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1、福建师范大学本科生毕业论文三元域上矩阵空间的保幂映射【摘要】本文首先介绍了矩阵空间上的保持问题的背景及保幂问题的研究现状.并在此基础上刻画了三元域上矩阵空间的保幂映射的相关性质及定理，并对两个定理给出了自己的证明.【关键词】保持问题；保幂等；映射；三元域1 引言1.1课题背景与发展状况矩阵空间的保幂映射是矩阵空间保持问题的分支之一，因此了解保持问题的背景及其发展状况等对于本课题的研究是不可或缺的，下面我将分方面介绍保持问题的一些相关知识，以便更好的理解本文的研究背景.设为两个矩阵空间，刻画从到的保持某些函数、子集、关系、变换等不变量的映射的结构问题称为保持问题.保持问题在微分方程，系统控制，量
2、子力学等领域有着广泛的实际应用背景.如在解答微分方程时，为了简化问题，通常人们在解决一个问题之前可能会对其做一变换，一般要求变换应该是简单的且具有较好的性质的；再如，在量子系统的矩阵模型中，我们想找在系统变形时不影响熵的算子，这些都与保持问题有关.不仅如此，保持问题的结果在李代数等很多其他数学分支中都有应用.因此这一问题已成为国际上矩阵论领域中的热门研究课题之一.有关于保持问题的研究最早始于1897年Frobenius给出的保行列式的线性变换的刻画.而一直到了二十世纪六十年代美国矩阵论专家Marcus研究了秩1保持这一核心问题之后，这一方面的成果才大批出现.特别是近四十年，保持问题发展迅速，分
3、发出了许许多多的分支.如果从保持不变量的角度出发，保持问题可分为:保持行列式问题，保秩问题，保秩1问题，保相似问题，保广义逆问题，保幂等问题，保粘切问题，保伴随问题，保秩可加问题,保对合问题，保交换、保幂零、保谱、保迹问题等等；如果从矩阵代数的角度出发，保持问题可分为:全矩阵代数的保持问题，三角矩阵代数的保持问题，对称矩阵代数的保持问题等等；如果从算子的角度出发，保持问题可分为:线性保持问题，可加保持问题持问题，一般保持问题等等. 对于保持问题的研究，数学家们首先着手研究的自然是线性保持这个比较特殊的领域，并且在这个领域的研究上取得了丰硕的成果.而随着线性保持问题研究的日益成熟，人们自然将研究
4、的重点转向加法保持问题和一般的保持问题上.1991年M.Omladic和P.Semrl首先考虑用加法算子代替线性算子，开始了加法保持问题的研究，1993年，他们得到了复矩阵秩1的保持结果. 1996年，张显和曹重光将问题的研究引向一般域上的矩阵. 显然这类问题是LPP的推广，但由于不能应用线性空间的理论及系数交换的性质，使得这类问题的难度和技巧性增强了.后来，随着加法保持问题研究的不断深入及其结果的不断完善，人们又减少了映射的条件，把线性和加法的条件都去掉，研究更一般的仅仅满足某种条件的保持问题.我们把这种问题称为一般保持问题.由于这种保持问题不再有线性和加法运算，所以大大增加了推导过程的难度
5、，同时也需要更高的技巧.目前，这一类问题是保持问题中比较热门的研究课题之一，本论文的研究保幂映射即属于一般保持问题的其中一个分支.1.2保幂映射问题的研究现状保幂映射问题的研究起始于数学物理中的某些问题(参见文献).Ovchin-Nikov得到了幂等矩阵偏序集上的自同构的形式.他所得到的结果在量子机械不变量的研究中是非常有用的.Molnar用这个结果改进了Wigner定理.另外，幂等集上的一些保持结果可用于刻画矩阵半群上的一般保持问题、矩阵几何，还可用于刻画李代数上的保持问题(参见文献7和8).李代数作为代数学中的一个重要的分支学科，其价值是不言而喻的，因此研究保持幂等方面性质的保持问题也是极
6、其重要的.下面我们一起来对保幂问题做一个系统的认识.设（为矩阵空间），且有正整数，使得，则称为幂等矩阵，也称幂等元，特别的，当时，为幂等矩阵（幂等元），当时，为立方幂等矩阵（立方幂等元）映射称为是保幂等的，如果对任意的幂等元都有是幂等元，即由可以推出.映射称为是保持幂等关系的，如果对任意的都有是幂等元当且仅当是幂等元.设是一个偏序集， 如果对任意的，如果有，则称.如果映射满足对任意的都有 ()，则称是(双向)保序的.对任意的，如果，则称正交，记作.映射如果满足对任意的都有 ()，则称是(双向)保正交的.在1993年ovchinnikov首先得到了幂等矩阵偏序集上的双向保序的双射的形式之后，P.
