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1、学 分 析 试 题 库 -证 明题精品资料数学分析题库(1-22章)五.证明题1 .设A, B为R中的非空数集，且满足下述条件:(1)对任何a A, b B有a b;对任何 0,存在X A, y B,使得Y x证明：supA inf B.2 .设A, B是非空数集，记S A(1)supS max sup A,sup B ;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5inf S min inf A, inf3.按N定义证明_ 2_5n2 n 2lim丁n 3n2 24.如何用e-N方法给出lim a na的正面陈述？并验证|n2|和| ( 1)n|是发散数列.5 .用 方法验证:2X x 2l
2、im2x 1 x(x2 3x 2)3.6 . 用 M方法验证:X lim X X2 1 X7 .设 lim (x) a ,在 X。某邻域 U (x0; 1)内(x) X Xo又lim f(t) A.证明 t alim f( (x) A.X X08 .设f (X)在点Xo的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列Xn ,(1) Xn U (Xo) , XnXo ,(2) 0Xn 1 XoXnX0,都有 lim f (Xn) A , n则 limf(x) A. x x09. 证明函数x3, x为有理数, f (x)0, x为无理数在x0 0处连续，但是在x0 0处不连续.10 .设f(x)在
3、(0, 1)内有定义，且函数exf (x)与e f(x)在(0, 1)内是递增的，试证f (x)在(0, 1)内连续.11 .试证函数y sin x2 ,在0,)上是不一致连续的.12 . 设函数 f(x)在(a,b )内连续，且 lim f(x)=lim f (x) =0,证明 f(x)在 x ax b(a,b)内有最大值或最小值.13 .证明：若在有限区间(a,b)内单调有界函数f(x)是连续的，则此函数在 (a,b)内是一致连续的.14 .证明：若f (x)在点a处可导，f (x)在点a处可导.15 .设函数f(x)在(a,b)内可导，在a,b上连续，且导函数f (x)严格递增，若f (
4、a) f(b)证明，对一切x (a,b)均有f(x) f(a) f (b)16 .设函数f(x)在a,:内可导，并且f(a)c0则存在唯一的(a,)使得f() 0 ,又若把条件f (x)c减弱为f /(x) 0(a x 0,对任何x, x,成立f (x ) f (x) L x x .28 .设 f(x)在a, (a 0)上满足 Lipschitz 条件：| f(x) f(y)| k |x y|,证明工区在a,上一致连续.x29 .试证明方程xn xn 1 x 1在区间(1,1)内有唯一实根。 230 .设函数f(x)在点a具有连续的二阶导数，试证明：lim f(a h) f(a h) 2f f
5、,(a) h 0h231 .设f(x)在(a, b)上可导，且lim f(x) lim f(x) A.x a 0x b 0求证：存在 (a, b),使f ( ) 0.32 .设f(x)在a, b上连续，在(a, b)内有n阶导数，且存在n 1个点Xi,X2, xn 1 (a, b)满足：(1) a x1x2 xn 1b(2) f(a)f(xjf(x2) f(xm)f(b)求证：存在 (a, b),使f(n)( ) 0.33 .设函数f在点Xo存在左右导数，试证f在点Xo连续.34 .设函数f在a, b上可导，证明：存在 (a, b),使得2f(b) f(a) (b2 a2)f().35 .应用
6、拉格朗日中值定理证明下列不等式：b a , b b a ln-，其中 0 a b.b a a36 .证明：任何有限数集都没有聚点.37 .设an,bn是一个严格开区间套，即满足ai a2 an bn b2 b,且呵bn an0 .证明：存在唯一的一点，使得anbn, n 12Hl.38 .设Xn为单调数列.证明：若Xn存在聚点，则必是唯一的，且为Xn的确界.39 .若函数f (x)在闭区间a,b上连续，证明f (x)在a,b上一致连续.40 .若函数f (x)在闭区间a,b上连续，证明f (x)在a,b上有界.41 .若函数f (x)在闭区间a,b上连续，证明f (x)在a,b上有最大值.42
