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1、08全国各地高考数学模拟试题函数压轴题32已知函数 f(x),ln(2，3x),x.2(I)求f(x)在0，1上的极值; 11, (II)若对任意成立，求实数a的取x,不等式|a,lnx|，lnf(x)，3x,063值范围; (III)若关于x的方程在0，1上恰有两个不同的实根，求实数b的取f(x),2x，b值范围. 3,3(x，1)(3x,1),f(x),3x,解:(I)， 2，3x3x，21,令(舍去) f(x),0得x,或x,131,？当0,x,时,f(x),0,f(x)单调递增; 31,当,x,1时,f(x),0,f(x)单调递减. 3分 311？f(),ln3,为函数f(x)在0,1
2、上的极大值 4分 36, (II)由得 |a,lnx|，lnf(x)，3x,033a,lnx,ln或a,lnx，ln， ? 5分 2，3x2，3x2323x，x()lnlnln设， hx,x,233，x33xg(x),lnx，ln,ln， 2，3x2，3x11a,h(x)或a,g(x)在x,依题意知上恒成立， 632，3x3(2，3x),3x,32,？g(x),0， 23xx(2，3x)(2，3x)312，6x,h(x),(2，6x),0，6分 2232x，3x2x，3x11？g(x)与h(x)都在,上单增，要使不等式?成立， 631111a,h()或a,g(),即a,ln或a,ln.当且仅当
3、 8分 363532f(x),2x，b,ln(2，3x),x，2x,b,0. (III)由 22337,9x2,(x),ln(2，3x),x，2x,b,(x),3x，2,则,令， 22，3x2，3x用心 爱心 专心 115号编辑 77,当上递增; x,0,时,(x),0,于是,(x)在0,3377,当上递减 10分 x,1时,(x),0,于是,(x)在,13377而， ,(),(0),(),(1)33恰有两个不同实根等价于 ？f(x),2x，b即,(x),0在0,1,(0),ln2,b,0,77271727, (),ln(2，7),，,b,0？ln5，,b,ln(2，7),，.,366263,
4、1,(1),ln5，,b,0,2,1f(x),(x,R,a已知函数为常数)，P(x，y)，P(x，y)是函数y=f(x) 111222xa，211 图象上的两点.当线段PP的中点P的横坐标为时，P的坐标恒为. 1224(?)求y=f(x)的解析式; n (?)若数列a的通项公式为，求数列a的前a,f()(n,N*,n,1,2,？,n)nnn0n0Sn和; 0n0n0t (?)若为递增函数，求实数t的取值范围. *,()n,N时函数gn,00Sn011y,y,解:(I)由的图象上得 y,f(x)12xx12a，a，22111,，两式相加得， xx122a，2a，2x，x12a,4化简得恒成立，(
5、2分) ？x，x,1,？a,4, 121f(x),.?y,f(x)解析式为(4分) x4，2n,kk0，nn100,(k,1,2,3,？,n,1), (II) 022用心 爱心 专心 115号编辑 n,kk0f()，f()nnn,k1k1000？由已知条件得,即f()，f(),.？(6分)24nn200n,1n12300？S,f()，f()，f()，？，f()，f(),nnnnnn00000n,1n,2n321000？S,f()，f()，？，f()，f()，f()，f(),n0nnnnnn000000两式相加得: n,1n,2n,21220002S,f()，f()，f()，f()，？，f()，
6、f()n0nnnnnn000000n,1n100，f()，f()，2f()nnn00011111,，？，2f(1),(n,1)，2,022226n,310？S,.(8分) n012n0t为递增函数， (III)*,()？n,N时函数gn,00Sn0nn，100tt1tn0？, 恒成立，化简为 (9分) 12t(,),0,SS3n,13n，2nn，10000显然t?0. 1tnn00 (1)当不成立， t,0时,？,0,则t,0,而当n为偶数时,t,003n,13n，200所以t0时，. 3n,13n，23n,13n,100003355,1,1, 又是递减的故当n,时，有最大值故t,. 0313
