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1、基金公司投资问题模型摘 要：针对投资公司提出的问题，首先求出每支股票过去若干年的时间加权年收益率，对其求均值和方差，利用变异系数从各种投资股票中选出最有投资价值的股票和投资价值较高的10支股票。接下来根据2012年最后两个月股票每日价格的上涨（下跌）计算一步转移概率矩阵，利用马尔柯夫随机过程理论预测2013年每支股票的上涨概率。其次参照层次分析法的求解模型，权衡收益率和风险，对这10支股计算合理的投资权重，做出10种股票的最佳投资策略，合理分配投资金额，降低投资风险，获得更大的效益。最后在已知预期收益率的前提下，根据马克维兹的均值方差模型，问题可转化为二次规划求解，利用LINGO软件求出最终结
2、果。关键字：时间加权收益率 变异系数 马尔柯夫随机过程理论 层次分析法 马克维兹的均值方差模型 二次规划16 / 17文档可自由编辑打印 基金公司投资问题模型1、 问题重述某基金管理公司现有50000万元于2013年1月1日投资附表1中列出的50种股票，于2013年12月31日之前全部卖出所持有的股票。请你为该基金公司提出投资方案。公司经理要求回答以下问题：1. 以我国经济形势与行业变化的分析为背景，从附表所罗列的50种股票寻中 寻找一个你认为最有投资价值的股票做一估值报告。2. 从附表所罗列的50种股票选出10种股票进行投资，请你预估这10种股票2013年的上涨幅度或者通过其他途径获取这10
3、种股票的上涨幅度。3. 通过建立数学模型确定最优投资组合的决策，也就是确定在选出的10种股票的分别投资多少万元？投资组合的总风险是多少？4. 基金公司经理要求至少获得25%预期收益，最小风险是多少？5. 请你为基金公司经理撰写一份投资报告。二、模型假设与符号说明2.1 模型假设1. 投资期间社会政策无较大变化经济发展形势较稳定；2. 投资期间的交易费用不计；3. 基金公司在年初投资股票，年末获得收益，期间不的撤资或追加投资；4. 基金投资公司期望收益率（亦称收益率均值）来衡量未来实际收益率的 总体水平，以收益率的方差（或标准差）来衡量收益率的不确定性（风险），因而投资公司在决策中只关心投资的期
4、望收益率和方差。5. 投资公司都是不知足的和厌恶风险的，遵循占优原则，即：在同一风险水平下，选择收益率较高的股票；在同一收益率水平下，选择风险较低的股票。2.2 符号说明 （i=1,2,.n） ：各种可投资的股票 ：若干年的收益率的均值（期望收益率） ：若干年的收益率的方差 ：的变异系数（亦称方差系数、标准差系数、标准离差率） ：期望收益率向量 ：协方差矩阵 ：协方差矩阵的第i行第j列的元素 ：一种股票的第n天的价格 ：股票价格的一步概率转移矩阵 ：回报风险判断矩阵 ：的最大特征值 ：对应的特征向量 ：的归一化向量的转置 ：10个投资项目的回报判断矩阵 ：10个投资项目的风险判断矩阵 ：对应的
5、最大特征值的特征向量 ：对应的最大特征值的特征向量 ：已知投资权重的风险值 ：已知收益率情况下的风险值 3、 问题分析证劵投资者最关心的问题是投资收益率的高低及投资风险的大小。由于投资的收益率受证券市场波动的影响因而可以将其看作一个随机变量。我们用一定时期（一年）内股票的时间加权收益率X的期望值E(X)来衡量该种股票投资的获利能力，期望值越大，股票的获利能力越强；股票的风险用该种股票投资收益率的方差D(X)（收益的不确定性）来衡量，方差越小，投资的风险越小。投资者在选择投资策略时，有三种情况：（1）投资公司只能在既定收益率的情况下使投资风险尽可能小的投资策略；（2）公司在愿意承受的风险水平的情
6、况下追求使收益率尽可能大的投资目标；（3）权衡收益与风险的利弊，综合考虑。降低风险的有效途径是组合投资方式。由于已知的数据和该公司的情况有限，综合各种因素，将第三种作为首选的投资方案。3.1问题(1)和问题(2)的分析 最有投资价值的股票即时间加权收益率的期望值E(X)大且方差D(X)小且投资方向与我国未来经济形势大致相符的股票。从每支股票过去若干年的数据中算出每年的时间加权收益率（下面简称收益率），然后计算出它们的期望，即期望收益率。再计算出它们的方差，从而得出标准差。最后用股票变异系数对股票进行排序。股票变异系数=时间加权收益率的标准差/期望收益率，且股票变异系数越小，表示股票相对风险小，