7、 .若函数f (x)在闭区间a,b上连续且单调增加F(x)f(t)dt,f(a),x (a,b,x a,证明F(x)为a,b上的增函数.43 .函数 f (x)在闭区间0,1上连续.证明 2 f (sin x)dx 2 f (cosx)dx . 0044 .若函数f (x)在闭区间a,b上单调，证明f (x)在a,b上可积.、.,b245 .若函数f (x)在闭区间a,b上连续，且f (x)不包等于零，证明 f (x) dx 0.a46 .设函数”刈为(，)上以p为周期的连续周期函数.证明对任何实数a,恒f (x)dxf(x)dx.精品资料47 .若函数f(x)在0,)上连续，且严f3 A，证
8、明Jim：出A.48 .若函数f (x)和g(x)在a,b上可积，证明f(x)g(x)dxb2b2f(x) dx g(x) dx aaaa49 .右函数f(x)在 a, a上可积，且为偶函数，证明f(x)dx 2 f(x)dx.a0x50 .若函数f(x)在a,b上可积，证明函数(x) f(t)dt, x a,b在a,b上连 a续.51 .若函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a) f(b).若 为介于f(a)与f(b)之 问的任何实数，则存在x0 a,b,使得f (x0)f(t)dt, x a,b在a,b上处52 .若函数f(x)在a,b上连续，证明函数(x) 处可导，且,、 d x(x
9、) f(t)dt f (x), x a,b.dx a53.若数列bn有lim bn n，则级数bn1 bn发散.n 154.设Un为正项级数，且存在常数qn 1(0,1),使得对一切n 1,成立十明级数 Un收敛. n 155 .设 Un和Vn为正项级数，且对一切n 1,成立uK .级数Vn收敛.n 1n 1Unvnn 1证明级数Un也收敛.n 156 .设正项级数Un收敛.证明级数U2也收敛.试问反之是否成立？n 1n 157 .设为0,n 1,2,|,且nan有界，证明级数a2收敛.58.设级数 a2 n 159.若 lim % nbn收敛.证明级数包(an 0)也收敛.n 1 n0 ,且
10、级数bn绝对收敛，证明级数an也收敛.若上述条件中只知道级数bn收敛，能推得级数an也收敛吗？n 1n 1n 1仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢1160 .设为 0,证明级数 %川收敛.n 1 1 a1 1 a21 an).x61 . Sn(x) ) .证明在(1 n x62 .设数列an单调收敛于零.试证明：级数an cosnx在区间(0)上一致收敛.63 .几何级数xn在区间a, a (0 a 1)上一致收敛；但在n 0(1,1)内非一致收敛.64 .设数列an单调收敛于零.证明：级数an cosnx在区间,2(0)上一致收敛.65.证明级数(Dn1-尸在R内一致收敛.,n66
11、 .证明函数f(x)2nxn “、2满足微分方程0 n!y y 2y 0, x R.sin x67 .设 f (x)x1,，证明对0.f(0)存在并求其值.68 .证明：幕级数n x 一的和函数为nln(1 x), x 1,1).并求级数2n 1(1)n 1 -n和Leibniz 级数 的和.n 1 3 nn 1 n69 .证明：幕级数 nxn的和函数为 nxn n 1n 1X(1 x)2|X| 1.并利用该幕级数的和函数求幕级数2n 1的和函数以及数项级数 n 1370 .证明幕级数n 2n 1(1) X0 2n 1的和函数为arctgx ,并利用该幕级数的和函数求数项级数 3_的和. n
12、0 2n 171 .设f(x)是以2为周期的分段连续函数，又 f(x)满足 f(x ) f(x).求证 f(x)的 Fourier 系数满足 a。0,a2n b2n0, n 1,2,.72 .设f(x)是以2为周期的分段连续函数，又设 f(x)是偶函数，且满足 f x f x .求证：f (x)的 Fourier 系数 a2n 1 0, n 1,2,.73 .求证函数系sin x, sin 2x, ,sin nx是0,上的正交函数系.74.设f(x)是以2L为周期的连续的偶函数。又设证：f(x)的傅立叶系数:a2n 1LL f (x)cos(2nx1) d xL75.设f(x)是以2为周期的可