7、semrl、G.Dolina:、A.Foner及张显等许多学者都开始了这方面的研究，并取得了大量的成果.我们将分特征不为2的域上的全矩阵空间，对称矩阵空间，上三角矩阵空间和特征为2的域上的全矩阵空间以及三元域上矩阵空间等四部分来介绍他们的研究结果.1.2.1特征不为2的域上的全矩阵空间Ovchillllikov于1993年首先得到了幂等矩阵偏序集上的自同构的形式.定理1.1 设为Hilbert空间的所有线性紧算子构成的代数，.如果为（表示上的幂等元全体构成的偏序集，下同）的自同构，则存在使得对任意的有或，其中(i)当为有限维时，为所有半线性双射的集合;(ii)当为无限维时，为的所有连续可逆的线
8、性算子或共扼线性算子的集合.P.Semrl将上述定理中的的双向保序改为单向保序，得到了有限维的结果定理1.2 设是特征不为2的任意域，.若映射（这里表示上的幂等元全体构成的偏序集，下同）为保序的双射，则存在可逆阵和域上的自同构使得对任意的有或.易证，是保幂等的线性映射当且仅当是一个内闭的自同构或反自同构.由于在特征不为2的域上，对任意的.于是很自然的猜测满足为幂等阵当且仅当为幂等阵的连续双射中是不是也是这样的?但最终证明这样的映射的形式与内闭的自同构或反自同构相去甚远.为了得到更好(或更规范)的结果，需要更强的条件.于是有了下面的定理定理1.3设，为连续双射，若对任意的和有是幂等元当且仅当是幂
9、等元，则存在可逆阵使得对任意的有或Dolinar在文献19中改进了P.Semrl的结果，他在时将双射减弱为满射并去掉了连续性的假设.而且Dolinar还在的低维情形时去掉了满射条件.定理1.4 设，为满射，若对任意的和有是幂等元当且仅当是幂等元，则存在可逆阵使得对任意的有或随后，张显 又把复数域推广到了特征不为2的域，并且去掉了满射的条件.定理 1.5设为特征不是2的域，满足对任意的和有是幂等元当且仅当是幂等元，则存在可逆阵使得对任意的有或1.2.2特征不为2的域上的对称矩阵空间对称矩阵空间上的保幂等方面的文章较少.姚红梅等在文献21中刻画了特征不为2，3和5的域上的二阶对称矩阵空间保持幂等关
10、系的映射.定理1.6 设为特征不是2，3和5的任意域，若映射满足对任意的和有是幂等元当且仅当是幂等元，则存在可逆阵使得对任意的有，其中，为中某个非零元素.1.2.3上三角矩阵空间偏序集上的双向保序的双射称为偏序集的自同构.如果（这里表示上的幂等元全体构成的偏序集，下同）是一个可逆矩阵，则显然映射是偏序集的一个自同构.设为域上的自同构，则也是偏序集的一个自同构.对于矩阵映射还是偏序集的一个自同构.此时.A.Fosner证明了偏序集上的保正交的自同构就是由以上三种映射生成的.她得到了如下的定理定理1.7 设是任意域，.若映射为偏序集上的保正交的自同构，则存在可逆阵和域上的自同构使得对任意的有或.1
11、.2.4特征为2的域上的矩阵空间其实，在上一部分A.Fosner的研究结果已经在特征为2的域上适用，但都是在上三角矩阵空间中.特征为2的域上其它矩阵空间的结果相当少.徐金利在文献13中刻画了特征为2的域上二阶全矩阵空间上保持幂等关系的映射.定理1.8 设为至少包含三个元素的特征为2的任意域，若映射满足对任意的和有是幂等元当且仅当是幂等元，则存在可逆阵使得对任意的有或.2三元域上矩阵空间的保幂映射 生玉秋在文献17中探讨了三元域上全矩阵空间，对称矩阵空间，上三角矩阵上的保幂映射并分别得到了在这几个空间上的保幂映射所具有的性质定理，但其中有两个定理并未给出证明，本节将分三个方面列出这三个定理，并对
12、其中为证明的定理给出自己的证明.2.2.1三元域上全矩阵空间的保幂映射定理2.1 设，且为上保幂映射，则存在可逆阵，使得对任意的有或.本定理原文中已有证明，故不具体证明，证明过程参考文献172.2.2三元域上对称矩阵空间的保幂映射本节将刻画三元域上对称矩阵空间的保幂映射，证明下面的定理.定理2.2 设，且为上保幂映射，则存在可逆阵，使得对任意的有或，其中为中某个非零元素.为证明定理2.2我们需要下面的引理和命题，其中引理2.1，引理2.2，引理2.3的证明可参考文献4和15中引理1-5和7-9的证明.引理 2.1 设，如果其中为所有从到的满足如下条件的映射中的集合:（ 这里表示上的幂等元全体构
