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1、2012届高考数学快速提升成绩题型训练圆锥曲线.doc252009届高考数学快速提升成绩题型训练圆锥曲线 在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，. 过点M作MM?y轴3. |OM|,5,ON,OM151. 已知常数m 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，经过点A(m, 0)，以a+b为方向向量的直线与经过点B( m, 0)，以b 4a为方向向量的直线交于点P，其中?R( -OT,MM，NN于M，过N作NN?x轴于点N，. 记点T的轨迹为曲线C，点A(5，0)、B11111(1) 求点P的轨迹E; (1，0)，过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q(点Q在A与P之间).
2、 (2) 若，F(4, 0)，问是否存在实数k使得以Q(k, 0)为圆心，|QF|为半径的圆与轨迹m,25 (1)求曲线C的方程; (2)证明不存在直线l，使得|BP|=|BQ|; E交于M、N两点，并且|MF| + |NF| =(若存在求出k的值;若不存在，试说明理由( 35SB,tBQ. (3)过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若，证明 AP,tAQ 54. 已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F、F在轴上，双曲x12l2 双曲线的实半轴与虚半轴长的积为，它的两焦点分别为F、F，直线过F且与直31222AF,AF,0线C的右支上一点A使且的面积为1。 ,FAF211
3、212tan,l线FF的夹角为，且，与线段FF的垂直平分线的交点为P，线段PF与,121222(1) 求双曲线C的标准方程; PQ:QF,2:1双曲线的交点为Q，且，建立适当的坐标系，求双曲线的方程. (2) 若直线与双曲线C相交于E、F两点(E、F不是左右顶点)，且以EFl:y,kx，m2l为直径的圆过双曲线C的右顶点D。求证:直线过定点，并求出该定点的坐标。 2222PAB的直径为，点在半圆上，双曲线以为焦点，且过8、已知半圆xyy，,1(0)AB,xy5.求与双曲线有公共渐进线，且经过点的双曲线的方程。 A,3,23,1，916,PPAB点。若，,，求双曲线的方程。 32229. 已知圆
4、:x+y=c(c,0),把圆上的各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得一椭222PFF,6、已知分别是双曲线3575xy,的左右焦点，是双曲线上的一点，且12圆。 ?求椭圆方程,并证明椭圆离心率是与c无关的常数; :，FPF,FPF=120，求的面积 1212?设圆与x轴交点为P，过点P的直线l与圆的另一交点为Q，直线l与椭圆的两交点为M、N，且满足，求直线l的倾斜角。 MN,2PQ 7、证明:双曲线上任意一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值 2=2ax上运动，MN为圆k在12. 已知圆k过定点A(a,0)(a,0),圆心k在抛物线C:y22xyy轴上截得的弦. 10. 已知点(x,y)在椭
5、圆C:(a,b,0)上运动 ，,122ab(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化, yOA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系, (2)当|(,xy)?求点的轨迹C方程; x,3,?若把轨迹C的方程表达式记为:y=f(x)，且在内y=f(x)有最大值，试求椭圆C0, ,3, 的离心率的取值范围。 22xy22，13. 如图，已知椭圆=1(2?m?5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及xyFCAB11. 已知过椭圆右焦点且斜率为1的直线交椭圆于、两点，,1(a,b,0)mm,122ab其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=|AB|,|C
6、D| ,(1)求f(m)的解析式; Nx,为弦的中点;又函数的图像的一条对称轴的方程是。 y,a,sinx，3b,cosx(2)求f(m)的最值. 6Ck(1) 求椭圆的离心率与; eONM,COM,cos,OA，sin,OB(2) 对于任意一点,试证:总存在角使等式: 成,(,R)立. 1214. 已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，右准线为一条渐近线的方程是y,ax(a,0),过抛物线C上一点P(x,y)(x,0)，作斜率为16. 抛物线C的方程为l:x,k,k000122的两条直线，分别交抛物线C于A两点(P、A、B三点互不相同)，且满(x,y),B(x,y)过双曲线C的右焦点F的一