7、122n,n,005 综上可知，t.(12分) 2n,定义函数f(x),(1，x),1,x,2(n,N) nf(x),nx(1)求证 nh(x),f(x),f(x)a,b,(,0(2)是否存在区间，使函数在区间a，b的值域32用心 爱心 专心 115号编辑 为ka，kb,若存在，求出最小的k的值及相应的区间a，b. n解(1)令 g(x),f(x),nx,(1，x),1,nxnn,1n,1, 2分 ,g(x),n(x，1),n,n(x，1),1,当 ,2,x,0时,g(x),0;当x,0时,g(x),04分 ？g(x)在(,2,0)上递减,在(0,，,)上递增则 x,0时,g(x),g(0),
8、0g(x),g(x),0即f(x),nxminminn 5分 2 (2) ？h(x),f(x),f(x),x(1，x)322,h(x),(1，x)，x,2(1，x),(1，x)(1，3)1, 令h(x),0,x,1或,31,？h(x)在(,2,2)及(,，,)为正 31(,1,)时为负值，作图如图所示 7分 在3法一:考查直线相交问题，假设存在k满足题意 y,kx(k,0)与直线y,h(x)144？在,1,0上A(,)为极小值点,过A作直线y,与h(x)图象交于 3272744B(,)另一点 9分 327当y = kx绕原点O顺时针旋到B点时，满足条件k取最小值 11分 14k,此时a,b,0
9、 12分 min93法二:由条件知 6分 k,0,b,01420,()(),(1),a,hx,ha,ka？k,，a,?当 8分 min394114414,()(),a,时hx,h,kak,a？,k,?当 min33327279910分 4122,()()(1),(1)a,时hx,ha,a，a,kak,，a,?当， min394a,取等号 11分 3用心 爱心 专心 115号编辑 14综上讨论知，k最小值为 12分 ,此时a,b,0.93x已知函数 ，设，过作函数的图象的切线Q(x,0)P(x,f(x)y,f(x)f(x),(1,x)e11111与轴交于点，再过作函数的图象的切线与轴交于xQ(x
10、,0)P(x,f(x)xy,f(x)22222*点，依此下去，过作函数的图象的切Q(x,0),？y,f(x)P(x,f(x)(n,N)33nnn线与轴交于点。 Q(x,0),？xn，1n，1若，(?)试求出的值并写出与的关系; xxx,2xn，1n121111*(II)求证:。 n,1,，？，,n,(n,N)xxx2n123x解:(I)由题意得:导数为，可求得x, 3分 f(x),xe22*过作函数的图象的切线方程为: y,f(x)P(x,f(x)(n,N)nnnxxnn， y,(1,x)e,xe(x,x)nnn1xxnnxx令得:，即 6分 ,，,1y,0,(1,x)e,xe(x,x)n，1
11、nnnn，1nxn(II)先用数学归纳法证明: x,1nn,1,1当时成立; x,21n,k假设当时成立，即x,1。 k1n,k，1xx则,，,1,2,1,1，则当时也成立。 k，1kxkx,1故， 9分 n111111111则可得,1，？，,n,1,，？，,n,，故，又，则 xx22xxxxx2n12nn111分 1,x,x，1由(I)得，则 n，1nxn111，？，,x,x，1，x,x，1，？，x,x，1,x,x，n,x,2，n2132n，1nn，11n，1xxx12n用心 爱心 专心 115号编辑 则 ，则 x,1x,2，n,n,1n，1n，1111因此，。 14 ，？，,n,1xxx1
12、2nax已知函数的图象过点，且方程有两个相等的实数根. fxb,03,1fxx,，bx，3(?)求实数的值; ab,3 (?)若正项数列满足:，求通项; aafa,a,a，,11nn，nn2314 (?)对满足(2)中的数列，若数列，为数列的前项和，aTb,n(),nnnba2nn11证明T,. n10axfx,(1)?函数的函数图象过点3,1， ，bx，3ax3afx,?函数的图象过点3,1，则1,。 ，bx，333b，又?方程fxx,有两个相等的实数根， ，ax2x,0a,3xbxxaxxbxa,，,，,330?，即方程有等根，则 ，bx，33a3xb,21,fx,代入得，故。 -,分 ，
