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1、2016-2017届湖南省长沙市炎德英才大联考高三（上）月考数学试卷（理科）（3）（解析版）2016-2017学年湖南省长沙市炎德英才大联考高三(上)月考数学试卷(理科)(3) 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分(在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的( 1(5分)已知i是虚数单位，且集合，则集合M的非空子集的个数为( ) A(16 B(15 C(8 D(7 2(5分)已知等比数列a中，各项都是正数，且a，2a成等差数列，则=n12( ) A(1+ B(1, C(3+2 D(3,2 3(5分)已知命题p:?x?(,?，0)，3,4;命题q:?x?(0，)，tanx,x，0则
2、下列命题中真命题是( ) A(p?q B(p?(，q) C(p?(，q) D(，P)?q 224(5分)若，则2sin,cos=( ) A( B( C( D( +5(5分)已知a，b?R，且直线ax+by,6=0与直线2x+(b,3)y+5=0互相平行，则2a+3b的最小值为( ) A(12 B(25 C( D( 6(5分)对于常数k定义f(x)=，若f(x)=x,lnx，则f(f(e)=( ) k32A(3 B(e+1 C(e D(e,1 7(5分)已知椭圆C:的左、右焦点分别为F，F，椭圆C上点A满足AF?FF(若12212点P是椭圆C上的动点，则的最大值为( ) A( B( C( D(
3、8(5分)已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为l的正方形，如图所示，则该几何体的体积为( ) A( B( C( D( 229(5分)已知圆C:(x,3)+(y,4)=1和两点A(,m，0)、B(m，0)(m,0)，若圆C上存在点P，使得?APB=90?，则m的取值范围是( ) A(3，7 B(4，6 C(3，6 D(4，7 10(5分)已知实数x，y满足约束条件，若z=x+ay的最大值为2，则的最小值为( ) A( B( C( D(6 11(5分)在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b，若?ABC的面积为S=c，则ab的最小值为( ) A( B( C(
4、D(3 212(5分)已知函数f(x)=，若关于x的方程f(x),bf(x)+c=0(b，c?R)有8个不同的实数根，则b+c的取值范围为( ) A(,?，3) B(0，3 C(0，3 D(0，3) 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 13(5分)在?ABC中，N是AC边上一点，且，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 ( 14(5分)设函数y=f(x)在其图象上任意一点(x，y)处的切线方程为y,y=(3,6x)0000(x,x)，且f(3)=0，则不等式?0的解集为 ( 015(5分)已知双曲线C:的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物2线
5、E:y=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l:4x,3y+6=01和l:x=,1的距离之和的最小值为 ( 216(5分)用g(n)表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如:9的因数有1，3，9，则g(9)=9，;10的因数有1，2，5，10，g(10)=5;那么g(1)+g(2)+g(3)+g2016(2,1)= ( 三、解答题:本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 217(12分)若函数f(x)=sinax,sinaxcosax,(a,0)的图象与直线y=b相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列( (?)求a，b的值; (?)