7、收益率高，越有投资价值。预测股票未来的上涨幅度，我我们用马尔柯夫随机过程理论进行预测。3.2问题（3）和(4)的分析问题(3)：确定投资的10支股票后，若想合理分配投资资金，需通过适当的方法计算出每支股票的权重，根据权重乘以总投资额，即得该股票的投资金额。该问题可通过层次分析法计算股票的投资权重，从而解决问题。问题(4)：在预期收益不低于25%的情况下使股票投资的风险最小，可采用著名的马克维兹均值方差模型。由于均值方差模型是一个二次规划问题，可用现成的的软件（如LINGO9.0）进行求解。四、模型建立与求解4.1问题（1）和（2）的模型建立与求解 由对问题（1）和（2）分析，通过对每支股票过去
8、若干年数据，利用复利的思想，计算出每年的时间加权收益率，公式(1)如下: （1）其中为每支股票每年的时间加权收益率，为股票日收益率。 一支股票过去若干年的收益率的期望 （i表示第i支股票）一支股票过去若干年的加权收益率的方差 （i表示第i只支票）在知道每支股票收益率的期望 和方差后，给出一个变异系数，用它来度量股票的相对风险。计算公式如下： （2） 表示第i支股票的变异系数。为了筛选出最具投资价值的股票，由投资价值的俩个因素：收益率高（期望收益率度量）和风险小（方差度量），计算出每支股票的，找出最具投资价值的十支股票。由于给出原始数据的年份不统一，我们截取重叠年份较多即2008-2012年的数
9、据，则对原始数据处理后得出表（1）。 表（1）：股票的期望收益、标准差、变异系数08年后的平均收益率08年后的标准差08年后的变异系数600000浦发银行1.9524 2.7092 1.3876 600010包钢股份0.0931 0.3451 3.7080 600015华夏银行0.0459 0.2951 6.4302 600016民生银行0.0145 0.6145 42.2896 600019宝钢股份0.0609 0.4956 8.1390 600028中国石化0.0241 0.4970 20.6111 600030中信证券-0.0335 0.4995 -14.9034 600031三一重工-
10、0.0385 0.8098 -21.0502 600036招商银行0.0124 0.2430 19.5874 600048保利地产-0.0756 0.3660 -4.8410 600050中国联通-0.0829 0.2787 -3.3622 600058五矿发展0.0679 0.3947 5.8136 600104上汽集团0.3996 1.6303 4.0799 600111包钢稀土0.3143 1.3452 4.2800 600123兰花科创0.0717 1.2062 16.8254 600188兖州煤业0.1855 0.6954 3.7498 600256广汇能源0.1680 0.7240
11、 4.3099 600348阳泉煤业0.3251 1.6052 4.9379 600362江西铜业0.3138 1.1008 3.5080 600489中金黄金-0.2544 0.3242 -1.2745 600519贵州茅台-0.0010 0.3754 -382.0668 600547山东黄金-0.3454 0.4496 -1.3018 600549厦门钨业0.3730 0.6902 1.8505 600585海螺水泥-0.2109 0.6258 -2.9674 600837海通证券0.3072 1.0494 3.4164 600887伊利股份0.3072 1.0494 3.4164 601
12、006大秦铁路-0.0538 0.1571 -2.9186 601088中国神华0.0800 0.4084 5.1026 601166兴业银行0.1467 0.8383 5.7160 601169北京银行0.0756 0.5517 7.3009 601288农业银行0.0028 0.0497 18.0053 601299中国北车-0.0983 0.2964 -3.0146 601318中国平安0.1740 0.5477 3.1482 601328交通银行-0.1611 0.6338 -3.9334 601336新华保险-0.0050 0.0814 -16.4028 601398工商银行0.02
