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1、线性代数常见证明题型及常用思路、证明题题型1关于1,K , m线性相关性的证明中常用的结论(1)设1 1 L m m 0，然后根据题设条件，通过解方程组 或其他手段：如果能证明 1，K , m必全为零，则1，K , m线性无 关；如果能得到不全为零的1 ,K , m使得等式成立，贝S 1，K , m线 性相关。2)1,K , m线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。(3)如果 1 ,K ,m F “，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。有两个线性无关组，1，K ， mW1，1,K , tW2,且W1,她是同一个线性空间的两个子空间，要证1,K ,1,K ,t线性无关。这种情况下，有些时候
2、我们设0 ，进而由0,根据题设条件1,K , m W1,1,K , t W2的线性无关得到系数全为零。题型2.关于欧氏空间常用结论(1) 内积的定义(2) 单位正交基的定义(3)设B 1,K , n是单位正交基,Ub (Xi,K,Xn),VB (yi,K,yn)。则(u,v)人力 L x“yn5题型3.关于矩阵的秩的证明中常用的结论(1) 初等变换不改变矩阵的秩(2) 乘可逆矩阵不改变矩阵的秩(3) 阶梯形的秩(4) 几个公式(最好知道如何证明)：常用来证明关于秩的不等式r(A B) r(A) r(B);r(AB) min r(A),r(B);r(A) r(AT) r(ATA);At计) A
3、r BTr(A) r(B)；ArBr(A)r(B);Ar(A)r(B)rCr(A) r(B) r(C); BAm nB0r(A)r(B) n(5)利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩(常用来证明关于秩的不等式)例：证明：r(Am n) r(B) n r(AB)。证:n r(AB)EnABABr EA0 r(A) r(B)A 0上面第二个等号是用A左乘第一个分块矩阵的第一行，然后加到第 二行所得；第三个等号是用 B又乘第二个分块矩阵的第一列，然后 加到第二列所得。（6）利用齐次线性方程组解的结构（dim N（Am n） n r（A）， 此方法也可以用来证明关于向量组的秩方面的的问题。（7）利用向
4、量组的秩与维数主要是两个结论：（i）矩阵的秩二列秩二行秩（ii ） dimker dimlm dimker r（） 的定义域的维数（8）利用行列式秩（9）利用相抵标准形题型4.关于可逆矩阵常用结论（1） 结论:A可逆AX b有唯一解|A| 0。（2）结论:A,B M n（F）可逆 AB可逆。（3）结论：A可逆当且仅当可以写为初等矩阵的乘积。（4）结论:A可逆当且仅当0不是它的特征值。题型5.关于矩阵对角化的常用结论1（1） 结论：A相似于B C s.t A C BC。（2）结论：任一个复数域上的方阵都相似于一个若当形矩阵。（3）特征值与特征向量的定义（4） 结论：是A的特征值 | E A| 0
5、。（5）结论：属于不同特征值的特征向量线性无关。（6）结论：特征多项式的常数项就是它的行列式，它的第 n-1次项 的系数就是对角线上元素之和。（7）结论：AX X h（x） Fx, h（A）X h（ ）X。（8）结论：课本P242定理。（9）结论：课本P242推论。（10）结论：课本P243定理。（11）结论：实对称矩阵一定可以通过正交矩阵对角化。题型6.关于二次型的常用结论：（1）定义：二次型的矩阵。（2）定义：相合关系。（3）实对称矩阵的相似标准形、相合标准形与相合规范形的区别。（4）定义：课本P263定义与P269定义（5）实对称矩阵的正、负惯性指数与特征值的关系。（6）结论：课本P264定理、（7）结论：课本P269定义下面的内容重要建议：最好把课本第七章内容全部记住!