6、若x?0，且x是y=f(x)的零点，试写出函数y=f(x)在x，x+上的单0000调增区间( *18(12分)已知n?N，数列d满足，数列a满足a=d+d+d+d;又nnn1232n*在数列b中b=2，且对?m，n?N，( n1( I)求数列a和b的通项公式; nn( II)将数列b中的第a项、第a项、第a项、第a项删去后，剩余的项按从小到大n123n的顺序排列成新的数列c，求数列c的前2016项的和T( nn201619(12分)如图，在四棱锥P,ABCD中，PA?平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB?AD，BC?AD且BC=4，点M为PC中点，点E为BC边上的动点，且
7、=( (1)求证:平面ADM?平面PBC; (2)是否存在实数，使得二面角P,DE,B的余弦值为，若存在，试求实数的值;若不存在，说明理由( 20(12分)如图，曲线由曲线C:和曲线C:12组成，其中点F，F为曲线C所在圆锥曲线的焦点，点F，F为曲线C所在圆锥曲线的焦点， 121342(1)若F(2，0)，F(,6，0)，求曲线的方程; 23(2)如图，作直线l平行于曲线C的渐近线，交曲线C于点A、B，求证:弦AB的中点M21必在曲线C的另一条渐近线上; 2(3)对于(1)中的曲线，若直线l过点F交曲线C于点C、D，求?CDF面积的最大值( 1411x21(12分)设函数g(x)=e，f(x)
8、=gx+(1,)a,g(x)，其中a，为常数，且0,1 (I)求函数f(x)的极值; +，?x?R，使得不等式|,a成立; (II)证明:对?a?R+12(III)设，?R，且+=1，证明:对?a，a?R，都有aa?a+a( 121212121122选修4-4:坐标系与参数方程 22(10分)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，以x轴的正1半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为( 2( I)求曲线C的直角坐标系方程; 2( II)设M是曲线C上的点，M是曲线C上的点，求|MM|的最小值( 112212选修4-5:不等式选讲 23(已知a，b，c为非零实数( 222222(
9、 I)若存在实数n，p，q满足:a+b+c=n+p+q=2，求证:?2; 2( II)设函数f(x)=ax+bx+c，若x?,1，0，1时，|f(x)|?1，求证:x?,1，1时，|ax+b|?2( 2016-2017学年湖南省长沙市炎德英才大联考高三(上)月考数学试卷(理科)(3) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分(在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的( 1(5分)(2016秋长沙月考)已知i是虚数单位，且集合，则集合M的非空子集的个数为( ) A(16 B(15 C(8 D(7 【分析】求出集合M的元素，从而求出M的非空子集的个数即可( 【解答】
10、解:由=i， 得M=i，,1，,i，1， 4故M的非空子集的个数是2,1=15个， 故选:B( 【点评】本题考查了复数的运算，考查集合的非空子集的个数，是一道基础题( 2(5分)(2010湖北)已知等比数列a中，各项都是正数，且a，2a成等差数列，n12则=( ) A(1+ B(1, C(3+2 D(3,2 2【分析】先根据等差中项的性质可知得2()=a+2a，进而利用通项公式表示出q=1+2q，12求得q，代入中即可求得答案( 【解答】解:依题意可得2()=a+2a， 122即，a=a+2a，整理得q=1+2q， 312求得q=1?， ?各项都是正数 ?q,0，q=1+ ?=3+2 故选C
11、【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质(考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解( 3(5分)(2015郴州二模)已知命题p:?x?(,?，0)，3,4;命题q:?x?0(0，)，tanx,x，则下列命题中真命题是( ) A(p?q B(p?(，q) C(p?(，q) D(，P)?q 【分析】复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断( 【解答】解:命题p:?x?(,?，0)，3,4为假命题，则，p为真命题， 0命题q:?x?(0，)，tanx,x，为真命题，则，q为假命题， 根据复合命题真假判定， (，p)?q是真命题，故D正确 p?q
12、，p?(，q)、p?(，q)是假命题，故A、B、C错误 故选:D( 【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断( 224(5分)(2016秋长沙月考)若，则2sin,cos=( ) A( B( C( D( 【分析】由已知利用两角和的正切函数公式，特殊角的三角函数值可求tan，进而利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解( 【解答】解:?， ?=,3，解得:tan=2， 22?2sin,cos=( 故选:D( 【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，
