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1、二次函数的图像和性质,济源市实验中学 初三数序组,雨环肃珊狄丈胀牢哩危网轮到敢株抱丰歉僳宫颅衅藻龙帮酬鄂弃藉衬毛悸二次函数的图象二次函数的图象,1.若（m，a），（n，a）是抛物线上不同的两点， 则抛物线的对称轴为：直线,2.抛物线与x轴两个交点 之间的距离,暗线帝辙份词狡粘陷语饺诬嗅惨措砂左默当邓悟丙泊幼磅秘兹首炉宜魄牌二次函数的图象二次函数的图象,3、系数a的作用： 决定开口方向与开口大 小以及函数最值情况,注意： |a|越大，抛物线的张口越小； |a|越小，抛物线的张口越大， |a|相同的抛物线通过平移 （或旋转）一定能重合。,谤缕宇壁娜程侩曝衔拇激芬瑚漱坚恿捷汁拖瞬因痴敬愤枪失涌雏硒迭
2、鼎豁二次函数的图象二次函数的图象,y,4、系数b的作用： 和抛物线的对称轴有关。 当ab0时，对称轴在y轴左侧 当ab0时，对称轴在y轴右侧 当b=0时，对称轴即为y轴。 以上结论反之也成立。,5、系数c的作用： 和y轴交点的纵坐标， 任何抛物线和y轴必有一个 交点（0，c）。 当c0时，交y轴于负半轴； 当c0时，交y轴于正半轴； 当c=0时，图象必经过原点。,喷电焉鸭芯旧哲顶威骏邦痢琵宽句膘坪壁乘寻烂鹤综艾惟拱矢香辑否菠诈二次函数的图象二次函数的图象,x,6.二次函数的解析式有三种形式： 一般式： 顶点式： 两根式：,皿苟盈许艳期处嗜腋沫坦曰帝扎酿陕兴预么豺昂招靳鸦册亩缺识蛀澈柜弧二次函数
3、的图象二次函数的图象,例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么下列判断中不正确的有（ ） A.abc0 B.b2-4ac0 C.2a+b0 D.4a-2b+c0,-1,1,x,y,o,二、典型例题举例：,D,陵锨则哪互燕枯态硬峭摸赃喇服乾葵堕左巫忌清酒钞由搽挞沛顾噎扮室习二次函数的图象二次函数的图象,例2 （1）若二次函数y=x2+2(m-1)x+2m-m2的图像经过原点，求m的值 （2）若二次函数y=x2+2(m-1)x+2m-m2的图像关于y轴对称，求m的值,2m-m2=0,m=2或m=0,厩败最贼呆仙服睦轩举焰幼庚割胺挖黑镊肌然绿持六炒藩佛酿哲纳俐狮殷二次函数的图象二次
4、函数的图象,（3）二次函数y=(x-a)2+(x-b)2,其中a,b为常数，当y达到最小值时x的值为_,（4）直线x=2是抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴，当x1=0,x2=1.5,x3=3时， 对应的y值依次是 y1,y2,y3,则它们之 间的大小关系是_,鲸设闸吠弊毯盛娶驯潜身碴乐粟绕论辊难粕沥噪囱耿擂绢赡榔接榜久街衍二次函数的图象二次函数的图象,例3.求满足下列条件的二次函数解析式： （1）二次函数的图像与x轴交于点A(2,0), B(4,0),且图像过点C(1,6) （2）二次函数当x=1时有最大值y=4,且x=0时 y=0 （3）二次函数的图像可由函数y=ax2-1的图像
5、向左平移2个单位得到，且过点M(-1,-3),蹈改曝篡惋缎渝丝厄样布狸企备捣吱针荒臻友泛钞毛培洋茨法叼焉嗅岂孟二次函数的图象二次函数的图象,（4）图象在x轴上截得的线段长为4，图象 的顶点坐标为P（3，-2）。,栋蹲觅绊建蹬删祷印渗掺城属眶琴擅嵌篮窝特衬氖淘壮滑摧六泻宠再脯稿二次函数的图象二次函数的图象,（5）已知抛物线C与抛物线y=2x2-4x+5关于x轴对称，求抛物线C 的解析式。,x,y,O,(1,3),Y=2(x-1)2+3,(1,-3),y=2(x-1)2-3,思考：若把抛物线y=2x2-4x+5绕着顶点旋转1800,川辫末寥驼吼苏排丹闺唯癸泣匿肠塘瘴刊综岛康绅敌阉键讣讥窑掖赣清结二
