《考研数二真题及解析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研数二真题及解析.doc（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设 y ln(1 3 x),则 dy2(2) 曲线y e x的上凸区间是秒到t2一秒内质点所经过In x 可dx x 质点以速度t sin(t2)米每秒作直线运动，则从时刻t1的路程等于米(5)1 ex lim y x 0x ex二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给岀的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)若曲线y x2 ax b和2y 1 xy3在点(1, 1)处相切，其中a,b是常数，则()1 2X XO 12X-,31 2X XO
2、2X- 23X-32X7 - 6(C) F(x)3x,0 x 1322xx2x ,1x232(D)F(x)3x,0 x 1322x x,1 x 22(3)设函数f (x)在()内有定义，x00是函数f (x)的极大点,则(A) a0,b2(B)a 1,b3(C) a3,b1(D)a 1,b1X2, 0X 1,-X设函数f(x)1 记 F(x)f (t)dt,0 x 2 ,则()2X,1x 2,0(C)x0必是f (x)的极小点(D)对一切X都有f(X)f (Xo)x2(4)1 e 曲线y 丄二1 e x(5)(A)没有渐近线(C)仅有铅直渐近线(B)(D)仅有水平渐近线既有水平渐近线又有铅直渐
3、近线如图，X轴上有一线密度为常数，长度为l的细杆，有一质量为 m的质点到杆右端的距离为a,已知引力系数为 k,则质点和细杆之间引力的大小为三、(A)(C) 20 km ,2 dx l(a x)0 km1 2 dx2 (a x)(B)(D)(每小题5分,满分25分.)l km ,2 dx0(a x)0 (a x)(1)tcost 求 d2y2tsint dx(2)计算dx41 X(1 X)求3)x sin x2 xX (e 1)2求 xsin xdx.(5)求微分方程xy y xex满足y(1) 1的特解.四、(本题满分9分)利用导数证明：当 x 1时，有不等式ln(1 X)上 成立.In x
4、1 x五、(本题满分9分)求微分方程y y x cosx的通解.六、(本题满分9分)曲线y (x 1)(x2)和x轴围成一平面图形，求此平面图形绕 y轴旋转一周所成的旋转体的体积.七、(本题满分9分)如图，A和D分别是曲线y ex和y e 2x上的点，AB和DC均垂直x轴，且AB : DC 2:1 , AB 1,求点B和C的横坐标，使梯形ABCD的面积最大.八、(本题满分9分)设函数 f (x)在(,)内满足 f(x) f(x ) sinx,且 f (x) x,x 0,),3计算 f (x)dx.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析、填空题(1)【答案】(每小题3分,满分In3
5、dx3x 115分.把答案填在题中横线上.)【解析】由复合函数求导法则(f (x)的微分为dy (f (x) f (x)dx,有dydr3xln3 ( 1)dxln3 dx.13x【答案】【解析】求函数 y f(x)的凹凸区间,只需求岀y ,若0 ,则函数图形为上凹，若0,则函数图形为上凸,由题可知2ex* 2x2x2x22(2x)e ( 2x) 4e x (x22因为4e x20,所以当x0时y 0,函数图像上凸12,函数图像上凸.故曲线上凸区间为blimInb ln1blimIn b1.1【答案】丄2【解析】这是定积分的应用设在tt dt时刻的速度为2tsin(t ),则在dt时间内的路程
6、为ds2tsin(t )dt,所以从时刻t|秒到t2秒内质点所经过的路程为(5)【答案】1cos(t2)一/21 1 (cos cos)(2 2 2【解析】这是一个型未定式，分子分母同乘以为简化计算limx 0二、选择题(1)【答案】【解析】3分,满分(每小题(D)两函数在某点处相切对两函数分别对X求导，得y 2xa,则该曲线在点c32y yc 23xy两导数相等，有2 a1,即a又因为曲线y x211limtx 0丄x ex1-,原式可化为t1e 11xe 15 分.)limxet e t 旦1t1.,则在该点处的切线的斜率相等,即在该点处的导数相等(1, 1)处的导数为y3y2 ,则曲线在