13、考查了转化思想，属于基础题( +5(5分)(2016秋长沙月考)已知a，b?R，且直线ax+by,6=0与直线2x+(b,3)y+5=0互相平行，则2a+3b的最小值为( ) A(12 B(25 C( D( 【分析】由两直线平行的条件得到=1，由2a+3b=(2a+3b)()展开后利用基本不等式求得最值( 【解答】解:?直线ax+by,6=0与直线2x+(b,3)y+5=0互相平行， ?a(b,3),2b=0且5a+12?0， ?3a+2b=ab，即=1， 又a，b均为正数， 则2a+3b=(2a+3b)()=4+9+?13+12=25( 当且仅当a=b=5时上式等号成立( 故选:B( 【点评
14、】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，训练了利用基本不等式求最值，是基础题( 6(5分)(2016秋长沙月考)对于常数k定义f(x)=，若f(x)=x,lnx，k则f(f(e)=( ) 32A(3 B(e+1 C(e D(e,1 【分析】利用分段函数的解析式，对所求的表达式由里及外逐步求解即可( 【解答】解:f(x)=x,lnx，f(e)=e,lne=e,1,k=2， ?f(e)=2， 2又?f(2)=2,ln2,k=3， ?f(f(e)=f(2)=3( 323故选:A( 【点评】本题考查分段函数的应用，函数的值的求法，考查计算能力( 7(5分)(2013秋海淀区期末)已知椭圆C:的左
15、、右焦点分别为F，F，椭圆12C上点A满足AF?FF(若点P是椭圆C上的动点，则的最大值为( ) 212A( B( C( D( 【分析】由已知可得点A，F，F的坐标，再利用数量积运算法则和点P的纵坐标的取值范围12即可得出最大值( 22【解答】解:如图所示，由椭圆C:可得:a=4，b=3，=1(?F(,1，10)，F(1，0)( 2?FF，?( ?AF212设P(x，y)，则(又， ?=( ?的最大值为( 故选:B( 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算等基础知识与基本技能方法，属于基础题( 8(5分)(2016洛阳四模)已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为l的正方形，如图
16、所示，则该几何体的体积为( ) A( B( C( D( 【分析】判断几何体是正方体削去一个角，先计算被消去的三棱锥体积，再求几何体的体积即可( 【解答】解:该几何体是正方体削去一个角，体积为1,=1,=( 故选:D( 【点评】本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键( 229(5分)(2016歙县校级模拟)已知圆C:(x,3)+(y,4)=1和两点A(,m，0)、B(m，0)(m,0)，若圆C上存在点P，使得?APB=90?，则m的取值范围是( ) A(3，7 B(4，6 C(3，6 D(4，7 【分析】根据圆心C到O(0，0)的距离为5，可得圆C上的点
17、到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由?APB=90?，可得PO=AB=m，从而得到答案( 22【解答】解:圆C:(x,3)+(y,4)=1的圆心C(3，4)，半径为1， ?圆心C到O(0，0)的距离为5， ?圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4， 再由?APB=90?，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m， 故有4?m?6， 故选:B( 【点评】本题考查实数值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用( 10(5分)(2016秋长沙月考)已知实数x，y满足约束条件，若z=x+ay的最大值为2，则的最小值为( ) A( B( C( D(6 【
18、分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值求出a，然后利用基本不等式求解表达式的最值( 【解答】解:实数x，y满足约束条件的可行域如图:z=x+ay的最大值为2， 可知y=，由，解得A(，)，由解得B(0，a); 2当a?1时，直线y=过B，纵截距最大，此时z的最大值为:a=2(?a=( 2当0,a,1时，直线y=过A，纵截距最大，此时z的最大值为:,a=2( ?a=?(0，1)舍去( 综上a=，于是由m，可得m,=m,?2=( 故选:C( 【点评】本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=x+ay的最大值为2的情况下求的最小值(着重考查了简单的性质规划、利用基本不等式求最值等知识，属于中档