7、条弦交双曲线右支于P、Q两点，R是弦PQ的y,3x.21122中点. 足 k，,k,0(,0且,1).21 (1)求双曲线C的方程; (1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程; PS,QS,0 (2)若在l的左侧能作出直线m:x=a，使点R在直线m上的射影S满足，BM,MA, (2)设直线AB上一点M满足证明:线段PM的中点在y轴上; 当点P在曲线C上运动时，求a的取值范围. ,1 (3)当时，若点P的坐标为(1，1)，求?PAB为钝角时，点A的纵坐标的取 值范围. l:x,117. 如图，已知点F(1，0)，直线为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足2x215. 设分别是椭圆的左，右焦点。 F
8、,F，y,112QP,QF,FP,FQ.为点Q，若 45 (1)求动点P的轨迹C的方程; PPF,PF,(?)若是第一象限内该椭圆上的一点，且， 12 (2)过点M(,1，0)作直线m交轨迹C于A，B两点。 4P求点的坐标。 (?)记直线FA，FB的斜率分别为k,k，求k+k1212 的值; ，AOB(?)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角(其中M(0,2)A,B|MA|RA|(?)若线段AB上点R满足求证: ,lkO为坐标原点)，求直线的斜率的取值范围。 |MB|RB| RF?MF。 22 轴上的动点，QA，QB分别切?M于A，B两点， 20. 已知?M:x，(y,2),1,Q是x
9、18. 已知椭圆C的中心为坐标原点，F、F分别为它的左、右焦点，直 12 42线x=4为它的一条准线，又知椭圆C上存在点M使 2MF,MF,|MF|,|MF|,|MF|,|MF|.121212(1)如果，求直线MQ的方程; |AB|,3(1)求椭圆C的方程; (2)求动弦AB的中点P的轨迹方程. PF,FQ，求,PFQ, (2)若PQ为过椭圆焦点F的弦，且内切圆面积最大时实数2221 的值. 22 xy19. 已知椭圆，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角C:，,1(a,b,0) 22ab 形. (1)求椭圆的方程; (2)过点Q(,1，0)的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=,4于点
10、E，点Q分 AB 所成比为，点E分AB所成比为，求证+为定值，并计算出该定值. 2525答案: ,，所以 为(x,0)MM,(x,0),NN,(0,y).11551. 解 (1) ?a+b = ( m,)，? 直线AP方程为;? y,(x,m)m,x,x,254,又b 4a =(m, 4), ? 直线NP方程为;? - -y,(x，m), 由OT,MM，NN,有(x,y),(x,0)，(0,y),所以 ,1125,m5,yy,.,5,22y4x222由?、?消去得 ，即 ( y,(x,m)，,1224mm522 故当m = 2时，轨迹E是以(0, 0)为圆心，以2为半径的圆:x + y= 4;
11、 , 由此得 x,x,y,y.22(,m,4,0)当m 2时，轨迹E是以原点为中心，以为焦点的椭圆: 22y5x22222,|OM|,5,有x，y,5,所以x，(y),5,得，,1, 由 (0,4,m)当0 m 0，b0)，设F(c，0)，不妨设的方程为，它与yy,(x,c),12002222k，k，54542ab22121轴交点，由定比分点坐标公式，得Q点的坐标为，由点Q在P(0,c)(c,c) 又 |BP|,|BQ|,BR,l,k,k,1,BR236224c21cab,3双曲线上可得，又， ,12220k9a36b22y2220k225k，4 a,1b,3?，?双曲线方程为. x,1k,k
12、,k,1,20k,20k,4,BR22325k4,20k 1,25k，4,3. (1)设点T的坐标为，点M的坐标为，则M的坐标为(0，)， (x,y)(x,y)y122 而不可能成立，所以不存在直线l，使得|BP|=|BQ|.7分 20k,20k,425252525, ON,OM,(x,y)，于是点N的坐标为(x,y)，N的坐标 1S(x,y),AP,(x,5,y),AQ,(x,5,y) (3)由题意有，则有方程组 1111225555xtx,5,(,5),(1),，ykxm12,2222y,ty,(2)(2)设，联立得 (4k,1)x，8kmx，4m，4,0E(x,y),F(x,y)12,x