7、点2 3xy21.a,(1,1)处的导数为(1)32 3 1(1)2ax b过点(1, 1),所以有 1b,b 1.所以选项(D)正确.【答案】(B)【解析】这是分段函数求定积分当 0 x 1 时，f(x)2X ,所以F (x)Xt2dt01t3当 1 x 2时，f(x)2 x,所以2x r2.3x,0 x 13所以F(x) 3,应选(B).7x2-2x ,1 x 262【答案】(B)【解析】方法一：用排除法.由于不可导点也可取极值，如f(x) x 1 ,在xo 1处取极大值，但是x0 1不是f(x) x 1的驻点，所以(A)不正确；注意到极值的局部性，即极值不是最值，所以(D)也不正确；对于
8、f(X) |x 1|,在xo 1处取极大值，但 xo1并非是 f(X)|x 1|的极小值点,所以(C)也不成立；故选(B).方法二：证明(B)是正确的，因为X。 0,不妨设X。 0,则f(X。)为极大值，则在X。的某个领域内有 f (Xo) f (Xox)；函数y f ( x)与函数yf(x)关于原点对称，所以必有f ( Xo)f( XoX),即在Xo的某个领域内f( Xo)为极小值，故(B)是正确的.【答案】(D)【解析】函数的定义域为X 0,所以函数的间断点为 Xo,X21 elim2x 01 exX2e 1lim x,所以x 0ex21x o为铅直渐近线，lim yXlimXX21 eX
9、21 eX2e 1limX21,所以y1为水平渐近线.xex1所以选(D).【相关知识点】 铅直渐近线:如函数f (x)在其间断点x xo处有lim f (x)X X),则 xXo是函数的一条铅直渐近线;水平渐近线：当lim f (x)Xa,(a为常数)，则y a为函数的水平渐近线(5)【答案】(A)【解析】如图建立坐标系,则x x dx中，dx长度的细杆的质量为dx,与质点的距离为dxo kna X,故两点间的引力为dF R,积分得F l厂严，故选(A).同理应用微元法可知，若以I的中点为原点，则质点的坐标为(a 1,0)故2km(al_2dx ；x)2若以|的左端点为原点，则质点的坐标为(
10、al,0),故 Fl km0 (a l2 dx.x)2故(B)、(C)、(D)均不正确，应选(A).三、(每小题5分,满分25分.)解析】这是个函数的参数方程dy/dtdx/dt(1)dydxsint tcostcost tsintt23(cost tsint)【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法:如果 xydydx (t)【解析】用换元法求定积分令t x 则 x t2,dx2tdt ,则2(ln当x 0时，有sin x :x Ax,e : 1x,所以x sin xx2(ex 1)x sin xxm x3洛 lim1x 0cosx3x2m叫IK2.lnt【解析】利用等价无穷小和洛必达法则(
11、4)【解析】用分部积分法求不定积分(5)1x2 1xsin2x441cos2x8【解析】所给方程是一阶线性方程,其标准形式为ex.通解为丄(xdexxC) l(xexxexdx C)-(xexxex C).【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程p(x)y q(x)的通解为P(x)dxp(x)dxy e ( q(x)e dx C),其中C为常数.四、(本题满分9分)【解析】首先应简化不等式，从中发现规律.当 x 1 时,原不等式即(1 x)l n(1 x) xl nx,即(1 x)l n(1 x) xlnx 0.证法一：令 f(x) (1 x)ln(1x) xl nx,则只需证明在 x 1时f(x
12、) 0即可,可利用函数的单调性证明，对于f (x)有X 1 f (x) ln(1 x) 1 l n X 1 ln( ).xx 1因x 1 ,故1,即f (x)0,所以在(1,)上f (x)是严格递增函数，所以xf (x)f(1) 2l n2 0,故(1 x)l n(1 x) xlnx 0,所以当x 1时,有不等式x)成立.ln x 1 x证法二：当x 1时,原不等式即(1 x)ln(1x) xln x,不等式左右两端形式一致,故令f (x) x ln x ,则 f (x) ln x 10(x1),所以 f (x)xln x在x 1时严格单调递增，故f(x 1) f (x)，即(1 x)ln(1