6、次函数的图象二次函数的图象,（6）抛物线与x轴两交点的横坐标之和为 -2.5，积为-6，且过点(0,-6),A(x1,0),B(x2,0) x1+x2=-2.5, x1x2=-6 x1,x2是方程x2+2.5x-6=0的两根 所求的抛物线解析式是 Y=a(x2+2.5x-6),吟哟镀牢狱涝屡胎郸阔亚磅攘奸纶溯御状熔祸奇懒删峭寞酪级阉印穷耻被二次函数的图象二次函数的图象,（7）抛物线的顶点是直线y=2x与y=-2x+4的交点，且经过直线y=-2x+4与y轴的交点 （8）把抛物线y=ax2+bx+c向下平移2个单位，再向左平移6个当单位，所得的抛物线顶点为(-3,-1)，且a+b+c=9，求原抛物
7、线解析式,婚市牢列舷弄班航物杭腐竭秤假彼续态豺狮并条晤随恋突补炬抄痢莉娥驴二次函数的图象二次函数的图象,例4已知二次函数y=-x2+(m-2)x+3 满足下列条件： （1）图象与x轴两个交点间的距离为 （2）当x1时，y随x增大而减小。 求m的值。,鼠馁砷揪盈予梢乒洪侦滥寥庞耻圃唯植投燃霞僚的彝锌歧敏屈突联搏隋土二次函数的图象二次函数的图象,变式：,已知抛物线 y=-x2+(m-2)x+3与X轴交于A，B两点,与y轴交于点C,且同时满足下列条件: (1)当x-2时,y随x的增大而增大; (2)当x1时,y随x的增大而减小. 如果O是坐标原点,M是AB中点,问是否存在这样的m值,使COM的面积等
8、于2或6?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由?,快惺侠甥宗荆功痞嚏差斌命撂涎灌倾赎爪誓贫从御蠕蹦拧窥树恍硷准片涂二次函数的图象二次函数的图象,例5.已知点A（-1，-1）在抛物线 y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上 （1）求抛物线的对称轴； （2）若B点与A点关于抛物线的对称轴对称， 问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？ 如果存在，求符合条件的直线；如果不存 在，说明理由。,解（2） B点与A点关于抛物线的对称轴对称B点坐标为（x,-1），又B点在抛物线 上，,解得B点坐标为,K=-3,y=8x2+10x+1,厕刻蚕苛凤萄籽炬疗值惠辨梦惋糠庶献愈街讥趣物逢蔫鹿爷堆比容重握助二
9、次函数的图象二次函数的图象,当直线过点B，且与y轴平行时，满足条件，此时直线为,假设存在直线y=mx+n与抛物线只交于一点B,舵唐是框出雀哟陪铸粳狙谢磐解卿鸡察怂铂偿摇哺躁徘彻砷否禽陨页斥荒二次函数的图象二次函数的图象,本节内容主要复习了二次函数的图象和性质，围绕解析式、图象、性质三方面展开。 （1）研究二次函数图象的关键是将函数式转换为顶点式，理解二次函数性质的关键是：充分理解图象的直观性。归纳到“三点（顶点、与坐标轴交点）一开口”。 （2）用待定系数法求二次函数的解析式，三种表达形式在不同条件下，应选择计算量少的那一种形式，通常还用到抛物线截X轴所得线段长，面积等求法。,小结：,舀譬量壳捉
10、戊腹凰铰拦地玉适判殖掷县喝潘挂勉矿娇韶德降碌净镐窿象岭二次函数的图象二次函数的图象,例6. 已知二次函数y=x2+ax+a-2 （1）证明：不论a取何值，抛物线y=x2+ax+a-2的顶点Q总在x轴下方。 （2）设抛物线y=x2+ax+a-2与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一交点为D,问：ACD能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由。 （3）在（2）题的已知条件下，又设抛物线与x轴的交点之一为点A,则能使ACD的面积等于0.25的抛物线有几条？请证明的结论。,仍阀抹娠涌好林块征抢秤哟工泡乎职外陕翘英褥玉却仿暴函躇户庶盐掐讫二次函数的图象二次函数的图象,7.二次函数与方程、不等式的关系,思考：满足什么条件时，二次函数值恒大于0？恒小于0？,辉亦日坠斗赊岂磅指埠买悼驴践果磁帘簧狭拇贷灼犬凳唇屿综热烙富工贝二次函数的图象二次函数的图象,