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1、第七章 空间解析几何与向量代数A一、1、 平行于向量a =(6,7,-6)的单位向量为 .2、设已知两点M 1(4,J2,1)和M 2 (3,0,2),计算向量M 1M 2的模，方向余弦和方向角3、设 m =3i +5j +8k,n =2i -4j _7k,p =5i + j -4k ,求向量 a = 4m +3n -p在上的投影，及在y轴上的分向量.1、设 a =3i j -2 k, b = i + 2jk ,求(i)a b及 a 父 b;(2)(2a) 3b 及 ax 2b a、 夹角的余弦.2、知 M 1(1,-1,2), M 2G3,1), M 3(3,1,3),求与 M 1M 2,M
2、 2M 3 同时垂直的单位向量163、设 a =(3,5, N),b =(2,1,4),问，-与口满足 时，Ka + Nb _L ztt .1、以点（1,3,-2） 为球心，且通过坐标原点的球面方程为 . 2222、万程 x +y +z 2x+ 4y+2z = 0表示 曲面.3、1）将xOy坐标面上的y2 =2x绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为 ,曲面名称为.2）将xOy坐标面上的x2 +y2 =2x绕x轴旋转一周，生成的曲面方程 ,曲面名称为.3）将xOy坐标面上的4x2 -9y2 =36绕x轴及y轴旋转一周，生成的曲面方 程为,曲面名称为.4 ）在平面解析几何中 y =x2表示 图形。在空
3、间解析几何中2 -一E /y = x表示 图形.5 ）画出下列方程所表示的曲面z2 =4（x2 y2）(2) z =4(x2y2)四、22一口匚J1、指出万程组 49在平面解析几何中表布 图形，在空间解y = 3析几何中表示 图形.2、求球面x2 + y2 +z2=9与平面x + z = 1的交线在xOy面上的投影方程.3、求上半球0 w z Wya2 -x2 一 y2与圆柱体x2 + y2 0)的公共部分在xOy面及xOz面上的投影五、1、求过点(3,0,-1) 且与平面3x-7y+5z-12=0 平行的平面方程2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量 a=(2,1,1)和b=(1,-1,0
4、)的平面方程3、求平行于xOz面且过点(2,-5,3)的平面方程4、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线 二=2二3=三二1的直线方程2152、求过点(0,2,4)且与两平面x+2z = 1, y - 3z =2平行的直线方程x-2y +4z7=0.3、求过点(2,0,-3)且与直线, y垂直的平面方程、3x+5y2z + 1 =04、求过点(3,1,-2)且通过直线 x二4 = 丫3 =-的平面方程521x+y+3z = 0 -5、求直线与平面x_y_z+1=0的夹角.x -y z =06、求下列直线与直线、直线与平面的位置关
5、系x + 2y z = 7 、1）直线 y与直线-2x +y +z =72）直线 x-2 二 y2 = zm 和平面 x+y+z=3. 31-4 x + yz+1=0一7、求点（3,-1,2）到直线的距离.2x-y + z- 4= 0B1、已知 a+b+c = 0 （a, b, c 为非零矢量），试证：aMb = bMc = cMa.2、a b = 3,a Mb =1,1,1,求/(a,b).3、已知a和b为两非零向量，问t取何值时，向量模| a + tb |最小？并证明此时b(a+tb).4、求单位向量 n,使门平且门！轴，其中a =(3,6,8).5、求过z轴，且与平面2x+y - J5z
6、 =0的夹角为土的平面方程36、求过点 M1(4,1,2), M 2(-3,5,1),且垂直于 6x2y+3z + 7 = 0 的平面.x 2y +z 1 = 0xyz7、求过直线j y,且与直线l2： x = y =z平行的平面、2x+yz2=01 -1 28、求在平面 n : x+y+z =1上，且与直线 L:fAy=1 一、,，一，、 垂直相交的直线方程.z = 19、设质量为100kg的物体从空间点 M1(3,1,8),移动到点M2(1,4,2),计算重力所做的功(长度单位为m).10、y2 +z2 -2x =0_ 一。曰/心，a、i 3，心，心y 2x 0在xoy坐标面上的投影曲线的