13、54 0.2697 10.6092 601601中国太保0.1588 0.5168 3.2552 601628中国人寿0.0392 0.3614 9.2245 601668中国建筑-0.1115 0.2893 -2.5947 601669中国水电-0.1743 0.0880 -0.5051 601688华泰证券-0.2310 0.3377 -1.4618 601699潞安环能0.3524 1.2010 3.4076 601766中国南车0.0313 0.2941 9.3877 601800中国交建-0.2299 /601818光大银行-0.0658 0.1923 -2.9210 601857中
14、国石油-0.1678 0.3580 -2.1335 601898中煤能源0.0394 0.4530 11.4907 601899紫金矿业-0.5935 1.5399 -2.5945 601901方正证券-0.1521 0.1970 -1.2950 601989中国重工-0.1016 0.4361 -4.2943 由上表数据给出筛选的标准：若0且越趋向1，表示该股票变异特性弱，风险小，收益率高。 所以， 选择股票600000浦发银行作为2013年最有投资价值的股票。 十支股票的上涨幅度建立模型与求解： 我们要预计股票的上涨幅度，可根据转移概率矩阵，用马尔柯夫预测方法进行预测。 设表示一种股票的第
15、n天的价格，令，以-1，0，1分别表示-0.1，-0.1=0.1。连续观察该种股票2014年的最后40天的变化。假设，n=1具有齐次马尔柯夫性，求，n=1的一步转移概率矩阵。其中 假设40个数据中-1-1有a次，-10有b次，-11有c次，0-1有d次，00有e次，01有f次，1-1有g次，10有h次，11有i次。所以，n=1的一步转移概率矩阵当n比较大时，即按照这个趋势发展下去，长期趋势比较稳定，其中： j表示该股票下跌的概率； k表示该股票持平的概率； l表示该股票上涨的概率；由统计的数据对每支股票运用该模型预测出2013每支股票股票的上涨幅度，如表（2）。 表（2）：2013最具投资价值
16、的十支股票及预测上涨幅度股票08年后的平均收益率08年后的标准差08年后的变异系数上涨概率(上涨幅度）600000浦发银行1.9524 2.7092 1.3876 0.5250 600010包钢股份0.0931 0.3451 3.7080 0.1268 600104上汽集团0.3996 1.6303 4.0799 0.5610 600111包钢稀土0.3143 1.3452 4.2800 0.5252 600188兖州煤业0.1855 0.6954 3.7498 0.3410 600256广汇能源0.1680 0.7240 4.3099 0.2927 600362江西铜业0.3138 1.10
17、08 3.5080 0.0017 601601中国太保0.1588 0.5168 3.2552 0.4240 601699潞安环能0.3524 1.2010 3.4076 0.0017 600887伊利股份0.3072 1.0494 3.4164 0.2821 4.2问题（3）和（4）的模型建立与求解画层次结构图： 最佳组合目标层 风险低 回报高准则层 10789654321方案层其中110分别表示的股票如下：1600000浦发银行2600010包钢股份3600104上汽集团4600111包钢稀土5600188兖州煤业6600256广汇能源7600362江西铜业8601601中国太保96016
18、99潞安环能10600887伊利股份首先我们在准则层对方案层进行赋权（由统计数据得到的回报风险比重），我们采用两两比较判断法：投资决策准则层对目标层的两两比较表 回报风险回报1.00000.3751风险2.66601.0000在这张表中，a12=2/1,它表示回报与风险对投资比例的选择这个目标来说的重要之比为2:1.由此我们得到一个比较判断矩阵 并称之为正互反矩阵。N阶正互反矩阵的特点是： 正互反矩阵一定存在一个最大的正特征值 ，并且所对应的特征向量 X为正向量。即 ，将 归一化变为权向量 。v,d=eig(X)可求出最大特征值 ，对应的特征向量经过归一化得， 就是准则层对目标层的排序向量。用