13、33b，23x，3a112nafa, (2)?，?，即 ,，a，nn，1，1naa，323ann，1n31122a,?,，,nn，则 -,分 1，nn2aa33n11111114T,，？ (3)bn,所以 ,nn44444n123bnn11111111111111,()()()()442222? nnnnnnnnnnn,，,，,，1211214112111111111111111T,，,，,？1()()nnnnn，? 11,，,，,，,1()2168128110nn，1 x已知函数f (x) =(3,b)的图象过点A(1，2)和B(2，5). a用心 爱心 专心 115号编辑 1 (1) 求函
14、数f (x)的反函数f(x)的解析式; -1f(n)231113(2) 记a = , (n?N*), 试证明(1 +)(1 +)(1 +)?2n，1 naaa312n对一切n?N*均成立. 1 x解: (1) 依题意2a = 3,b且5a = 9,b, 解得a = 2, b =,1, f (x) =(3 + 1) 2(2分) 1 x 1 3 = 2y,1, 得x = log (2y,1), ?f(x) = log (2x,1)(x ). (6 3 32分) log(2n,1)33 (2) b = 2n,1, n(i) 当n = 1时, 左= 2, 右= 2, 不等式成立. (8分) 23111
15、2k，1 (ii) 设n = k时, 不等式(1 +)(1 +)(1 +)?成立, 则n = k aaa312k+ 1时 12311112k，1 (1 +)(1 +)(1 +)(1 +)?(1 +) 2k，1aaaa312kk，12k，2232k，1= 2k，132(2k，2)(2k，1)(2k，3)2323232k，1 =. ,2k，1,2k，332k，132k，13(13分) 即n = k + 1时, 不等式也成立. 综合(i) (ii)知不等式对任意n?N*均成立. (14分) tf(x),x，(t,0)和点P(1,0)已知函数，过点P作曲线y = f(x)的两条切线PM、PN，切x点分
16、别为M、N. (1)设|MN| = g(t)，试求函数g(t)的表达式; (2)是否存在t，使得M、N与A(0,1)三点共线.若存在，求出t的值;若不存在，请说明理由; 642,n， (3)在(1)条件下，若对任意的正整数n，在区间内总存在m + 1个实数na,a,？,a,ag(a)，g(a)，？，g(a),g(a)，使得不等式成立，求12mm，112mm，1m的最大值. (1)设M、N两点的横坐标分别为x、x， 12用心 爱心 专心 115号编辑 t,， 2分 ？f(x),1,2xtt?切线PM的方程为:， y,(x，),(1,)(x,x)112xx1tt又?切线PM过点P(1,0),？有0
17、,(x，),(1,)(1,x)， 112xx112即， (1) x，2tx,t,011x，x,2t,122同理，由切线PN也过点P(1,0)，得的两根， (*)？x，2tx,t,0,2.x,x,t12,ttt2222， MN,x,x，x，,x,x，x,xx，,|()()()41(1)12121212xxxx12122把(*)式代入，得， |MN|,20t，20t2因此，函数的表达式为 4分 g(t)g(t),20t，20t(t,0).)当点M、N与A共线时， (2k,kMANAttx，,1x，1222xx,1x，t,xx，t,x121122？,即,， 22x,0x,0xx1212化简，得， 3
18、分 (x,x)t(x，x),xx,0212112(3) ？x,x,？t(x，x),xx.1221211t,.把(*)式代入(3)，解得 21t,.?存在t，使得点M、N与A三点共线，且 2分 2642,n， (3)解法1:易知在区间上为增函数， g(t)n64？g(2),g(a),g(n，)(i,1,2,？,m，1)， 1n64mggagagamgn,(2),()，()，？，(),(，).则 1分 12mn64m,g(2),g(n，)依题意，不等式对一切的正整数n恒成立， n646422m,，,n，n，20220220()20()， nn用心 爱心 专心 115号编辑 164642m,n，n，