13、1122,2y,122,xy4,11 由(1)得 (5) x,t(x,5)，5,，,1,(3)1254,122k,显然否则直线l与双曲线C只有一个交点。 ,xy222,，,1.(4)54,22222即 ,(8km),4(4m，4)(4k,1),04k,m,1,0222 将(2)，(5)代入(3)有 4t(x,5)，5，5ty,20.22km8,xx，,12222,k,4,1 整理并将(4)代入得， (t,1)，2(1,t)tx，5(1,t),02则 ,2m4，4,t,32xx,122t,解得x,1,. 易知 ,2k4,1,t22又 yy,(kx，m)(kx，m),kxx，km(x，x)，mSB
14、,(1,x,y),BQ,(x,1,y) 因为B(1，0)，S，故，所以 (x,y)12121212112211?以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2,0) SB,tBQ,(1,x,y),t(x,1,y),(1,x,t(x,1),y,ty)11221212?即 DE,DF,0(x,2,y),(x,2,y),0,(1,t(x,5),5,t(x,1),0),(,4,t(2x,6),0) 11222226t,422,(,4,t(,6),0),(0,0),?(k，1)xx，(km,2)(x，x)，m，4,0 1212t24m，4,8km？SB,tBQ. 22? (k，1),，(km,2),，m，4,
15、0224k,14k,1 2222化简整理得xy 3m，16km，20k,04. 解: (1)由题意设双曲线的标准方程为，由已知得:,1(a,0,b,0)22ab1022m,2k,m,k? ，且均满足 4k,m,1,0123225ca，ba,2be,解得 l当时，直线的方程为，直线过定点(2，0)，与已知矛盾 m,2ky,k(x,2)12aa101010m,ky,k(x,)l当时，直线的方程为，直线过定点(，0) AF,AF,0?且的面积为1 ,FAF21212333110222|FA|,|FA|,2a,S,|FA|,|FA|,1l|FA|，|FA|,|FF|?, ?直线定点，定点坐标为(，0)
16、。 12,FAF1212121232222(|FA|,|FA|),4c,4,4a? 1222xy5.求与双曲线有公共渐进线，且经过点A,3,23的双曲线的方程。 ,1，? b,1,a,2916222xxy2?双曲线C的标准方程为。 解:设双曲线的方程为 ,y,1,22ab4A,3,23在双曲线上 ，2 223，1322, 得 ？,1PAB的直径为，点在半圆上，双曲线以为焦点，且过8、已知半圆xyy，,1(0)AB,4916,22PPAB，,点。若，求双曲线的方程。 4xy所以双曲线方程为 3,194,PPAB，,解:在半圆上 322P6、已知FF,分别是双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点，且3
17、575xy,13312 ？,APAB1？,PAPy222:，FPF=120，求,FPF的面积 1212,31132Px,在圆上 即 ？，,x1？,P,22,24xy22,解:双曲线可化为 ,12515又221cABc,？,PFmPFnFFc,2210设 121222,ab，,1222,abc，,1,mna210,1322由题意可得 可得 ？,xy222FFmnmn,，,:2cos120,112,44,22,1ab,22,ab,22,mnmn，,2100即 ,22mnmn，,16023,23,31,422222, ？,，,？,4810aaa01,？,aab,222mn,20所以 122Smn,:
18、,sin12053 xy,FPF12,1所以双曲线方程为 22331, 227、证明:双曲线上任意一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值 22xyaPxy,解:设双曲线的方程为 所以渐近线方程为yx, ,1，oo222229. 解:?设R(x,y)是圆:x，y=c上任一点，则S(x,y)在所求椭圆上的点，设S(u,v),2bab2bxay,bxay，aauuoooo22PPyx,yx,到的距离 到的距离 d,d,有u=，v,cx,v=y即x=,y=v代入圆的方程得:故所求的椭圆方程为:2122222bb22ab，ab，222222bxay,bxaybxay,，xy2oooooo* dd,椭圆的
