列，从而解得.故当时，可利用两边同取倒数的方法化为一阶线性递推数列，进而求出通项公式。3.2 类本节通过两种方法解决Se
14、rge lang的Complex Anglysis7一书中的习题来探讨这类分式线性递推数列通项公式求法，分析两种方法区别和联系。已知，求3.2.1 构造法 这类分式线性递推数列的构造法有两种构造方式，下面我们选用一种最常见的方法来进行构造。解：借鉴上一节解题方法，转化为的形式。对比系数得，解得或当时，两边去倒数得从而解得，其中当时，易得结果同上。3.2.2 特征方程法 分式线性递推数列的特征方程法简化了构造法求对应系数过程，并巧妙运用，大大简化了计算过程。 定理2.28 分式线性递推数列的特征方程为。证明 见构造法解题过程。解9 由解得或故， 两式相除得 即数列为首项和公比都是的等比数列.解得
15、，其中从而.4 小结 通过对三大类递推数列详细分析和解题示例，在今后做题中可以快速准确将递推数列归类，从而按照前面介绍过的方法解出其通项公式；通过对构造法和特征方程法的比较，我们可以知道二者都是由待定系数方法得出的结论，针对不同类型我们可以选取最优的方法进行解答，同时也可以用另一种方法对结果进行检查正误。参考文献1 俞宏毓，高峰. 递推数列通项公式的几种特殊求法J. 安庆师范学院学报（自然科学版），2006,12（1）：46-47.2 人民教育出版社课程研究所，中学数学课程教材研究开发中心. 普通高中课程标准实验教科书数学必修5M. 北京：人民教育出版社，2007.3 宋继光，李启坤. 递推数
16、列通项公式的简单求法J. 连云港教育学院学报，1996，（1）：66-68.4 杨亦军. 递推数列求通项公式的一般方法J. 数学通讯，1999,6（12）：40-41.5 单墫. 数学竞赛研究教程M. 南京：江苏出版社，2001.6 徐至泉. 递推数列不动点J. 数学通报，1993，（12）：44-47.7 Serge lang. Complex AnglysisM. Springer education, 2005. 8 陈传理，张同军. 竞赛数学教程M. 北京：高等教育出版社，2005.致 谢在四年的大学生学习和生活中，我得到了来自老师、亲人和同学对我多方面的关怀和帮助，使我顺利地走过了我人生路上重要的一段旅程。我深深的感谢他们，并将以此激励我在今后的学习工作和生活中不断进取。感谢我的论文导师焦争鸣教授在本文选题、内容研究和文章撰写过程中都给予我细心的指导，并提出了许多宝贵的意见。他渊博的学识，严谨的治学作风和一丝不苟的教学精神，使我受益匪浅。同时，感谢所有陪我一起度过大学四年学习生活的同学以及在我的学习中给予帮助的老师，正是在他们的帮助下，我的论文才得以顺利地完成。王军雷 2012年04月于河南师范大学