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1、选修 2-1 知识点小结第一章常用逻辑用语（ 1）命题命题：可以判断真假的语句叫命题；逻辑联结词： “或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题与逻辑联结词构成的命题。常用小写的拉丁字母p， q， r， s， , 表示命题，故复合命题有三种形式：（ 2）复合命题的真值“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：p非 p真假假真“ p 且 q ”形式复合命题的真假可以用下表表示：pqp 且 q真真真真假假假真假假假假“ p 且 q ”形式复合命题的真假可以用下表表示：pqP 或 q真真真真假真假真真假假假注： 1 像上面表示命题真假的表叫真值表；2由真值表得： “非 p
2、”形式复合q”形式复合命题当p 与 q 同为真时为真，其他情况为假；“ p 或 q”形式复合命题当真； 3真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单（ 3）四种命题如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否做原命题的逆否命题。命题，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价3.判断命题充要条件的三种方法：（ 1
3、）定义法；（ 2）利用集合间的包含关是 B 的充分条件或B 是 A 的必要条件；若A=B ，则 A 是 B 的充要条件关系 ABBA判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，第二章圆锥曲线与方程一曲线方程（ 1 ）求曲线 ( 图形 )方程的方法及其具体步骤如下：步骤含义说1 、“建”：建立坐标建立适当的直角坐标(1)所研究的问题已给出坐标系；“设”：设动点坐系，用 (x,y) 表示曲线上任(2)没有给出坐标系，首先要标。意一点 M 的坐标。2、现 (限 )：由限制条写出适合条件P的点 M这是求曲线方程的重要一步，件，列出几何等式。的集合 P=M|P(M)写出的条件简明正确。3、“代”：
4、代换用坐标法表示条件常常用到一些公式。P(M) ，列出方程f(x,y)=04、“化”：化简化方程 f(x,y)=0为最简要注意同解变形。形式。5、证明证明化简以后的方程的化简的过程若是方程的同解变解为坐标的点都是曲线变形过程中产生不增根或失根上的点。去或补上 (即要注意方程变这五个步骤 (不包括证明 ) 可浓缩为五字“口诀” ：建设现 (限 ) 代化”（ 2 ）求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法” ，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解
5、。几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。参数法：根据题中给定的轨迹条件， 用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。待定系数法2圆锥曲线综合问题（ 1 ）圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类： 一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：建立坐标系转化成数学问题实际问题数学模型翻译回去模型的解讨论方程（ 4 ）知识交汇题圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块
6、出现部分有较强区分度2直线与圆锥曲线的位置关系1点M(x 0 ， y0 )与圆锥曲线C： f(x ， y)=0 的位置关系二直线与圆锥曲线的位置关系（ 1 ）直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有（ 2 ）直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为点的个数是一样的。直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离对于抛物线来说，平行且由F (x, y )0 ，消去 y ax2（ ），=b2 4ac 。ykxn+bx+c=0a 0则弦长公式为：(12)2d=22= (122=k=(1 k )。（有误）( x1x2 )( y1
7、 y 2 )k )( x1x 2 )2| a |a焦点弦长：|PF |P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是 P 到e （点d心率）。三、圆锥曲线方程及性质1椭圆通径1. 数学意义：定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦双曲线和椭圆的通径是2b2/a抛物线的通径是2p（ 1 ）椭圆概念平面内与两个定点F1、 F2的距离的和等于常数（大于| F1F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆。焦点的距离叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有| MF 1 | | MF 2 | 2a 。22椭圆的标准方程为：xy1（ ab 0 ）（焦点在x 轴上即x 型）或22ab轴上即 y 型）。注：以上方
8、程中a , b 的大小 ab22b20 ，其中 ca；2222xyyx两个方程中都有 ab0在221和 221的条件，要分清焦点的abab2 2x y大小。 例如椭圆1（ m0 ， n0 ， mn ）当 mn 时表示焦点在xmny 轴上的椭圆。c离心率：椭圆的焦距与长轴的比e叫椭圆的离心率。ac0 ，aa ，从而 b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于 0 ， c 就越接近于0，从圆。 当且仅当 ab 时， c0 ，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2y2a 22双曲线（ 1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（| PF1| |注意：（* ）式中是差的绝
9、对值，在0 2a| F1F2 | 条件下； | PF1 | P一支）； | PF2 | PF1| 2a 时为双曲线的另一支（含F1 的一支）； 当 2a | F1 F射线；当2a| F1F2|时， |PF1| PF2 |2a 不表示任何图形；（ 可借助三角形理叫做双曲线的焦点，| F1F2| 叫做焦距。椭圆和双曲线比较：椭圆双曲定义|PF1|PF2 |2a (2a| F1F2 |)| PF1 | | PF2 |2a(2 a| F2222方程xy1xy2222abba焦点F (c,0)F (0,注意：如何用方程确定焦点的位置！（ 2）双曲线的性质22y21xy1x22a2abbc )F (c ,
10、0)F (0,22范围：从标准方程xy1 ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线22abx a 即双曲线在两条直线xa 的外侧。22xy对称性：双曲线22ab1 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线 x2y222 1 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。ab22顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线xy122aby 0 得 xa ，因此双曲线和x 轴有两个交点A ( a,0) A2 (a,0) ，他们是双曲线令 x0 ，方程没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双2）实轴：线段A
11、A2 叫做双曲线的实轴，它的长等于2a, a 叫做双曲线的实半轴平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。22 pxp 0 叫做抛物线的标准方程。方程 y注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F（p,0 ），它2（ 2 ）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标22 px ， x22种形式： y2 py ， x2 py .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点y22 pxy22 pxx22 p标准方程0)( p0)( p0)( pyyyllF图形oxoo Fx