19、长半轴的长为c，半焦距为c,故离心率e=与c无关。 ？，,1212222222222ab，2ccabab，?设直线l的方程为:x=,c，tcos ,22xy222222ooP y=tsin (t为参数，为倾斜角) ? 把?代入圆的方程bxayab,又在双曲线上 所以 即 1,oo2222222ab得:(,c，tcos)cos，(tsin)=c整理得:t,2ccost=0 ? ,222222PQ,t,t,2ccos,设?的两根为t、t,解得:t=0,t=2ccos ？,bxay,121212aboo故*可化为 dd,122222222abab，把?代入椭圆方程得:(,c，tcos)+2(tsin
20、)=2c 整理得: ,222(1+sin)t,2ccost,c=0 ? 设方程?的两根为t、t,由韦达定理: ,3422bab,0时，则有0,于是得到:0,1故由?式知: 当xxxxxx212121222,2c,coscaabMN,t,tt，t=,tt=,， 34343421，sin,1，sin,0, f(x),f(x),f(x)f(x)12122222,4ccos4c8c222=，, MN,(t,t),(t，t),4tt3434342222222(1，sin,)1，sin,(1，sin,)bab当,时，则有,于是得到:,1故由?式知: xxxxxx12121222aab28c2222又故有:
21、即 ,MN,2PQ,8ccos,MN,2PQ22,0, f(x),f(x),f(x)f(x)(1，sin),1212bb222224(0,)(,，,)故得到函数在上是增函数，在上是减函数。因此在y,f(x)y,f(x)cos(1+sin)=1整理得:又,0，) sin,(1,sin,sin,),0,aab(上有最大值，当且仅当时取到最大值。 x,0,，,)5,15,12a,sin,sin=0=0或sin=故得: ？,2223b3b1要使函数在内取到最大值，则只要,设椭圆半焦距,(0,)y,f(x)25,15,1a333a,arcsin,arcsin,或。 222226a,cc12,()为c，于
22、是有,e,1 25,15,13a33a,arcsin,arcsin,综合得:=0或或。 ,226 即符合题意的离心率的取值范围是。 (,1)322,x,acos,xy10. 解:?椭圆C:的参数方程为:为参数)，又设点 ，,1(, ,22ybsin,ab,2211. 解:1)函数.又,故,为第一象限角,a,0,b,0y,a,sinx，3b,cosx,a，9bsin(x，,)(x,y)是轨迹C上任意一点，则轨迹C的参数方程为: 003btan,且. ayb,x,tan220,abxtan0xa,y,ab,x,y(为参数)消去参数得:把 函数图像的一条对称轴方程式是: y,a,sinx，3b,co
23、sx,000222211，tan,b，ax0,y,xy,absin2,03b,2,222x,？，,？,？,3,a,b，c,得a,3b.又c为半点焦距，,6623a22222axy,abx，by,0换成x,y，所求轨迹C的方程为: ? c6？c,2b,？e,. 22abxa3?把方程?表达为函数解析式:，下证函数在 y,f(x),y,f(x)222b，ax由a,3b知椭圆C的方程可化为 bb(0,)(,，,)上是增函数，在上是减函数。设x,x,0， 12aa222x，3y,3b (1) 2a24ab(x,x)(1,xx)222212122abxabx2b,012b 又焦点F的坐标为()，AB所在
24、的直线方程为 f(x),f(x),作差= ? 12222222222222b，axb，ax(b，ax)(b，ax)1212y,x,2b (2) (2)代入(1)展开整理得 222,cos,成立，则有 ,1,sin,？,sin,.22 (3) 4x,62bx，3b,0若，则存在角使等式OM,cosOA，sinOB成立;若由,sin,(,R),sin,设A()，B()，弦AB的中点N(x,y)，则是方程(3)的两个不x,yx,yx,x0o112212,与于是用代换，同样证得存在角使等式:,sin,sin(,)cos,cos(,),(,R)等的实数根，由韦达定理得 2323bbOM,cos,OA，s
25、in,OB成立. , (4) x，x,x,x,121224M,C综合上述，对于任意一点，总存在角使等式:OM,cos,OA，sin,OB,(,R)x，x32b12成立. , ？x,024 212. 解:(1)设圆心k(x,y),且y=2ax, 00002b2, y,x,b, 222200圆k的半径R=|AK|= (x,a)，y,x，a400022222y1?|MN|=2=2a(定值) 0R,x,2x，a,x000 ？k,即为所求。 ONx30?弦MN的长不随圆心k的运动而变化. 2222(2)设M(0,y)、N(0,y)在圆k:(x,x)+(y,y)=x+a中， 12000OBOA2)与是平面
