1.2排列与组合课件.ppt

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1、2021/3/10,讲解：XX,1,1.2 排列组合,2021/3/10,讲解：XX,2,1.2.1 排列,2021/3/10,讲解：XX,3,问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？,问题引导开门见山,种,甲,乙,丙,分析：,树形图：,相应的排列：,甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙,2021/3/10,讲解：XX,4,问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？把问题1中被取的对象叫做元素问题改述为：,从3个不同的

2、元素a,b,c中任取2个，按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法。,不同的排列为：ab ac ba bc ca cb,共有 3X2=6 种,2021/3/10,讲解：XX,5, 种,问题2 从、这四个数字中，取出3个数字排成一个三位数，共可得多少个不同的三位数？,分析：,树形图：,2021/3/10,讲解：XX,6,问题2 从、这四个数字中，取出3个数字排成一个三位数，共可得多少个不同的三位数？ 把问题1中被取的对象叫做元素问题改述为：,从4个不同的元素a,b,c,d中任取3个，按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法。,不同的排列为：abc abd acb acd adb

3、adcbac bad bca bcd bda bdccab cad cba cbd cda cdbdab dac dba dbc dca dcb,共有 4X3X2=24 种,2021/3/10,讲解：XX,7,基本概念,2、排列定义：,从n个不同元素中取出m (m n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。,说明：,1、元素不能重复。,2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。,3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。,4、mn时的排列叫选排列，mn时的排列叫全排列。,5、为了使写出

4、的所有排列情况既不重复也不遗漏，可以采用“树形图”。,（有序性）,（互异性）,2021/3/10,讲解：XX,8,3 排列数的定义,从 n 个不同元素中，任取 m (mn) 个元素的所有不同的排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数. 记作,注意：,（2）排列与排列数的区别,排 列：不是数 ， 是有序的元素列,排列数：是数 ，排列的个数,（1） 且 mn,2021/3/10,讲解：XX,9,问题 从n个不同元素中取出个元素，排成一列，共有多少种排列方法？,问题 从n个不同元素中取出个元素，排成一列，共有多少种排列方法？,合作交流互动探究,2021/3/10,讲解：XX,

5、10,问题5 从n个不同元素中取出m个元素，排成一列，共有多少种排列方法？,合作交流互动探究,排列数公式：,排列数公式的特征：（）m项相乘；（）右边第一个因数是n ，后面每个因数比前一个少1,2021/3/10,讲解：XX,11,表示什么？,n个元素全部取出的排列的个数，,其中每个排列叫做n 个元素的一个全排列,（n的阶乘）,规定：,2021/3/10,讲解：XX,12,排列数公式：,常用于计算含有数字的排列数的值,常用于对含有字母的排列数的式子进行变形和论证,2021/3/10,讲解：XX,13,全排列 n个不同元素全部取出的一个排列,1,2,5040,720,120,6,24,(n+1)

6、n!=,=(n+1)!,(n+2)(n+1) n!,=(n+2)!,2021/3/10,讲解：XX,14,例4 计算：,=6！=654321=720,例题与练习,2021/3/10,讲解：XX,15,例2.解方程:,（1）n=3 (2)m=6,2021/3/10,讲解：XX,16,例2 某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，求总共要进行多少场比赛.,(场),2021/3/10,讲解：XX,17,例3（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？,(种),(种),（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共

7、有多少种不同的送法？,2021/3/10,讲解：XX,18,例4：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解法一：对排列方法分步思考。,从位置出发,典型例题,2021/3/10,讲解：XX,19,解法二：对排列方法分类思考。符合条件的三位数可分为两类：,根据加法原理,从元素0出发分析,解法三：间接法.,从0到9这十个数字中任取三个数字的排列, 所求的三位数的个数是,其中以0为排头的排列数为 .,逆向思维法,2021/3/10,讲解：XX,20,例5：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？,有约束条件的排列问题,典型例题,202

8、1/3/10,讲解：XX,21,例5：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？,有约束条件的排列问题,典型例题,2021/3/10,讲解：XX,22,有约束条件的排列问题,例6：6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有（ ）A.30种 B. 360种 C. 720种 D. 1440种,C,例7：有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：（1）男甲排在正中间； （2）男甲不在排头，女乙不在排尾；（3）三个女生排在一起；（4）三个女生两两都不相邻；（5）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；（6）若甲