19、相同的方法，给出第三层（方案层）对第二层（准则层）的每一准则比较判断矩阵，由此求出各排序向量（最大特征值所对应的特征向量并归一化）B1=B2=和P1= P2=最后，我们将由各准则层对目标的权向量W和各方案对每一准则的权向量，计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量。组合权向量为:若记p= 则根据矩阵的乘法，可得 =上述结果可得：表（3）：10个投资项目的投资比例投资权重投资金额w10.2996 14980w20.0282 1410w30.1304 6520w40.1066 5330w50.0566 2830w60.0573 2865w70.0909 4545w80.0434 2170w90.0
20、998 4990w100.0872 4360和1.0000 50000根据问题（4）建立的马克维兹均值方差模型，由模型中的运用MATLAB求出投资组合的总风险。程序如下： w1=0.2996;w2=0.0282;w3=0.1304;w4=0.1066;w5=0.0566; w6=0.0573;w7=0.0909;w8=0.0434;w9=0.0998;w10=0.0872;=0.5318*w12-0.0669*w1*w2+0.1351*w1*w3+0.4371*w1*w4+0.2696*w1*w5+0.4064*w1*w6+0.1850*w1*w7+0.0286*w1*w8+0.2265*w1
21、*w9+0.18408*w1*w10+0.0021*w2*w2-0.0084*w2*w3-0.0274*w2*w4-0.0169*w2*w5-0.0255*w2*w6-0.0116*w2*w7-0.0017*w2*w8-0.0142*w2*w9-0.0115*w2*w10+0.0085*w3*w3+0.0555*w3*w4+0.0342*w3*w5+0.0516*w3*w6+0.0235*w3*w7+0.0036*w3*w8+0.0287*w3*w9+0.0233*w3*w10+0.0898*w4*w4+0.1108*w4*w5+0.1670*w4*w6+0.0760*w4*w7+0.0117
22、*w4*w8+0.0931*w4*w9+0.0756*w4*w10+0.0341*w5*w5+0.1030*w5*w6+0.0469*w5*w7+0.0072*w5*w8+0.0574*w5*w9+0.0466*w5*w10+0.0776*w6*w6+0.0707*w6*w7+0.0109*w6*w8+0.0866*w6*w9+0.0703*w6*w10+0.0160*w7*w7+0.0049*w7*w8+0.0394*w7*w9+0.0320*w7*w10+0.0004*w8*w8+0.0061*w8*w9+0.0049*w8*w10+0.0241*w9*w9+0.0392*w9*w10+0
23、.0159*w102; (3)结果：F=0.0949所以此时的投资组合的总风险为0.0949。由问题（4）的分析建立马克维兹均值方差模型求解： 十种股票的期望收益率向量及协方差矩阵可由原始统计数据估计出来。一般来说，若n种股票，m年投资的收益率统计数据为则可以根据这些统计数据作为样本，求出及（i,j=1,2,.n）的估计值。记 （i=1,2,.,n) （i,j=1,2,.n）用样本矩作为总体矩的点估计，则 ， （i,j=1,2,.n）所以，可得及的估计 由上表（）的数据，可算得期望收益率向量及协方差矩阵分别为 在投资的期望收益率至少为25%的前提下，使投资的风险最小。因此可以建立组合股票投资决
24、策的均值方差模型：min=0.5318*w12-0.0669*w1*w2+0.1351*w1*w3+0.4371*w1*w4+0.2696*w1*w5+0.4064*w1*w6+0.1850*w1*w7+0.0286*w1*w8+0.2265*w1*w9+0.18408*w1*w10+0.0021*w2*w2-0.0084*w2*w3-0.0274*w2*w4-0.0169*w2*w5-0.0255*w2*w6-0.0116*w2*w7-0.0017*w2*w8-0.0142*w2*w9-0.0115*w2*w10+0.0085*w3*w3+0.0555*w3*w4+0.0342*w3*w5+