19、题( 11(5分)(2016漳州二模)在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b，若?ABC的面积为S=c，则ab的最小值为( ) A( B( C( D(3 【分析】由正弦定理将2ccosB=2a+b，转化成2sinCcosB=2sin A+sinB，由三角形内角和定理，将sin A=sin(B+C)，利用两角和的正弦公式展开，化简求得， sinC的值，由余弦定理、三角形的面积公式及基本不等式关系，求得ab的最小值( 【解答】解:由正弦定理，有=2R，又2ccosB=2a+b，得 2sinCcosB=2sin A+sinB， 由A+B+C=，得sin A=sin
20、(B+C)， 则2sinCcosB=2sin(B+C)+sinB，即2sinBcosC+sinB=0， 又0,B,，sinB,0，得cosC=,， 因为0,C,，得C=， 则?ABC的面积为S=ab sinC=ab，即c=3ab， ?2222222由余弦定理，得c=a+b,2ab cosC，化简，得a+b+ab=9ab， 22?a+b?2ab，当仅当a=b时取等号， 22?2ab+ab?9ab，即ab?，故ab的最小值是( 故答案选:B( 【点评】本题考查正余弦定理、三角形内角和定理及基本不等式相结合，属于中档题( 212(5分)(2016河北区一模)已知函数f(x)=，若关于x的方程f(x)
21、,bf(x)+c=0(b，c?R)有8个不同的实数根，则b+c的取值范围为( ) A(,?，3) B(0，3 C(0，3 D(0，3) 2【分析】题中原方程f(x),bf(x)+c=0有8个不同实数解，即要求对应于f(x)=某个常数K，有2个不同的K，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解，故先根据题意作出f(x)的简图，由图可知，只有满足条件的K在开区间(0，1)时符合题意(再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案( 【解答】解:根据题意作出f(x)的简图: 2由图象可得当f(x)?(0，1时，有四个不同的x与f(x)对应(再结合题中“方程f(x),b
22、f(x)+c=0有8个不同实数解”， 2可以分解为形如关于k的方程k,bk+c=0有两个不同的实数根K、K，且K和K均为大于01212且小于等于1的实数( 列式如下:，化简得， 此不等式组表示的区域如图: 令z=b+c，则z=b+c在(2，1)处z=3，在(0，0)处z=0， 所以b+c的取值范围为(0，3)， 故选:D( 【点评】本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，同时考查线性规划等知识，较为综合;采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解( 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 13(5分)(2016秋长沙月考)在?ABC中，N
23、是AC边上一点，且，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 ( 【分析】根据向量的加减运算法则，通过，把用和表示出来，可得m的值( 【解答】解:如图:?， ?， 则， 又?B，P，N三点共线， ?， 故得m=( 故答案为:( 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用( 14(5分)(2016大庆校级三模)设函数y=f(x)在其图象上任意一点(x，y)处的切线00方程为y,y=(3,6x)(x,x)，且f(3)=0，则不等式?0的解集为 (,?，0)000?(0，1?(3，+?) ( 【分析】由函数y=f(x)在其图象上任意一点(x，y)处的切线方程
24、得到函数f(x)在(x，0002y)处的导数值，即，进一步得到函数的导函数f(x)=3x,6x，从而032求得原函数f(x)=x,3x+C(再由f(3)=0求出c的值，则函数f(x)的解析式可求，代入不等式?0求解分数不等式得答案( 【解答】解:?函数y=f(x)在其图象上任意一点(x，y)处的切线方程为y,y=(3,0006x)(x,x)， 00232?，则f(x)=3x,6x，f(x)=x,3x+C( 32又f(3)=0，得3,33+c=0，即C=0( 32?f(x)=x,3x， ?不等式?0?( 2即x(x,1)(x,3)?0 (x?0，3)， 解得:x,0或0,x?1或x,3( ?不等
25、式?0的解集为(,?，0)?(0，1?(3，+?)(, , , , 故答案为:(,?，0)?(0，1?(3，+?)( 【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，运用了逆推思想方法，考查了分式不等式的解法，是中档题( 15(5分)(2016秋长沙月考)已知双曲线C:的右顶点到其一条渐近线2的距离等于，抛物线E:y=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l:4x,3y+6=0和l:x=,1的距离之和的最小值为 2 ( 12【分析】求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算可得a，进而得到c，由抛物线的焦点坐标，可得p=2，进而得到抛物线的方程(连接MF，过