13、x) xln x.所以当x 1时,有不等式ln(1 x) 丄成立.ln x 1 x由叠加原理，原方程必有特解 Y %0,B 1 .2x .x sinx.21 .x xsinx.2五、(本题满分9分)特征根为Fl,2i,故对应齐次通解为C1 cosx C2Sinx.方程yyx必有特解为yax b，代入方程可得a1,b0.方程yycos x的右端e %cos x cosx,ii为特征根,必有特解【解析】微分方程 y y X cosx对应的齐次方程 y y 0的特征方程为r210,x Bsinx,代入方程可得 AY2 x Acosx所以原方程的通解为 y G cosx C2 sinx【相关知识点】如
14、果f(x) Pm(x)ex,则二阶常系数非齐次线性微分方程y p(x)y q(x)y f(x)具” _*kx有形如y x Qm(x)e的特解，其中Qm(x)与Pm(x)同次(m次)的多项式，而k按 不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.如果f (x) e X R(x)cos x Pn(x)sin x,则二阶常系数非齐次线性微分方程y p(x) y q(x) y f (x)的特解可设为y*xke X R1)(x)cos x R2) (x)sin x,其中R,m1)(x)与R2)(x)是m次多项式，m maxi, n ,而k按 i (或 i )不是特征方程的根、或
15、是特征方程的单根依次取为0或1.六、(本题满分9分)【解析】利用定积分求旋转体的体积，用微元法，曲线为一抛物线，与x轴的交点是x1 1,一 31x2 2,顶点坐标为(3，).方法一：考虑对x积分,如图中阴影部分绕 y轴旋转一周环柱体的体积为其中dx2为dx0的高阶无穷小，故可省略，且y为负的,故|y y,即 dV 2 xydx 2 x(x 1)(x 2)dx.把x从12积分得2314212 x -x x 2(0).4142方法二：考虑对y的积分，如图中阴影部分绕 y轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别绕y轴旋转一周后的体积差，即其中，x1, x2为Yy与抛物线的交点，且x2x1,把丫y代入抛物
16、线方程y (x 1)(x 2),解得3.1 4y2,X231 4y2故旋转体体积为V01_4(X；x； )dy .把x-i, x2的值代入化简，得01342(1 4y)2七、(本题满分9分)【解析】可以利用函数的极值求解设B、C的横坐标分别为x1, x ,因为| AB | 1 ,所以为0, x0.依题设AB : DC2:1 ,所以有exi2x2e,两边同时取自然对数In 2 2x,BC x x1 x(In 2 2x) 3xIn 2,( x0)，所以梯形ABCD的面积为|（3xe2x)(3xIn 2) 1(2e2xe 2x)(3xIn 2)3(3x In 2)e2x求函数SIn 2)e2x,(x
17、 0）的最值，满足一般函数求最值的规律，两边对x求导，并令3S 於3 6x 2In 2)e2x0,得驻点x1In 2,在此点31x -2S由正变负，所以x -2n2是极大值点.31-I n231 11此时xIn 2 , x.In 2 1时,梯形ABCD面积最大，2 33一 1故B点的坐标为（一In 21,0）, C点的坐标为3八、（本题满分9分）又驻点唯一，故0是S |(3x In 2)e 2x最大值点.2x|n 2,0).3f(x:)f(x)sin(x )x sin x,x 0,f(x:2 )f(x:)sin (x2 ) xsin x323而f(x)dxf(x)dx 2f(x)dx ,对于2f(x：)dx,令 tx,则x t,dx dt,所以2f(x)dx0f(t )dt0 (t sin t)dt；对于32 f(x：)dx,令 tx2,则 x t2 , dxdt,所以32f(x)dx0f (t 2 )dttdt;0323所以f(x)dxf(x)dx 2f(x)dxt20cost 02 2 .），sin x x, x 0,),【解析】这是个抽象函数求定积分，由题知【答案】【解析】用极限法求广义积分