19、即对一切的正整数n恒成立. 2分 ()()nn6,()()1616， ？n，,？n，n，,，,663nnn136？m,6？m,. 由于m为正整数，. 3又当m = 6时，存在，对所有的n满足条件， a,a,？,a,2,a,16122m，1因此，m的最大值为6. 64解法2:依题意，当区间2,n，的长度最小时，得到的m最大值，即是所求值. n64？n，,16，?长度最小的区间为2，16， n当时，与解法1相同分析，得 a,2,16(i,1,2,？,m，1)m,g(2),g(16),i136m,.解得 13分 后面解题步骤与解法1相同(略). 22f(x),x，alnx已知函数 (x0)，f(x)
20、的导函数是，对任意两个不相等的正数、f(x)x1x，求证: x2()()fx，fxx，x1212(),f (?)当时，; a,022|f(x),f(x)|,|x,x| (?)当时，. a,4121222fxxax,，ln证明:(?)由 ，xfxfx，,，111a1222得 ,，xxxxlnln，,1212222xx12,1xx，2212 ,，xxaxxln，12122xx122xxxxxx，4,121212 fa,，ln,222xx，,12用心 爱心 专心 115号编辑 2211xx，,222212而 ? ，xxxxxx，,，,2，,121212，242,222又 xxxxxxxx，,，,24
21、，12121212xx，412? ? ,xxxx，1212xx，xx，1212?xx, ?lnlnxx, 121222xx，12a,0? ? ? axxalnln,122由?、?、?得 214xxxx，,221212 xxaxxaxx，,，lnln，121212,22xxxx，,1212fxfx，xx，,1212即 ,f,22,22a2 (?)证法一:由，得 fxxax,，ln，fxx,，2，2xxx2xx，a,22aa12? ,，,xx2fxfxxx,，,，22，12,22121222xxxxxxxx1212,11222xx，a12 fxfxxx,，,21，121222xxxx12122xx
22、，a12下面证明对任意两个不相等的正数xx,，有恒成立 21，,1222xxxx12122xx，12即证成立 axx,，12xx122xx，412? xxxx，,，1212xxxx1212442txxuxtt,，,0uxt,2设，则 ，122tt3ux,0t,2令得，列表如下: ，3330,22,，, t，2 用心 爱心 专心 115号编辑 _ ut0 ，3 ut ，极小值 342xx，1233 ? uta,341084xxa，,，12xx12?对任意两个不相等的正数，恒有 fxfxxx,xx,，12121222a2证法二:由，得 fxxax,，lnfxx,，2，2xxx2xx，a,1222a
23、a? ,，,xx2fxfxxx,，,，22，1222,121222xxxxxxxx12121122,?是两个不相等的正数 xx,12442xx，aa412? ,，,222，,，,3322xxxxxxxx12121212xxxx，1212132utttt,，,2440设， ，t,xx12uttt,432则，列表: ，222, t 0,，,333,_ ut 0， 38ut 极小值 ， 272xx，38a12u,1? 即 21，,2227xxxx12122xx，a12? fxfxxxxx,，,2，12121222xxxx1212fxfxxx,xx,即对任意两个不相等的正数，恒有 ，121212fxx
24、x()ln1,，a01,a已知函数,数列满足, ，,n1用心 爱心 专心 115号编辑 11*; 数列满足, .求证: bbnb,，afa,bnN,(1)，,11nn，nn，1n22(?) 01;,aann，12an(?) a,;n，122 (?)若则当n?2时,. a,ban,!1nn2*解: (?)先用数学归纳法证明,. nN,01,an(1)当n=1时,由已知得结论成立; (2)假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时, 01,ak1x, 因为0x1时,所以f(x)在(0,1)上是增函数. fx()10,xx，11又f(x)在0,1上连续,所以f(0)f()f(1),即0. aa,