26、点M作MA?l于点A，1作MB?准线x=,1于点C(由抛物线的定义，得到d+d=MA+MF，再由平面几何知识可得当12M、A、F三点共线时，MA+MF有最小值，因此算出F到直线l的距离，即可得到所求距离的最小值( 【解答】解:双曲线C:的渐近线方程为y=?， 右顶点(a，0)到其一条渐近线的距离等于， 可得=， 解得a=， 即有c=1， 由题意可得=1，解得p=2， 2即有抛物线的方程为y=4x， 如图，过点M作MA?l于点A， 1作MB?准线l:x=,1于点C， 2连接MF，根据抛物线的定义得MA+MC=MA+MF， 设M到l的距离为d，M到直线l的距离为d， 1122?d+d=MA+MC=
27、MA+MF， 12根据平面几何知识，可得当M、A、F三点共线时，MA+MF有最小值( ?F(1，0)到直线l:4x,3y+6=0的距离为=2( 1?MA+MF的最小值是2， 由此可得所求距离和的最小值为2( 故答案为2( 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，同时考查抛物线的方程和性质，给出抛物线和直线l，求抛物线上一点到准线的距离与直线l距离之和的最小值，11着重考查了点到直线的距离公式、抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题( 16(5分)(2016秋潍坊月考)用g(n)表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如:9的因数有1，3，9，则g(9)=9，;10的
28、因数有1，2，5，10，g(10)=5;那么g(1)20162015+g(2)+g(3)+g(2,1)= 4, ( 【分析】据题中对g(n)的定义，判断出g(n)=g(2n)，且若n为奇数则g(n)=n，利用等差数列的前n项和公式及逐差累加的方法及等比数列的前n项和公式求出g(1)+g(2)2016+g(3)+g(2,1)( 【解答】解:由g(n)的定义知g(n)=g(2n)，且若n为奇数则g(n)=n 2016令f(2016)=g(1)+g(2)+g(3)+g(2,1) 2017则f(2017)=g(1)+g(2)+g(3)+g(2,1) 20172017=1+3+(2,1)+g(2)+g(
29、4)+g(2,2) 6=21+(2,1)+g(1)+g(2)+g(2,2)=4+f(2016) 2016即f(2017),f(2016)=4， 220162016分别取n为1，2，n并累加得f(2017),f(1)=4+4+4=(4,1)， 2016又f(1)=g(1)=1，所以f(2017)=(4,1)+1 201620152015所以f(2016)=g(1)+g(2)+g(3)+g(2,1)=(4,1)+1=4,( 2015故答案为4,( 【点评】本题考查等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式、逐差累加的方法，是中档题( 三、解答题:本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明
30、过程或演算步骤. 217(12分)(2015乌鲁木齐模拟)若函数f(x)=sinax,sinaxcosax,(a,0)的图象与直线y=b相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列( (?)求a，b的值; (?)若x?0，且x是y=f(x)的零点，试写出函数y=f(x)在x，x+上的单0000调增区间( 【分析】(?)由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f(x)=，根据题意b为f(x)的最大值或最小值，可求b，由已知求周期后，根据周期公式即可求得a( (?)由题意知，则可求，由得k的值，从而可分类讨论得解( 【解答】(本题满分为12分) 解:(?)= ?y=f(x)的图象与直线y=b相切，
31、 ?b为f(x)的最大值或最小值，即b=,1或b=1， ?切点横坐标依次成公差为的等差数列， ?f(x)的最小正周期为，即，a,0， ?a=2，即;(6分)(?)由题意知，则， ?，由得k=1或k=2， 因此或( 当时，y=f(x)的单调增区间为和， 当时，y=f(x)的单调增区间为(12分) 【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，等差数列的通项公式，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查( *18(12分)(2016秋长沙月考)已知n?N，数列d满足，数列a满足nn*a=d+d+d+d;又在数列b中b=2，且对?m，n?N，( n1232nn1( I)求数列a和b的通项公式; n
