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1、第十八章勾股定理复习定理：经过证明被确认为正确的命题叫做定理。1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，也就是说在Rt ABC中，设/C = 90 ZC /A、ZB所对的边分别为c、a、b，则c、a、b满足关系a2+ b2 = c2。在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做 勾，长的直角边叫做股，斜边 叫做弦。注意：由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形 最长边(即斜边)的平方等于两短边(两直角边)的平方和，避免出现这样的错误：在AABC 中，ZB= 90 则a2+ b2= c2。2、勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，可以用测量计算，可以用代数
2、式的变形，可以用几何 证明，也可以用面积(拼图)证明一一对图形进行割、补、拼、接后利用图形面积不变来 证明，这是最常见的一种方法。验证如下：现有四块直角边长为a、b，斜边长为c的直角三角形纸板，请 从中取出若干块拼图，证明勾股定理。证法1: S 大正方形= 4S 三角形 + S 小正方形1 c2= 4 x，ab+ (b - a)2 c2= a2 + b2证法2: tS 梯形= 2S 小三角形 + S 大三角形1 1 1 2(a+ b)2 = 2 tab+ jc2 a2+ b2 = c2证法3: tS 大正方形= 4S 三角形 + S 小正方形- (a + b)2 = 4 x2 ab + c2
3、a2+ b2 = c23、勾股定理的作用：勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，其作 用有：(1) 已知直角三角形的任两边，求第三边问题 ；(2) 证明三角形中的某些线段的平方关系；(3) 作长为无理数的线段 . 注意：若已知直角三角形的两边求第三边时，先确定是直角边还是斜边。若求直角边，则利用勾股定理的变形式 a2= c2- b2= (c+ b)(c- b)或b2= c2- a2 =(c+ a)(c- a);若求斜边，则利用c2= a2+ b2；若不能确定则分以上两种情况讨论。4、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+ b2= c2,那么这个三角形是直角三角形。根据勾股定理逆
4、定理判断一个三角形是否为直角三角形的步骤：(1) 确定最大边;(2) 算出最大边的平方，另两边的平方和;(3) 比较最大边的平方与另两边的平方和，如果相等则此三角形是直角三角形。不 要盲目比较其中任意一边平方与另两边的平方和的关系。5、勾股数：满足a2+ b2= c2的三个正整数称为勾股数。探索神秘的勾股数组： 若 a、 b、 c 是一组勾股数，则 ka、 kb、 kc(k 为正整数 )也 是勾股数，下列各组数都是常见勾股数：3k , 4k, 5k、5k , 12k , 13k、8k, 15k, 17k卜7k, 24k, 25k 、9k, 40k , 41k 等.以下几个公式都可以产生勾股数：
5、 设 n 为正整数，且 n 1,令a = 2n , b = n2- 1, c = n2 + 1，则有 a2+ b2 = c2； 设 n 为正整数，令a = 2n + 1 , b = 2n2 + 2n , c = 2n2 + 2n + 1,则有a2+ b2 = c2; 设 m、n 为正整数，且 mn,令a = m2- n2, b = 2mn , c = m2 + n2,则有a2+ b2 = c2； 设 m、n、k 为正整数，且 m n,令a= k(m2 - n2), b = 2kmn , c = k(m2 + n2), 则有 a2+ b2= c2.6、互逆命题：如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论与题设，那么这两个命题互 为逆命题，其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。7、互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫 做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。注意：每一个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理 .