25、1ln21,k，1k故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.4分 01,anaaaaaa,，,，,ln1ln(1)0 又由, 得,从而. 01,aaa,，nnnnnn，1nnn，1综上可知6分 01.,aann，122xx，,ln(1)xx (?)构造函数g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0. ,22aannga,0,fa,.a01,a 因为,所以,即0,从而10分 ，nn，1nn2211n，1bn，1bbnb,，,(1)b,0 (?) 因为 ,所以, , 11nn，n2b22nbbb1nn,12,？ 所以 ? , 12分 bbn!n1nbbb2nn,1212aaaaa
26、aaaaannn，131nn,212na,？ 由(?)知:, 所以= , n，12a2222aaaa1n121n,用心 爱心 专心 115号编辑 2 因为, n?2, 01.,aaa,1nn，12n2aa2,aaa1n,11211 所以 0， 2?2x+4x,a?0恒成立， ?=16,8(,a) ?0， 用心 爱心 专心 115号编辑 ?a?,2.10分 x2x (III)当a=,3时，F(x)= ,3e,1,2xe， 设P(x，y)，Q(x，y)是F(x)曲线上的任意两点， 1122x2?F(x)= ,e(2x+4x+3) x2 =,e2(x+1)+10， 12?F(x)?F(x)= ,1
27、不成立.13分 12?F(x)的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直.14分 qp设(e为自然对数的底数) g(x),px,2f(x)，其中f(x),lnx，且g(e),qe,2.xe(?)求p与q的关系; (?)若在其定义域内为单调函数，求p的取值范围; g(x)(?)证明:? f(x),x,1,(x,1)2ln2ln3lnn2n,n,1 ? ，？，,(n,N,n,2).2224(n，1)23nqg(x),px,2lnx,解:(I)由题意: xqg(e),pe,2又 eqp？pe,2,qe,2ee1？(p,q)e，(p,q),0e 1(p,q)(e，),0e1而e，,0,？p,q.
28、3分eqg(x),px,2lnx,(?)由(I)知: x2p2px,2x，pg(x),p，,22xxx2令h(x),px,2x，p,要使g(x)在(0,，,)为单调函数,只需h(x)在(0,，,)满足 :h(x),0或h(x),0恒成立.4分?当p=0时，h(x)=,2x 用心 爱心 专心 115号编辑 ？x,02x？h(x),0,？g(x),0,2x ？g(x)在(0,，,)单调递减,？p,0适合题意.5分12?当p?(0，0,h(x)px2xp,x,时,，图象为开口向上抛物线其对称轴为,p+?) 1？h(x),p,minp1只需p,0,即p,1时h(x),0,g(x),0 p？g(x)在(
29、0,，,)单调递增,？p,1适合题意.7分12?当p,0时， ,h(x)px2xp,x时,，图象为开口向下抛物线其对称轴为,p,(0,，,)只需h(x)?0，即p?0时h(x)?0在(0，+?)恒成立 ？g(x),0？g(x)在(0,，,)单调递减 ？p,0适合题意.综上?可得，p?1或p?0 (?)证明:?即证 ln(1，x),x,0(x,1),xk(x),ln(1，x),x,k(x),设 1，x？x,(,1,0)时k(x),0,？k(x)为单调递增函数？x,(0,，,)时k(x),0,？k(x)为单调递减函数 ？x,0为k(x)的极大值点,？k(x),k(0),0tanA不表示“tan”乘
30、以“A”；即11分 ln(1，x),x,0,？ln(1，x),x经过同一直线上的三点不能作圆.ln(1，x),x,又1，x,0,?由?知 84.164.22有趣的图形1 整理复习2t,1，x,则t,0？lnt,t,1设 用心 爱心 专心 115号编辑 定义：在RtABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，*,2,？n,Nn,22ln1,？n,n,若a0，则当x时，y随x的增大而减小。2lnnn,111,？,222nnn1.正切：2lnn11 ？,(1,),222nn(1) 弧长公式: 弧长 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)ln2ln3ln1111n？，.，,(1,，1,，.，1,)222222223n23n11111111,