7、方程，并指出原曲线是什么曲z = 3线？11、已知 OA = i +3k,OB = j +3k ,求 AOAB 的面积12、2x -4y +z =0 一曰一，、一y在平面4x - y + z =1上的投影直线方程.3x _ y _2z _ 9 01、设向量a,b,c有相同起点，且a十Bb+7c = 0 ,其中ct+B十7 =0 , a,不全为零，6、设向量a,b非零,(3)cos(a, b) =a_bal ,bl32%21证明：a,b,c终点共线.x 2 y -12-2、求过点 M 0 （1,2, 1）,且与直线L ： =-= 一相交成一角的直线万程.2-1133、过（1,0,4）且平行于平面
8、3x4y+z 10 = 0又与直线 叱！ =_y二 = *相交的直线方 112程.4、求两直线L1： 上心=-=2与直线L2：个=-y-=二2的最短距离. 0-1-16-305、柱面的准线是xoy面上的圆周（中心在原点，半径为 1）,母线平行于向量 g =1,1,1,求此柱面方程aa + xb - ab =2,(a,b)=，求值|x = 2y7、求直线L:1 绕y轴旋转一周所围成曲面方程.z - - 2 (y -1)第七章 空间解析几何与向量代数习题答案A6 7 -6：、1、士1一, 一, JJ1 11 11：C1212 二二3 二二2、 M1M 2 =2, cos:-,cos - =, co
9、s =，二=，-=, =2223433、a在x轴上的投影为13,在y轴上的分量为7j二、1、1) a b =3 1+(1) 2十(2)(-1) =31 jkab = 3 -1 2 =5i + j +7k12-1 (2a) 3b = -6(a b)=18, a 父 2b = 2(a b) =10i + 2 j +14k2、M1M2 =2,4,-1, M2M3 =0,-2,2=6i _4j -4k3、=2、1、（x 一1）2 （y 一3）2 （z 2）2 =142、以（1,-2,-1）为球心，半径为J6的球面3、1） y2 +z2 =2x,旋转抛物面2）x2 + y2 +z2 = 2x ,球面3）
10、绕x轴：4x2 -9y2 -9z2 =36旋转双叶双曲面绕y轴：4x2 +4z2 -9y2 =36旋转单叶双曲面4、抛物线，抛物柱面四、1、平面解析几何表示椭圆与其一切线的交点；空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平 面的交线。2二8、z = 02.22x + z ay = 0,” (x - a)2 y2 _a2 ,、在xoy面的投影为：,2) y a在xOz面的投影为:z = 0五、1、3x7y+5z4 = 02、1 (x 1)+1 (y 1) 3(z+1) = 03、 y+5=04、9yz2=0X-1 y -2 Z-3 o x y -2 z-412 215-2313 、16x14y 11z 6
11、5=04、8x 9y 22z 59 = 03 . 25 、06、1)垂直 2 )直线在平面上7 、2B1、证明思路：: a+b+c =0 ,二 a X(a+b+c) = 0即 axb+aMb+axc=0,又 axa = 0,aMb=_ax：c=cMa 同理得 aMb = bMc2、思路:a 叫=|ajb sin(a, b) a b = ajb cos(a,b)。答案：(a, b)=a b|b723、思路 | a tb |2 = (a tb) (a tb) =| a |2 t2 | b 12 2t(a b)该式为关于t的一个2次方程，求其最小值即可。答案：t =14、思路：取 b = i ,则
12、nla, n_Lb。 答案：n = (8j -6k)105、思路：平面过 z轴，不妨设平面方程为 Ax+By = 0 ,则n =A, B,0,又(A, B不全为0 )1 八答案：所求平面万程为 x+3y = 0或x- y = 036、法一：，所求平面法向量 n_LM1M；,且门上口 =6-2,2i j k，取 n =M1M；Mn1 = -74-3 =6,3,-106-23又平面过点M1(4,1,2),则平面方程为6x+3y 10z7 =0解法2.在平面上任取一点共面的充要条件得M (x,y,z)，则 MM1 M1M2 和 n =6,2,3共面，由三向量y 1 z 2-23=0,整理得所求平面方