25、0.0516*w3*w6+0.0235*w3*w7+0.0036*w3*w8+0.0287*w3*w9+0.0233*w3*w10+0.0898*w4*w4+0.1108*w4*w5+0.1670*w4*w6+0.0760*w4*w7+0.0117*w4*w8+0.0931*w4*w9+0.0756*w4*w10+0.0341*w5*w5+0.1030*w5*w6+0.0469*w5*w7+0.0072*w5*w8+0.0574*w5*w9+0.0466*w5*w10+0.0776*w6*w6+0.0707*w6*w7+0.0109*w6*w8+0.0866*w6*w9+0.0703*w6*w
26、10+0.0160*w7*w7+0.0049*w7*w8+0.0394*w7*w9+0.0320*w7*w10+0.0004*w8*w8+0.0061*w8*w9+0.0049*w8*w10+0.0241*w9*w9+0.0392*w9*w10+0.0159*w102 （4）s.t.(1)1.9524*w1+0.09301*w2+0.3996*w3+0.3143*w4+0.1855*w5+0.1679*w6+0.3138*w7+0.1588*w8+0.3524*w9+0.2072*w10=0.25 (2)w1+w2+w3+w4+w5+w6+w7+w8+w9+w10=1 （3)w1=0，w2=0
27、,w3=0,w4=0,w5=0,w6=0,w7=0,w8=0,w9=0,w10=0用LINGO9.0求解，输出结果： Feasible solution found. Total solver iterations: 11 Variable Value min 0.4058115E-01 W1 0.1170027 W2 0.1065601 W3 0.1029898 W4 0.8933506E-01 W5 0.9465250E-01 W6 0.8907780E-01 W7 0.9970198E-01 W8 0.1038466 W9 0.9848964E-01 W10 0.9834379E-01
28、Row Slack or Surplus 1 0.000000 2 0.1929561 3 0.000000因此，得w1=0.1170, w2=0.1066, w3=0.1030, w4=0.0893, w5=0.0947w6=0.0891,w7=0.0997, w8=0.1038, w9=0.0985, w10=0.0983min=0.0406 表（4）：2013年基金投资公司在至少获利25%下的投资报告股票名称投资比例投资金额（万元）600000浦发银行11.70%5850600010包钢股份10.66%5330600104上汽集团10.30%5150600111包钢稀土8.93%4465
29、600188兖州煤业9.47%4735600256广汇能源8.91%4455600362江西铜业9.97%4985601601中国太保10.38%5190601699潞安环能9.85%4925600887伊利股份9.83%4915 最小投资风险为：min=0.04064.3问题（3）层次分析模型的检验 n阶正互反矩阵为一致矩阵当且仅当其最大特征根 =n ，问题（3）中的矩阵A和B均为一致矩阵。（矩阵A：最大特征跟=矩阵A的阶数=2，矩阵B：最大特征跟=矩阵B的阶数=10）。一致性越高，最大特征根对应的标准化特征向量就越能反映出各层次对上一层次的影响中所占的比重。 五、主要结果 问题（1）的结果
30、：根据我们的的评判方法，结合50种股票最近五年的年平均收益和交易额以及变异系数，我们认为股票“600000浦发银行”为2013年最有投资价值的股票。 问题（2）的结果： 表（5）：2013最具投资价值的十支股票及预测上涨幅度股票08年后的平均收益率08年后的标准差08年后的变异系数上涨概率(上涨幅度）600000浦发银行1.9524 2.7092 1.3876 0.5250 600010包钢股份0.0931 0.3451 3.7080 0.1268 600104上汽集团0.3996 1.6303 4.0799 0.5610 600111包钢稀土0.3143 1.3452 4.2800 0.52