13、成的偏序集，下同）则是单射；是是齐次的，即. 引理2.2 设，且.如果对任意的有其中，和均为从到的齐次映射，且，则存在可逆阵使得对任意的，和都有. 引理2.3 设，且如果其中与引理2.2中的一样，和均为从到的齐次映射，且，则其中和均为从到的齐次映射，且， 基于前面的准备，我们可以先证明下面的一个定理.由此定理我们立即可以得到所需要证明的定理2.2定理2.3 设，且，则存在可逆阵，使得对任意的有. 要证明定理2.3等价于证明下面的四个命题. 命题2.1 设.如果，则存在可逆阵使得，（下同）. 证明 类似于文献15中命题1的证明. 命题2.2设.如果且对有，则存在可逆阵使得，. 证明 由引理2.2
14、，存在可逆阵使得且所带来的相似变换保持不动.令由引理2.3知.其中和均为从到的齐次映射，且.当时，令，则.对有，于是，即不依赖于的选择.再令，命题得证. 命题2.3设，如果且对有，则存在可逆阵使得，.证明 步骤1 存在可逆阵使得其中和均为从到的齐次映射，且.由引理2.2和命题2.2知存在可逆阵使得且带来的相似变换保持上面的结果.令由引理2.3知其中和均为从到的齐次映射，且. 当时，类似于命题2.2的证明可知不依赖于的选择.再令，由带来的相似变换保持和不动，且令由引理2.3知其中和均为从到的齐次映射，且.即. 步骤2 对，存在可逆阵使得其中与引理2.2中的一样，和均为从到的齐次映射，且.令由引理
15、2.2知存在可逆阵使得且由带来的相似变换保持上面的结果.又由引理2.3有其中和均为从到的齐次映射，且.当时，令，由带来的相似变换保持不动，且对连续两次应用引理2.3可得其中和均为从到的齐次映射，且.即.其中和均为从到的齐次映射，且.步骤3 由步骤2知其中，均为从到的齐次映射，且由的保幂性可得.再由，（的齐次性，命题得证. 命题2.4 设，如果且对有，则存在可逆阵使得，.证明 只需证明对任意的存在可逆阵使得且对任意的有我们对应用数学归纳法.当时，由引理2.2知存在可逆阵使得且由带来的相似变换保持上面的结果.当时，类似于命题2.3中步骤1的证明可知存在可逆阵使得且由带来的相似变换保持上面的结果.由
16、的齐次性，不失一般性我们可设当时，类似于命题2.3中步骤2的证明可知其中和均为从到的齐次映射，且.同理，类似命题2.3中的步骤3可证得式在时也成立.假设式当时均成立，则由的齐次性，只需证明，其中.由归纳假设及引理2.3可推出.其中和均为从到的齐次映射，且. 结合的齐次性经计算得从而当时式也成立. 2.2.3三元域上上三角矩阵空间的保幂映射本节将刻画三元域上对称矩阵空间的保幂映射，证明下面的定理.定理2.4 设，且为上保幂映射，则存在可逆阵，使得对任意的有或，其中.为证明定理2.4我们需要下面的引理和命题，其中几个引理的证明同样可以可参考文献4和15中引理1-5和7-9的证明.引理 2.4 设且
17、，如果(其中为所有从到的满足如下条件的映射中的集合:)则是单射；是是齐次的，即. 引理2.5 设，且，且.如果（这里下同）则存在可逆阵使得对任意的，和都有，且. 引理2.6 设，且.如果则存在可逆阵使得,其中或 引理2.7设，且.如果则对有,其中为从到的映射，且，则存在可逆阵使得基于这四个引理，我们可以先证明下面的一个定理.再此定理证明我们所需要的定理2.4定理2.5 设，且，则存在可逆阵，使得对任意的有或. 要证明定理2.5等价于证明下面的四个命题. 命题2.5 设且.如果，则存在可逆阵使得，. 证明 类似于文献15中命题1的证明. 命题2.6设且.如果且对有，则存在可逆阵使得对任意有或.