13、程4-37、思路：用平面束。设过直线11的平面束方程为 x2y + z-1 +九(2x + y - z-2) = 0答案：平面方程为11x 3y -4z -11 -08、思路：求交点（1,1,-1）,过交点（1,1,1）且垂直于已知直线的平面为x 1=0。答案:x-1=0x + y + z = 19、思路：重力的方向可看作与向量k方向相反答案：W = F M1M2 =0 (-2) 0.3 (-100g) (-6) = 600 g = 5880J10、思路：先求投影柱面方程，答案：原曲线在xoy面上的投影曲线方程为,y-2x 9 =0。原曲线是由旋转抛物面 y2 +z2 - 2x =0被z =3
14、平面所截的抛物线。11、1 .思路：S.oab =-|OAxOB|,答案:19212、思路：利用平面束方程。答案17x+31y-37z-117 = 04x y + z = 11、证明：设OA = a, OB=b, OC=c,根据三角形法则。 则AB = b a, AC=c a ,BC =c -bo根据条件口，F,尸不全为0 ,不妨设了#0,则AB =c a =二a 七-飞a即 AC与AB共线。，点A,B,C在一条直线上。2、解：在已知直线L上任取两点P1（2,1,0）, P2（0,0,1）,则向量RM。=3,1,1,P2M 0 =1,2,2 ,则构造直线束方程x -dy - 2、工-13 11
15、2- - 2表示过点M0且与已知直线共面的所有直线。根据已知条件：当3TL”与L成二角时，有3二15（3九十 1） 2 十（T）（九十2）十 1 （九一2） = cos,即 4九一2 = 一 ,二九=一328二所求直线方程为x -1 y -2 z 412321-21 3、解：设所求直线方程为;所求直线与已知平面平行，则3m -4n + p = 0(1)又所求直线与已知直线共面，在已知直线上任取一点(1,3,0)，则M 0M 1 =0,3,f 在平面上。三向量共面，得m np112 =0,0 3-4x 1 y z - 416 - 19 - 28即 10m -4n -3p =0(2)由(1) (2
16、),得m:n : p =16:19:28二所求直线方程:4、解：已知两直线的方向向量为S1 =0,1,1,S2 =6,3,01,故垂直于两方向向量的向量n可取为n =S1Ms2 = 3i 6j +6k ,又点(1,0,0)在直线L1上，过直线L1且平行于L2的平面为3(x1)6y+6z = 0 ,即x + 2y 2z1 = 0,又点 (0,0,-2)在直线Li上，该点到平面 x+2y 2z1 =0的距离13-，d = 一 .= 1为所求两直线间的最短距离。.1222225、解：设柱面上任意一点M (x, y, z),过M作平行于向量g的母线且准线相交于Mo(Xo, y0 ,0),又 M oM
17、| g ,即 M 0M =，x Xo =八，y yO =九，z =九。22又一 Mo在圆上，:Xo +y0 =1二(x 九)2 +(y 昊)2 =1,即(x -z)2 +(y -z)2 =16、解：|a+xb|a|a+xb|2一|a|2(a+xb) (a十xb) a .alim J!=lim ,-, =lim ：t x tx(a+xb| 十|a|) t x(a+xb|+|a|)o I 12|2(a a +2xa b +x2 b ) -a a 2a b + x b 2a b n= lim；：-：=lim -：, . =2cos =1x 0 x(a xb a)x Q (a xb a) 2 a) 37、解：对旋转曲面上任一点P(x,y,z)，过P作平面垂直y轴，与y轴的交点为B(0,y,0),与 L 的交点为 Q(X0,yo,zo)。因为 PB = BQ ,所以 x2 +z2 =xz(21 .又因为Q在L上，所以x0 =2y,z0 =-一(y-1),代入得2x2 +z2 =4y2 +1 (y T)2,即 4x2 -17y2 +4z2 +2y-1=0。4