12、Fl焦点坐标p,0)(p(0,p(,0)222准线方程xpxpy22范围x0x0y0对称性x 轴x 轴y 轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)离心率e1e1e1说明：（ 1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（ 2）抛物线一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（ 3）注意强调p4、几个常用结论（ 1） 椭圆的焦点三角形：椭上一点P 与椭圆的两个焦点F1的焦点三角形，解决与椭圆焦点三角形有关的问题时，应注意椭圆的定表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。说明：由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等
13、，用线段表示；平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。2向量运算和运算律OBOAABabBAOAOBabOPa(R)加法交换率：abba.加法结合率：(ab )ca(bc).数乘分配率：(ab )ab .说明：引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；向量加则在空间仍成立。3平行向量( 共线向量) ：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这平行向量。 a 平行于b 记作 a b 。注意：当我们说a 、 b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直行时，也具有同样的意义。共线向量定理：对空间任意两个向量a （a
14、 0 ）、 b ， a b 的充要条件是存在注：上述定理包含两个方面：性质定理：若a b （ ），则有ba 0断定理：若存在唯一实数，使 b a （ a ），则有 a b （若用此结论判断上有一点不在b （或a ）上）。对于确定的和 a ， b a 表示空间与a 平行或共线，长度为|a |，当向的所有向量。若直线l a ， Al ， P 为 l上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推推论： 如果 l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线， 那么对任一点在实数 t ，满足等式OP OAta其中向量a 叫做直线 l 的方向向量。在 l 上取 ABa ，则式可化为OP(1 t)OA
15、tOB .1时，点 P 是线段 AB 的中点，则OP1OB ).当 t( OA22或叫做空间直线的向量参数表示式，是线段AB 的中点公式。注意： 表示式 ( )、 ( ) 既是表示式,的基础，也是常用的直线参数方程的表示又 MAOAOM ,. MBOBOM ,.代入，整理得OP(1xy)OMxOAyOB .由于对于空间任意一点P，只要满足等式、之一（它们只是形式不同的同一等式内；对于平面MAB 内的任意一点P，都满足等式、，所以等式、都是由不（或不共线三点M 、 A 、 B ）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、5空间向量基本定理：如果三个向量a 、 b 、 c 不共面， 那么对空间
16、任一向量，z,使 pxaybzc .说 明 ： 由 上 述 定 理 知 ， 如 果 三 个 向 量 a 、 b 、 c 不 共 面 ， 那 么p | pxay bzc , x 、y 、 zR ，这个集合可看作由向量a 、 b 、 c 生成的，所以个基底， a ， b ， c 都叫做基向量；空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；由于与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是0 。推论：设O 、 A 、 B 、 C是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯OP xOAyOB zOC.6数量积（
17、1）夹角：已知两个非零向量a 、 b ，在空间任取一点O，作 OAa ， O的夹角，记作a， bAAaaaaaaaaOaa（ 3）bObBbOB ab（ 1）aa（ 2）aaaaaa说 明a，b= b ， a ；如果a， b =，则称a 与 b 互相垂直，记作a b ；2（ 4 ）性质与运算律 aecos a , e 。 (a) b( a b ) a ba b =0 a b = b a2a a. a (b c ) a b a c | a |二、立体几何中的向量方法1空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。（ 1 ）异面直线所成的角的范围是(0, 。求两条异面直线所成的
18、角的大小一般方法是2问题转化为共面问题来解决。具体步骤如下：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择证明作出的角即为所求的角；利用三角形来求角。（ 2 ）直线与平面所成的角的范围是 0,。求直线和平面所成的角用的是射影转化2具体步骤如下：找过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出把该角置于三角形中计算。注： 斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直即若为线面角，为斜线与平面内任何一条直线所成的（ 3 ）确定点的射影位置有以下几种方法：ADC斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平B如果一个角所在的平面外一点到角的两边距
19、离射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上平分线上；两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面旁心 )；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；斜面面积和射影面积的关系公式：SS cos( S 为原斜面面积, S 为射影面面角 ) 这个公式对于斜面为三角
20、形, 任意多边形都成立.是求二面角的好方法. 当作二斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小。2空间的距离（ 1 ）点到直线的距离：点到直线a 的距离为点到直线a 的垂线段的长，常先得垂足为，过作a 的垂线，垂足为连，则由三垂线定理可得线段即为点到直角形中求出的长即可。点到平面的距离：点到平面的距离为点到平面的垂线段的长常用求法垂线段的长；转移法，如果平面的斜线上两点，到斜足的距离，的比为的距离之比也为m: n 特别地，时，点，到平面的距离相等；（ 2 ）异面直线间的距离：异面直线a, b 间的距离为 a, b 间的公垂线段的长常有a, b 的公垂线段， 然后求出的长即可找或作出过
21、b 且与 a 平行的平面， 则直间的距离找或作出分别过a, b 且与 b ， a 分别平行的平面，则这两平面间的距离就是据异面直线间的距离公式求距离。（ 3 ）直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间为直线上任意一点到平面间的距离（ 4 ）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间为一个平面上任意一点到另一个平以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最以用求函数的最小值法求各距离。3空间向量的应用（ 1 ）用法向量求异面直线间的距离如右图所示，a、 b 是两异面直线，n 是 a 和 b 的法向量，点E a， F b ，则EFn线a 与b 之间的距离是d；n（ 2 ）用法向量求点到平面的距离如右图所示，已知AB 是平面 的一条斜线，n为平面 的法向量，则A 到平ABn面 的距离为d；n要求直线a 与平面所成的角，先求这个平面的法向量n 与直线a 的夹角的或者n, a 。2