26、内的两个不共线的向量，由平面向量基本定理，对于这一平面内的222令x=0，得y,2yy+y,a=0 0022?yy=y,a 120OM向量，有且只有一对实数使得等式成立。设由1)中,M(x,y),OM,OA，,OB?|OA|是|OM|与|ON|的等差中项. 各点的坐标可得: ?|OM|+|ON|=|y|+|y|=2|OA|=2a. 12又|MN|=|y,y|=2a 12 (x,y),(x,y)，,(x,y).1122?|y|+|y|=|y,y| 1212222?yy?0，因此y,a?0,即2ax,a?0. 1200 ？x,x，,x,y,y，,y.1212a?0?x?. 02C又点在椭圆上，代入
27、(1)式得 M(x,y)a22圆心k到抛物线准线距离d=x+?a,而圆k半径R=?a. x，a002222(,x，,x)，3(,y，,y),3b, 1212且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交. 2222222,(x，3y)，,(x，3y)，2,(xx，3yy),3b化为: (5) 11221212 2222 由(2)和(4)式得 13. 解:(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a=m,b=m,1,c=a2 ,b=1 ?椭圆的焦点为F(,1,0),F(1,0). 122222xx，3yy,xx，3(x,2b)(x,2b),4xx,32b(x，x)，6b,3b,9b，6
28、b,0.1212121212122a故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=?,即x=?m. c222222x，3y,3b,x，3y,3b,又两点在椭圆上，故1有入(5)式化简得: A,B1122?A(,m,m+1),D(m,m+1) 22yx,，1,，,1 ,2222考虑方程组,消去y得:(m,1)x+m(x+1)=m(m,1) ,xy，,122,1,1,1,，,1由得到又是唯一确定的实数，且，故存在角，使mm,1,22整理得:(2m,1)x+2mx+2m,m=0 |PF|FQ|22222=4m,4(2m,1)(2m,m)=8m(m,1) 又,2.11,2mXP,?2?m?5,?,0
29、恒成立，x+x=. BC222m,1又?A、B、C、D都在直线y=x+1上 ,1)=4XR,2? 所以|PQ|=|PF|+|FQ|=2(x,x22PQ将?代入?，得 x,1,a.?|AB|=|x,x|=(x,x)?,|CD|=(x,x) 222BABADCR又P、Q是过右焦点F的一条弦，且P、Q均在双曲线C的右支上，R是弦PQ的中2?|AB|,|CD|=|x,x+x,x|=|(x+x),(x+x)| 22BADCBCAD点. 又?x=,m,x=m,?x+x=0 ADAD所以 xR,2,即1，a,2,所以a,1.,2m22m?|AB|,|CD|=|x+x|?=|?= (2?m?5) 22BC故所
30、求a的取值范围是a?,1. 2m1,2m22m故f(m)=，m?,2,5,. 2m22m22a,2,b,1,c,315. 解:(?)易知。 (2)由f(m)=，可知f(m)= 12m2,m？F(,3,0),F(3,0).设p(x,y)(x,0,y,0).则 12111又2,?2,?2, 25m25x22， PF,PF,(,3,x,y)(3,x,y),x，y,3,又，y,11024212,?f(m)?, 449310242故f(m)的最大值为，此时m=2;f(m)的最小值为，此时m=5. 937,222x,1,x，y,x,1 ,3,4,联立，解得， p(1,),332222xy2xy,y,2,1
31、4. 解:(1)设双曲线C的方程为， ,1(,0)y，,14,2,4,3,(?)显然 x,0不满足题设条件x,即x,.则它的右准线方程为 22,可设 l的方程为y,kx，2,设A(x,y),B(x,y).11222y2,已知得=1，则=1，所以所求双曲线C的方程是 x,1.2,x23，y,1,2222联立 ,x，4(kx，2),4,(1，4k)x，16kx，12,04,PS,QS,0,y,kx，2(2)因为点R在直线m上的射影S满足 ,1216k所以PS?QS，即?PSQ是直角三角形. ？xx,x，x, 1212221|PQ|1，4k1，4ka(a,),x,a,所以点R到直线m:x=的距离为|
32、RS|= R2222222,(16k),4,(1，4k),12,016k,3(1，4k),0,4k,3,0由 即? |PQ|,2xR,2a321k,得 ? 4，AOB为锐角,cos，AOB,0,OA,OB,0又， ,x,x？OA,OB,xx，yy,0 001212x,x,即x，x,0. 将?式和?式代入上式，得M0M0,1，2又 yy,(kx，2)(kx，2),kxx，2k(x，x)，412121212 所以线段PM的中点在y轴上222 (3)因为点P(1，,1)在抛物线 ？xx，yy,(1，k)xx，2k(x，x)，4y,ax上,所以a,1,所以抛物线的方程为y,x.12121212222由