18、证明 只需证明存在可逆阵使得令由引理2.6知或情形1.如果存在使得，则由的单性知，对令由引理2.6知其中且由知和均为幂等元.经计算得.故由和的任意性，再由引理2.7知存在可逆阵使得 情形2.如果存在使得，类似情形1同样可得结论成立. 命题2.7设，如果且对有，则存在可逆阵使得对任意有或.证明 步骤1. 对任意的和有，其中是一个从到的映射.由引理2.6知或其中.如果存在使得其中.则且故经计算得.于是这与的单性矛盾.所以如果存在和非零向量得则由知又由知故或.由的单性，这是不可能的.因此，对任意的和，有其中是一个从到的映射.步骤2. 对任意的和有，其中是一个从到的映射.显然，存在和可逆矩阵使得.由知
19、经计算的得步骤3 如果和线性无关，则不依赖于的选择.由于和线性无关,故存在和可逆矩阵使得.对任意的和，令既然则经计算得于是，不依赖于的选择.步骤4. 如果和线性相关，则不依赖于的选择.既然则即计算得既然和线性无关，那么由步骤3知不依赖于的选择.步骤5. 其中是一个从到的映射.由步骤3和4，显然.步骤6. 对任意的有.如果则于是我们可设如果对任意的由于是齐次的,故对任意的及我们有又故经计算得.步骤7 如果和线性无关，则.如果和线性无关，故存在非零的和可逆阵使得且其中.由知经计算得.步骤8 对任意的和，存在非零元使得如果，由步骤6和7可知存在非零元使得其中如果，由引理2.6知其中或.由知经计算得步
20、骤9 对任意的和，存在可逆矩阵使得由矩阵带来的相似变换保持不动，且.命题2.8设，如果且对有，则存在可逆阵使得对任意有.证明 类似命题2.7的证明. 有了前面的准备，现在我们就可以来证明定理2.4证明 由定理2.5知存在可逆阵使得对有或.情形1 若对有.记.令，则，经计算得；再令，则，经计算得；再令则，经计算得；最后，令,则，经计算得.情形2 若对有，可类似情形1证明.注意到定理2.2和定理2.4这两个定理中对的限制，可以发现当时定理2.15不成立而定理2.16却是成立的，对此我们可以用下面的一个例子来进行说明.例2.1 设，定义映射为:对易证对任意的有或，其中.由此，显然为上的保幂映射，但它
21、却不是定理2.15所描述的形式.参考文献1.D.H.Mushtari，M.S.Matveichuk.Signed Mwasures on Logics of Skew Projections. Dokl. Akad.Nauk SSSR(Russian)，1985，1;43-462 M.S.Matveichuk. Structure of Measures on Logics of Skew Projections，I.Izv.Vyssh.Uchcdn.Zaved.Mat.(Russian)，1989，8;39-44.3 M.S.Matveichuk. Structure of Measures
22、 on Logics of Skew Projections，II.Izv.Vyssh.Uchcdn.Zaved.Mat.(Russian)，1989，9;38-46.4 D.H.Mushtari， Logics of Projection in Banach Space. Izv.Vyssh.Uchcdn.Za-ved.Mat.(Russian)，1989，8;44-52.5 P.G.Ovchinnikov. Automorphisms of The Poset of Skew Projections.J.Funct.Anal.，1993，115;184-189.6 L.Molnar.Ort
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24、s. Linear Algebra Apple.2006，413:364一3939 G.Dolinar. Maps on Matrix Algebras Preserving IdemPotents. Linear Algebra Appl.2003，371:287一300.10 X.Zhang. Idempotence-preserving Maps Without The Linearity and Surjectivity Assumptions. Linear Algebra Apple.2004，387:167一18211 H.M.Yao，Y.Q.Yang，C.G.Cao. Maps
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27、、方法与技巧M.华中科技大学出 版社.2006.18 张禾瑞， 郝鈵新.高等代数M.高等教育出版社.1997.19 丘维声. 高等代数上、下M.高等教育出版社.2003.20 丘维声.抽象代数基础M.高等教育出版社.200321 宋肖飞.复矩阵空间上保持k-幂等的算子D. 黑龙江大学.200922 张扬.矩阵空间之间的保持问题D.哈尔滨工业大学.200824 王忠英. 域上矩阵代数保持k_幂等关系的映射D.2008英文摘要Maps on Matrix Spaces Preserving Idempotence overField with Three Elements105012007137
28、Shen Zhihai Advisor:Chen LanqingMajor in Pure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer ScienceAbstract The article firstly introduces the background of preserver problems on matrix spaces and the current research of the maps matrix spaces preserving idempotence. Secondly on the basis it depicts the mapping satisfy theorem of the maps on matrix spaces preserving idempotence over field which has three elements, and then gives the proof to two of the Theorem by myself.Key words Preserver Problems, Paul Idempotent, Map,Field with Three Elements第16页 共16页