32、n( II)将数列b中的第a项、第a项、第a项、第a项删去后，剩余的项按从小到大n123n的顺序排列成新的数列c，求数列c的前2016项的和T( nn2016n【分析】(I)由，考虑n为奇数、偶数，即可得到a=3n:令m=1，可得b=2; nn(II)由题意可得新的数列c中的奇数项和偶数项分别构成首项b=2，b=4，公比均为8的n12等比数列，运用数列的求和方法:分组求和，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和( 【解答】解:(I)由， 可得a=d+d+d+d=3n， n1232nnn在中，令m=1可得b=b=2， n1nmnmnmn由b=2，可得b=2，b=2，恒成立; nnmn若b?2
33、，则当m=1时，不成立( nn故b=2; n(II)将数列b中的第a项、第a项、第a项、第a项删去后， n123n剩余的项按从小到大的顺序排列成新的数列c， n可得新的数列c中的奇数项和偶数项分别构成首项b=2，b=4，公比均为8的等比数列， n12则数列c的前2016项的和T=(c+c+c)+(c+c+c) n6=+=( 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查赋值法的运用以及恒成立思想，考查数列的求和方法:分组求和，考查运算能力，属于中档题( 19(12分)(2015长春二模)如图，在四棱锥P,ABCD中，PA?平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB?AD，BC?AD
34、且BC=4，点M为PC中点，点E为BC边上的动点，且=( (1)求证:平面ADM?平面PBC; (2)是否存在实数，使得二面角P,DE,B的余弦值为，若存在，试求实数的值;若不存在，说明理由( 【分析】(1)取PB中点N，连结MN、AN，由已知得四边形ADMN为平行四边形，由AP?AD，AB?AD，得AD?平面PAB，从而AN?MN，由AP=AB，得AN?PB，由此能证明平面ADM?平面PBC( (2)以A为原点，AB方向为x轴，AD方向为y轴，AP方向为z轴，建立空间直角坐标系A,xyz，求出平面PDE的法向量和平面DEB的法向量，利用向量法能求出=3或( 【解答】(本小题满分12分) 解:
35、(1)取PB中点N，连结MN、AN， ?M是PC中点，?， 又?BC?AD，?MN?AD，MN=AD， ?四边形ADMN为平行四边形， ?AP?AD，AB?AD，?AD?平面PAB， ?AD?AN，?AN?MN，?AP=AB，?AN?PB， ?AN?平面PBC， ?AN?平面ADM，?平面ADM?平面PBC(6分) (2)存在符合条件的( 以A为原点，AB方向为x轴，AD方向为y轴，AP方向为z轴， 建立空间直角坐标系A,xyz， 设E(2，t，0)，P(0，0，2)，D(0，2，0)，B(2，0，0) 从而， 则平面PDE的法向量为， 又平面DEB即为xAy平面，其法向量， 则， 解得t=3
36、或t=1，进而=3或(12分) 【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用(本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求( 20(12分)(2016汕头二模)如图，曲线由曲线C:和曲线1C:组成，其中点F，F为曲线C所在圆锥曲线的焦点，点F，F为曲线212134C所在圆锥曲线的焦点， 2(1)若F(2，0)，F(,6，0)，求曲线的方程; 23(2)如图，作直线l平行于曲线C的渐近线，交曲线C于点A、B，求证:弦AB的中点M21必在曲线C的另一条渐近线上; 2(3)对于(1)中的曲线，若直线l过点F交曲线C于点C、
37、D，求?CDF面积的最大值( 1411【分析】(1)由F(2，0)，F(,6，0)，可得，解出即可; 23(2)曲线C的渐近线为，如图，设点A(x，y)，B(x，y)，M(x，y)，设直2112200222线l:y=，与椭圆方程联立化为2x,2mx+(m,a)=0， 利用?,0，根与系数的关系、中点坐标公式，只要证明，即可( (3)由(1)知，曲线C:，点F(6，0)(设直线l的方程为x=ny+6(n14122,0)(与椭圆方程联立可得(5+4n)y+48ny+64=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出( 【解答】(1)解:?F(2，0)，F(,6，
38、0)， 23?， 解得， 则曲线的方程为和( (2)证明:曲线C的渐近线为， 2如图，设直线l:y=， 222则，化为2x,2mx+(m,a)=0， 222?=4m,8(m,a),0， 解得( 又由数形结合知( 设点A(x，y)，B(x，y)，M(x，y)， 112200则x+x=m，xx=， 1212?=，( ?，即点M在直线y=,上( (3)由(1)知，曲线C:，点F(6，0)( 14设直线l的方程为x=ny+6(n,0)( 122，化为(5+4n)y+48ny+64=0， 222?=(48n),464(5+4n),0，化为n,1( 设C(x，y)，D(x，y)， 3344?，( ?|y,