33、?式知 x,k,1,代入y,x,得y,(k，1)121612(1，k)2k,16k21111 ,(1，k),，2k(,)，4,，422221，4k1，4k1，4k1，4k22,1将代入?式得 x,k,1,代入y,x,得y,(k,1)211124(4,k)122因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为 ? ,0,？,k,4.241，4k22A(,k,1,k,2k,1),B(k,1,k，2k,1).1111123332于是,AP,(k，2,k，2k),AB,(2k,4k)1111112综?可知 ,k,4,？k的取值范围是(,2，,):(，2)4222所以AP,AB,2k(k，2)，4
34、k(k，2k),2k(k，2)(2k，1), 11111111因为，PAB为钝角且P,A,B三点互不相同,故必有AP,AB,0216. (1)由抛物线C的方程得， y,ax(a,0)12求得k的取值范围是k,2或,k,0.又点A的纵坐标y满足y,(k，1)111111211(0,),准线方程为y,.焦点坐标为 114a4a2,1;0,1k,时y,当,k,时,y,故当 11124y,y,k(x,x),直线PB的方程为y,y,k(x,x) (2)设直线PA的方程为 0100201y,(,1):(,1,)即 14,yyk(xx),? 010点P(x,y)和点A(x,y)的坐标是方程组 的解 ,001
35、12 ,yax, ? 2ax,kx，kx,y,0将?式代入?式，得， 17. 解:(1)设点 P(x,y),则Q(,1,y),1100kkQP,QF,FP,FQ得:由 11x，x,故x,x于是 ? 1010aa2(x，1,0),(2,y),(x,1,y),(,2,y),化简得C:y,4x ,yyk(xx),? 010P(x,y)和点B(x,y)的坐标是方程组又点 的解 (2)(?)由题意直线m斜率存在且不为0， ,00222? ,yax,设直线与抛物线方程联立 m:u,k(x，1)2ax,kx，kx,y,0将?式代入?式，得， 2200y,k(x，1),2222kx，(2k,4)x，k,0 得
36、 ,2kky,4x22,x，x,故x,x于是 2020aak,0, ,k,k,则x,k,x.由已知得， ? ,021210,a？,1,k,1且k,0,x，x21,xyBM,MAx,(,),则,则.设点M的坐标为 MMM，,122,6k,9k4,2k设 则y，y,y,y,A(x,y),B(x,y)则x，x,xx,24k，34k，3k2yy1112(1，k)122 k，k,，|PQ|,1，,|y,y|,1，,(y，y),4y,y,? 11121212222x,1x,1kk4k，312t,322k(x，1)k(x，1)2(x，x),4.设4k+3=t，则t3，此时 k,1212 ,，,k(2，),0
37、4x,1x,1xx，1,(x，x)121212tt,3,32()，x，1x，12xx，x，x114121212244(?)设动点R (x,y),由,得x,1S,12,3,3(，)，. ,PFQ21x,xx,xx，x，2t33t121211？RF,MF 0,？0,S,3.? ,PFQ1 t3综上，直线PQ与x轴垂直时，?PFQ的面积最大，且最大面积为3. 122xy22设?PFQ内切圆半径为r，则 18. 解:(1)据题意，设椭圆C的方程为 ， ，,1(a,b,0),c,a,b122ab11 S,(|PF|，|PQ|，|QF|),r,(|PF|，|PF|，|QF|，|QF|),r,4R,PFQ1
38、112121222a33?直线x=4 为椭圆C的准线， ? ,44r,3,r,，即r,?时，?PFQ内切圆面积最大，此时不存在，直线PQ与x1c44|MF|,|MF|PF,FQ，即,1.又， ?M为椭圆C短轴上的顶点， 轴垂直，? 1222MF,MF112?|2,cos， MF,MF,MF,MF？，FMF, 1212122|MF,MF122,2b2a,2,1x,219. 解(1)由条件得,，所以方程 ，y,1?，?FMF为等边三角形 ，FMF,60:a,1212b,14,2,ba,2a,|MF|,|MF|,2c，故a,4c,2a,？a,2,c,1? 11l:y,k(x，1),A(x,y),B(
39、x,y),E(,4,y) (2)易知直线l斜率存在，令 1122022xy22221且，?椭圆C的方程为 ，,1b,a,c,2,1,3y,k(x，1),43,222222由,(1，4k)x，8kx，4k,4,0,48k，16,0 ,x2(2)显然直线PQ不与x轴重合，当PQ与x轴垂直，即直线PQ分斜率不存在时， ，y,1,4,22b2，3 |PQ|,3,|FF|,222128k4k,4a2x，x,xx, 1212221，4k1，4k1S,，3，2,3.? ,PFQ12,，,，(x1)(x1)(1),12,，即AQQB(1x,y)(x1,y)由 当直线PQ斜率存在时，设它的斜率为k， ,1122