9、必须在乙的右边（可以相邻，也可以不相邻），有多少种站法？,对于相邻问题，常用“捆绑法”,对于不相邻问题，常用 “插空法”,2021/3/10,讲解：XX,23,例8：一天要排语、数、英、体、班会六节课，要求上午的四节课中，第一节不排体育课，数学排在上午；下午两节中有一节排班会课，问共有多少种不同的排法？,有约束条件的排列问题,2021/3/10,讲解：XX,24,1.2.2 组合,2021/3/10,讲解：XX,25,问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？,问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加

10、某天一项活动，有多少种不同的选法？,甲、乙；甲、丙；乙、丙,3,情境创设,2021/3/10,讲解：XX,26,有顺序,无顺序,2021/3/10,讲解：XX,27,一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,排列与组合的概念有什么共同点与不同点？,概念讲解,组合定义:,2021/3/10,讲解：XX,28,组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (mn) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素

11、的一个排列.,共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”,不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.,概念讲解,2021/3/10,讲解：XX,29,思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?,思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?,概念理解,构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.,思考三:组合与排列有联系吗?,2021/3/10,讲解：XX,30,1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:,ab , ac , bc,2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的所有组合.

12、,ab , ac , ad , bc , bd , cd,(3个),(6个),概念理解,2021/3/10,讲解：XX,31,从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示.,如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:,如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个元素的所有组合个数是：,概念讲解,组合数:,注意： 是一个数，应该把它与“组合”区别开来,2021/3/10,讲解：XX,32,1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。,abc ， abd ， acd ， b

13、cd .,练一练,2021/3/10,讲解：XX,33,组合,排列,abc bac cabacb bca cba,abd bad dabadb bda dba,acd cad dacadc cda dca,bcd cbd dbcbdc cdb dcb,不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？,你发现了什么?,2021/3/10,讲解：XX,34,2021/3/10,讲解：XX,35,组合数公式,排列与组合是有区别的，但它们又有联系,根据分步计数原理，得到：,因此：,一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的排列数，可以分为以下2步：,第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数 ,第2步

14、，求每一个组合中 个元素的全排列数 ,这里 ，且 ，这个公式叫做组合数公式,概念讲解,2021/3/10,讲解：XX,36,组合数公式:,从 n 个不同元中取出m个元素的排列数,概念讲解,2021/3/10,讲解：XX,37,（2)列出所有冠亚军的可能情况.,（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙,(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,解：,例题分析,(4)求,2021/3/10,讲解：XX,38,例3,2021/3/10,讲解：XX,39,例1：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上

15、场队员是11人。问： （1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？,2021/3/10,讲解：XX,40,2021/3/10,讲解：XX,41,例4：在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。(1)一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？,说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。,2021/3/10,讲

16、解：XX,42,例5、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要派5人参加支边医疗队，至少要有1名内科医生和1名外科医生参加，有多少种选法？,例6：（1）平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线上，过这9个点可确定多少条直线？可以作多少个三角形？（2）空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个点共面，这12个点可确定多少个不同的平面？,2021/3/10,讲解：XX,43,例7、有翻译人员11名，其中5名仅通英语、4名仅通法语，还有2名英、法语皆通。现欲从中选出8名，其中4名译英语，另外4名译法语，一共可列多少张不同的名单？,例8、8双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，

17、从中任意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况：（1）4只鞋子恰有两双；（2） 4只鞋子没有成双的；（3） 4只鞋子只有一双。,2021/3/10,讲解：XX,44,一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？,解：（1）,性质2,2021/3/10,讲解：XX,45,我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球因此根据分类计数原理，上述等式成立,我们发现：,为什么呢,2021/3/10,讲解：X

18、X,46,性质2,2021/3/10,讲解：XX,47,注:1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数 2 此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用,2021/3/10,讲解：XX,48,例计算：,2021/3/10,讲解：XX,49,例2 求证:,2021/3/10,讲解：XX,50,一、等分组与不等分组问题,例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；（2）分成三份，每份两本；（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲

19、、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；（6）分给5个人，每人至少一本；（7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。,2021/3/10,讲解：XX,51,例4、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（ ）（A） 种（B） 种 （C） 种 （D） 种,二、不相邻问题插空法,2021/3/10,讲解：XX,52,三、混合问题，先“组”后“排”,例5 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？,解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。故有： 种可能。,2021/3/10,讲解：XX,53,四、分类组合,隔板处理,例6、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?,分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理.解:采用“隔板法” 得:,2021/3/10,54,感谢您的阅读收藏，谢谢！,