39、y|=， 34=， 22令t=,0，?n=t+1， ?=，当且仅当t=，即n=时等号成立( ?n=时，=( 【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题( x21(12分)(2016秋长沙月考)设函数g(x)=e，f(x)=gx+(1,)a,g(x)，其中a，为常数，且0,1 (I)求函数f(x)的极值; +(II)证明:对?a?R，?x?R，使得不等式|,a成立; +12(III)设，?R，且+=1，证明:对?a，a?R，都有aa?a+a( 12121
40、2121122【分析】(?)首先对函数求导并令导数等于0，解出x的值，研究单调性，求出最值( x(?)由 ,1=，当x,0时为正，可将原不等式化为e,(1+a)x,1,0，令gx(x)=e,(1+a)x,1，利用导数研究此函数的极值，从而得出存在正数x=ln(a+1)，使原不等式成立( (?)主要还是借助于指数运算的知识构造出能够利用(1)的结论，变成两个函数(值)间的大小比较，从而最终化为函数的单调性问题( 【解答】解:(?)?f(x)=gx+(1,)a,g(x)， 由f(x),0得，gx+(1,)a,g(x)， ?x+(1,)a,x，即(1,)(x,a),0，又因为0,1，所以x,a， 故
41、当x,a时，f(x),0;当x,a时，f(x),0;所以原函数在(,?，a)递增，在(a，+?)递减 a?当x=a时，f(x)取最大值f(a)=e( (?)证明:?|,1|=|， xx又当x,0时，令h(x)=e,x,1，则h(x)=e,1,0， 故h(x),h(0)=0， x因此原不等式化为 ,a，即e,(1+a)x,1,0， xx令g(x)=e,(1+a)x,1，则g(x)=e,(1+a)， x由g(x)=0得:e=(1+a)，解得x=ln(a+1)， 当0,x,ln(a+1)时，g(x),0;当x,ln(a+1)时，g(x),0( 故当x=ln(a+1)时，g(x)取最小值gln(a+1
42、)=a,(1+a)ln(a+1)， 令s(a)=,ln(1+a)，则s(a)=,=,0( 故s(a),s(0)=0，即gln(a+1)=a,(1+a)ln(a+1),0( 因此，存在正数x=ln(a+1)，使原不等式成立( x1x2(?)证明:对任意正数a，a，一定存在实数x，x使a=e，a=e， 121212121x12x2x1则aa=e e ，a+a=e+， 12112212+1x12x2xx原不等式 aa ?a+a?e ?e1+e2， 1122112212?g(x+x)?g(x)+g(x) 11221122由(1)f(x)?(1,)g(a) 故ga+(1,)a?g(x)+(1,)g(a)
43、 令x=x，a=x，=，1,= 1212从而g(x+x)?g(x)+g(x) 11221122+1x12x2xx故e ?e1+e2成立， 1212即对任意正数aa都有aa?a+a( 12121122原式得证( 【点评】本题主要考查学生对函数的单调性与导数的关系，函数的最值与导数的关系等知识点的理解，有一定难度，属能力题( 选修4-4:坐标系与参数方程 22(10分)(2017武邑县校级一模)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，以原1点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为( 2( I)求曲线C的直角坐标系方程; 2( II)设M是曲线C上的点，M是曲线C上的点，求|M
44、M|的最小值( 112212【分析】(?)把变形，得到=cos+2，结合x=cos，y=sin得答案; (?)由(t为参数)，消去t得到曲线C的直角坐标方程为2x+y+4=0，由M是曲11线C上的点，M是曲线C上的点，把|MM|的最小值转化为M到直线2x+y+4=0的距离的1221222最小值(设M(r,1，2r)，然后由点到直线的距离公式结合配方法求解( 2222【解答】解:(I)由可得=x,2，?=(x,2)，即y=4(x,1); (?)曲线C的参数方程为(t为参数)，消去t得:2x+y+4=0( 1?曲线C的直角坐标方程为2x+y+4=0( 1?M是曲线C上的点，M是曲线C上的点， 1122?|MM|的最小值等于M到直线2x+y+4=0的距离的最小值( 1222设M(r,1，2r)，M到直线2x+y+4=0的距离为d， 22则d=?( ?|MM|的最小值为( 12【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了参数方程化普通方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础的计算题( 选修4-5:不等式选讲 23(2016秋长沙月考)已知a，b，c为非零实数( 222222( I)若存在实数n，p，q满足:a+b+c=n+p+q=2，求证:?2; (2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心