40、,yy12,则直线PQ的方程为，代入椭圆C的方程，消去x的并整理得: y,k(x,1)(k,0)222222(4k，3)y，6ky,9k,0,36k，36k(4k，3),0，设P(x,y),Q(x,y), 1122,(，4),(，4)(2)xx,11,(,4,),(，4,)由AEEBxyyxyy即 ,101220yy,yy,(,)0120,x，1x，411由(1) ,(2),由,x，1x，422 2、知识归纳: (x，1)(x，4)，(x，4)(x，1)2xx，5(x，x)，812121212 ？，,名 称 椭圆 双曲线 (x，1)(x，4)(x，1)(x，4)2222228k4k,4 将代入
41、有 x，x,xx,121222图 象 1，4k1，4k22222 8k,840k8k,8,40k，8，32k,，8222 平面内到两定点的距离的和为1，4k1，4k1，4k平面内到两定点的距离的差的绝？,，,0 (x，1)(x，4)(x，1)(x，4)2222常数(大于)的动点的轨迹叫椭 对值为常数(小于)的动点的轨圆即 迹叫双曲线即 定 义 |AB|221422222 当2，2时，轨迹是椭圆， |MP|,|MA|,(),1,(),当2，2时，轨迹是双曲线 ，可得由射影定20. 解:(1)由|AB|, 2333当2,2时，轨迹是两条射线 当2,2时，轨迹是一条线段 2 理，得 |MB|,|MP
42、|,|MQ|,得|MQ|,3, 在Rt?MOQ中， 当2，2时，轨迹不存在 当2，2时，轨迹不存在 2222 ， |OQ|,|MQ|,|MO|,3,2,5故， a,5或a,5焦点在轴上时: 所以直线AB方程是 标准焦点在轴上时: 2x，5y,25,0或2x,5y，25,0; 方 程 焦点在轴上时: (2)连接MB，MQ，设由 P(x,y),Q(a,0),注:根据分母的大小来判断焦点在哪一焦点在轴上时: 点M，P，Q在一直线上，得 坐标轴上 2y,22常数,(*)|MB|,|MP|,|MQ|,由射影定理得 ,ax ， ， 222即 把(*)及(*)消去a， x，(y,2),a，4,1,(*)的关
43、 最大， 最大，可以 系 7122x，(y,),(y,2).并注意到，可得 y,2 416焦点在轴上时: 渐近 线 焦点在轴上时: 抛物线: 1、知识框图: 双曲线的渐近线() 图 (3)离心率 形 双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率范围:e1 (4)等轴双曲线 方 定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 程 等轴双曲线的性质:a、渐近线方程为:; 焦b、渐近线互相垂直; 点 c、离心率。 准线 (5)共渐近线的双曲线系:如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程写3、椭圆的性质:由椭圆方程 成。 (1)范围:，椭圆落在组成的矩形中。 (6)共轭双曲线 (2)对称性:图象
44、关于y轴对称，图象关于x轴对称。图象关于原点对称。 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。 (3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆共有四个顶点:，。 (7)双曲线的第二定义:到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的叫椭圆的长轴，长为2 a，叫椭圆的短轴，长为2b。 轨迹是双曲线。 (8)双曲线的准线方程: (4)离心率:椭圆焦距与长轴长之比。() 对于来说，左准线，右准线; (5)椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆。 椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 对于来说，下准线;上准线。 (6)椭圆的准线方程 焦点到准线的距离(也叫焦参数)。 对于，左准线;右准线 5、抛物线的几何性质 (1)顶点:抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点. 在方程中，当y,0时，x对于，下准线;上准线 ,0，因此抛物线的顶点就是坐标原点。 (2)离心率: 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用