13、微周期函数，又设f(X)关于x1对称，试 20, n 1,2,3,.f (x)连续，a0,an ,bn(n 1,2,)是 f (x)的 Fourier 系数.求证:lim an0, lim bn0nn76 .证明极限lim 二不存在。(x,y) (0.0) x y77 .用极限定义证明：lim x y 0.(x,y) (0,0)22x y2278 .证明极限lim 2 2x y不存在.(x,y)(0,0)x2y2 (x y)2y R, F(x, y)在(x0,y)连79 .设 F(x,y) f(x), f(x)在 x0 连续，证明：对80 .证明：如果f(x,y)在P0(x0,y)连续，且f(
14、x0,y0) 0,则对任意 rf(x0,y),(P0；),对一切 P(x,y)(P0；)，有 f(x,y) r.81 .证明：f (x, y) x2 y2在点(0,0)处连续且偏导数不存在82 .证明；ysin?f(x,y) x0在(0,0)点连续，且fx(0,0) 0, fy(0,0)0不存在.83 .证明f(x,y)221(x y )sin20在 点(0,0)处连续且偏导数存在.84 .设 函数f(x,y)在(x0,y。)的某邻域内存在偏导数，若(x,y)属于该邻域，则存在x01(x x0)和 y 2(y y0),f (x, y) f(x0,y0)fx( , y)(x x)0 i fy(x
15、0,1,0)(y21,使得y。) 085.证明:f (x,y)xyx2-y2在点(0,0)不可微.86.证明：对任意常数，球面x2与锥面y2 tan2z2是正交的.87.证明：以为参数的曲线族(a b)是相互正交的(当相交时).88.证明：由方程zy x (z)所确定的隐函数z z(x, y)满足其中二阶可导.2 z2 x2 z(z), y89.设 F(a) ln 122acosx adx,证明F(a)0,若aln a2,0,1.精品资料90 .证明含参量反常积分sin xy ,dy0 y上一致收敛其中0，但在0,+内不一致收敛。仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢1391 .证明含参
16、量a的反常积分ax e0cosx ,-p dx, a xp0, p 0为常数是一致收敛的.92 .证明含参量p的反常积分一一 2sin x , dx,0 1 xP是一致收敛的.93.若 f (x)在(0,）内可积，证明lim e ax f (x)dx0 f(x)dx.94.证明(2xcosy2y cosx)dx (2ysinxx2 sin y ）dy在整个XY平面上是某个函数的全微分，并找出这样一个原函数.95.设一力场为 F ( 3x2 y 8xy2 )i +(x38x2 y 12yey ） j .证明质点在此力场内动时，场力所作的功与路径无关.96.证明ij ydx zdy xdz 由a2
17、,其中L是球面x2 y2 z2 a2与平面x y z 0的交线（它是圆周），从X轴的正向看去，此圆周呈逆时针方向._一， O.97 .证明iJl 3zdx 5xdy 2ydz 2 ,其中L是圆柱面x y 1与平面z y 3的交线（它是椭圆）,从X轴的正向看去，此椭圆周呈逆时针方向.98 .证明(y z)dx (z x)dy (x y)dz= 2a(h a)，其中 L 是圆柱面x2 y2 a2与平面二-1(a 0, h 0)的交线(它是椭圆)，从X轴的正向看 a h去，此椭圆周呈逆时针方向.99 .证明：若f(x,y)为有界闭区域D上的非负连续函数，且在 D上不包为零，则f(x,y)d 0.D1
18、00 .证明二重积分f (xy)dxdy =ln2 1f(x)dx,其中 D ( x, y) |1 4, 1 xy 2.D1x101 .设f x是a,b上的正值连续，D D 0 x a,0 y a,则f x2dxdy b a .D f y102 .设f x, y在y a,x b, y x a b所围区域D上连续，则 b xb bdx f x, y dy dy f x, y dx . a aa y103 .证明 x2 y2 z2 dxdydz 1 2 亚 R5,其中 V 由 z2 x2 y v5x2 y2 z2 R2 z 0所围成的有界闭区域.104 .证明 (x y z)dSa3 ,其中是左半球面x2y2 z2 a2, y 0。105 .证明 (x2 y2)dS=(J5 1),其中 是区域 2(x, y,z) | vx2 y2 z 1的边界.106 .证明 (xy yz zx)dSa4, 是锥面 z Jx2 y2 被柱面15x2 y2 2ax所截部分.107 .证明 (x y)dydz (y z)dzdx (z x)dxdy 24h3,其中 是中心在原点边长为2h的立方体h,h h, h h ,h 的边界.2x2108 .证明 yzdzdx=-abc ,其中 是椭球面 不3a22 y b22二1的上半部分，c积分沿外侧.