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1、第四章向量组的线性相关性8举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组是线性相关的,则可由线性表示.(2)若有不全为0的数使成立,则线性相关, 亦线性相关.(3)若只有当全为0时,等式才能成立,则线性无关, 亦线性无关.(4)若线性相关, 亦线性相关,则有不全为0的数,使同时成立.解 (1) 设满足线性相关,但不能由线性表示.(2) 有不全为零的数使 原式可化为取其中为单位向量,则上式成立,而 ,均线性相关(3) 由 (仅当)线性无关取取为线性无关组满足以上条件,但不能说是线性无关的.(4) 与题设矛盾.10设,且向量组线性无关,证明向量组线性无关.证明 设则因向量组线性无关,故因为故方程组只有
2、零解则所以线性无关11求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1),;(2),.解(1)线性相关.由秩为2,一组最大线性无关组为.(2) 秩为2,最大线性无关组为.12利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(2) .(2) ，所以第1、2、3列构成一个最大无关组20求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)(3).解(1)所以原方程组等价于取得取得因此基础解系为(3)原方程组即为取得取得取得所以基础解系为26求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系：(1) (2)解(1)31设是非齐次线性方程组的一个解,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明:(1)线性无关(2) 线性无关。证明 (1)反证法,假设线性相关,则存在着不全为0的数使得下式成立: (1)其中,否则,线性相关,而与基础解系不是线性相关的产生矛盾。由于为特解，为基础解系，故得而由(1)式可得故，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得产生矛盾,假设不成立, 故线性无关.(2)反证法,假使线性相关.则存在着不全为零的数使得下式成立: （2）即1) 若,由于是线性无关的一组基础解2) 系,故,由(2)式得此时与假设矛盾.3) 若由题(1)知, 线性无关,故与假设矛盾,综上,假设不成立,原命题得证.(2) 7