31、52 600188兖州煤业0.1855 0.6954 3.7498 0.3410 600256广汇能源0.1680 0.7240 4.3099 0.2927 600362江西铜业0.3138 1.1008 3.5080 0.0017 601601中国太保0.1588 0.5168 3.2552 0.4240 601699潞安环能0.3524 1.2010 3.4076 0.0017 600887伊利股份0.3072 1.0494 3.4164 0.2821 问题（3）的结果： 表（6）：10个投资项目的投资比例投资权重投资金额w10.2996 14980w20.0282 1410w30.130
32、4 6520w40.1066 5330w50.0566 2830w60.0573 2865w70.0909 4545w80.0434 2170w90.0998 4990w100.0872 4360和1.0000 50000 十支股票的组合投资风险：F=0.0949问题（4）（5）的结果： 表（7）：2013年基金投资公司在至少获利25%下的投资报告股票名称投资比例投资金额（万元）600000浦发银行11.70%5850600010包钢股份10.66%5330600104上汽集团10.30%5150600111包钢稀土8.93%4465600188兖州煤业9.47%4735600256广汇能源8
33、.91%4455600362江西铜业9.97%4985601601中国太保10.38%5190601699潞安环能9.85%4925600887伊利股份9.83%4915 最小投资风险为：min=0.0406六、模型评价6.1模型优缺点6.1.1模型优点 问题（2）马尔柯夫链模型优点：经济预测的方法是多样的，马尔科夫预测方法是一种很典型的预测市场占有率的方法。问题（2）根据转移概率矩阵，用马尔科柯夫预测方法进行预测，并且其极限具有稳定性。 问题（3）层次分析模型优点：层次分析法是对复杂问题作出决策的一种简单易行的方法，它适用于错综复杂且难于定量分析的问题，它对决策分析提供了一个有力且有效的工具
34、。应用此模型通过MATLAB编程可计算出各个项目的最佳投资比例，求解方便。 问题（4）马克维兹均值方差模型优点：马克维兹均值方差模型的意义在于：在达到预期收益率不低于25%的情况下使组合证劵投资的风险最小。而模型又是一个二次规划问题，求解二次规划问题有现成的计算机软件（如LINGO等），求解方便。 6.1.2模型缺点 问题（2）马尔柯夫链模型缺点：2013年股票上涨幅度预测时需要选取适量的数据，其一数据的选择需适量且具有代表性，其二数据处理时分界值的选择也比较麻烦。 问题（3）层次分析模型缺点：层次单排序及一致性检验，层次总排序及一致性检验的计算复杂程度稍大， 尤其当其判断矩阵不满足一致性检验
35、时需要不断的对其作适当修正。 问题（4）马克维兹均值方差模型缺点：该模型的两个重要指标数学期望和方差都是指预期收益率的。如果预期收益率的计算有偏差，将会影响到最终所有的计算。我们采用时间加权平均来计算预期收益率。6.2 模型改进 （1）在激烈的市场竞争中,股票价格受多种因素的影响,因此转移概率矩阵是经常发生变动的， 我们可根据实际对转移概率矩阵进行修正，则计算更加精确。 （2）我们是在比较理想的情况下得出结果，事实上投资公司都具有一定的风险承受能力，可让投资公司提供该信息，再建立马克维兹均值方差模型。 参考文献1 杨桂元，李天胜，徐军编著 .数学模型应用实例.合肥：合肥工业大学出版社，20072 李红艳，范军晖等.运筹学.北京：清华大学出版社，20123 同济大学数学系编.工程数学:线性代数(第5版).上海：高等教育出版社，20074 百度文库.时间加权收益率. 2013.4.295 智库文档.第三章 证券投资组合理论-马克维兹的均值方差模 型.6 谭浩，赵羚，严哲峰.1998大学生数学建模优秀论文投资和风险问 题. 2013.4.30