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1、_2x1、函数 f(x)=(2x kx + k) e(i)当k为何值时，f (x)无极值；(n)试确定实数k的值，使f (x)的极小值为02、函数 f(x) ax In x (a R).(i)假设a 2，求曲线y f(x)在x 1处切线的斜率；(n)求f(x)的单调区间；(川)设g(x) x2 2x 2，假设对任意 (0,)，均存在X20,1 ,使得f(xj g(X2)，求a的取值范围x 13、设函数f x x ae 。(I)求函数f x单调区间；(II )假设 f x0对xR恒成立，求a的取值范围；(III )对任意n的个正整数印旦 ,an记Ananq生1 eA i1,2, n (2)求证：
2、A(1)求证：An a&an4、函数f(x)a 3 xa 1 2x x b，其中 a,bR.32(I)假设曲线yf (x)在点P(2, f (2)处的切线方程为y5x 4，求函数f(x)的解析式;(n)当 a0时,讨论函数f (x)的单调性.2x5、函数f(x) (ax 2x 1) e (a R, e为自然对数的底数).(I)当时，求函数f (x)的极值；(n )假设函数f (x)在-1,1上单调递减，求a的取值范围.2x6、函数 f (x) (x 3x 3) e，设 t 2, f ( 2) m, f (t) n.(I)试确定t的取值范围，使得函数f(x)在 2,t上为单调函数；(n)试判断m
3、,n的大小并说明理由；(川)求证：对于任意的 tf (x)2“ 八22,总存在X。( 2,t)，满足x0(t 1),并确定这样的X0的个数.e37、函数f (x) ln x ax2(a 2)x.(I)假设f (x)在x 1处取得极值，求a的值；(n)求函数y f(x)在a2,a上的最大值./ 2 1 28、函数 f(x) (ax x)ln x ax x. (a R).2(I )当a 0时，求曲线y f (x)在(e, f(e)处的切线方程(e 2.718.)；(II )求函数f (x)的单调区间a9、函数f(x) (1 )ex(x 0)，其中e为自然对数的底数.x(I)当a 2时，求曲线y f
4、 (x)在(1,f (1)处的切线与坐标轴围成的面积；(n)假设函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e5，求a的值.10、函数 f (x) ax33(a 2)x2 6x 3.2(1 )当a 1时，求函数f (x)的极小值；(2)试讨论曲线y f (x)与x轴的公共点的个数。11、函数f x ex, g x ax 1 (a是不为零的常数且 a R )。(1) 讨论函数F x f x g x的单调性；(2) 当a 1时，方程f x g x t在区间 1,1上有两个解，求实数t的取值范围；(3 )是否存在正整数 N ，使得当 nN 且 nN 时，不等式1 11f 1 f
5、fL fn 2021恒成立，假设存在，找出一个满足条件的N，并证明；2 3n假设不存在，说明理由。12、设函数 f (x) ax (a 1)ln( x 1)(a1).(1 )求f (x)的单调区间；(2)当a 0时，设f(x)的最小值为g(a),假设g(a) t恒成立，求实数t的取值范围。13、设函数 f (x)= ax3-( a+b)x2+bx+c,其中 a0, b, c R.(1)假设f () =0,求函数f(x)的单调增区间；3(2)求证：当 0w x 1 时，| f (x) | max f (0), f (1).(注：maxa, b表示 a, b 中的最大值)14、函数 f (x) p
6、in x p 1 x21(I)讨论函数 f (x)的单调性；(n)当p 1时，f (x) kx恒成立，求实数k的取值范围；1 11*(川)证明：ln(n 1)1(nN ).2 3n15、 f (x)是二次函数，f (x)是它的导函数，且对任意的x R , f (x) f (x 1) x2恒成立.(I )求f (x)的解析表达式；(n )设t 0,曲线C : y f (x)在点P(t , f (t)处的切线为I , I与坐标轴围成的三角形面积为S(t).求S(t)的最小值.116、设函数f(x) x-)上, f (x)0,在区间 a al nx与g(x) x - x的图象分别交直线 x 1于点A
7、, B,且曲线y f (x)在点A处的切 a线与曲线y g(x)在点B处的切线平行。(1)求函数f(x),g(x)的表达式;(2)1时，求函数h(x) f (x) g(x)的最小值;(3)1时，不等式f (x)21 1m g(x)在x 一，上恒成立，求实数 m的取值范围。4 2函数与导数解答题1、解:(I)xf (x)(4x k)e(2x2kx k)( 1)e x=2x2(4 k)x 2ke x 2(xx2)ek 4时，f (x) (x 2)2e %0, f (x)在R上单调递减,所以，f(x)无极值(II )当 k 4时，令 f (x)2( x2)e %0，得 x1 k, x222k(1)
8、k4 时， 2，有2令f (2)0,得k=8所以，由(2)知,k=0或8时，f (x)有极小值02、解：(I )由f (x)f (1) 213.l(xx0)，故曲线yf (x)在 x1处切线的斜率为3.(n) f(x)1 ax ax xJ(x 0).当a0时，由于x 0，故ax0 , f(x) 0所以,f(x)的单调递增区间为(0,).当a0 时，由 f (x) 0 ,得 x在区间(0,1(-,)上 f (x)0 ,a所以，函数f (x)的单调递增区间为(0,11)，单调递减区间为(，).aa(川)由，转化为f(X)maxg(X)max .g(X)max 2由(n)知，当a 0时，f(x)在(
9、0,)上单调递增，值域为 R，故不符合题意当a 0时，f (x)在(0,丄)上单调递增,a1故f(x)的极大值即为最大值，f()a所以 21 ln( a),1解得a 3 12分e3、解：(I) f (x)1 aex11在(一，)上单调递减，a11 ln( )1 ln( a) , 11 分a当a 0时，f (x) 0 , f (x)在R上是增函数 2分当a 0时，令f (x)0得x 1 In a 3分假设x 1 In a那么f (x)0 ,从而f (x)在区间(,1 In a)上是增函数假设x 1 In a那么f (x) 0,从而f (x)在区间(1 In a,)上是减函数,1 In a)上是增
10、函综上可知：当a 0时，f (x)在区间(，)上是增函数。当a 0时，在区间( 数，f (x)在区间(1 In a,)上是减函数 4分把以上n个式子相乘得 印* aneL n 1 Ana1a2L an(II )由(I )可知：当a 0时，f(x) 0不恒成立5分又当a 0时，f (x)在点x 1 In a处取最大值,且f(1 In a)1In aIn a ae1In a6分令In a 0 得a1故假设f (x)0 对 xR恒成立，那么a的取值范围是1,7分(III)证明：(1)由(II )知:当a 1时恒有f(x)xex1 0成立即xx 1 ea，虫1eA .9 分Aa1 1a2 1an(2)
11、由(1)知1：a1 ex 1e ;a21亠Ae ; ;旦ne1A ， A， AAn 故 A ； aL an 1224、解：(I) f (x) ax (a 1)x 1 , 1 分由切点P(2, f (2)在直线y 5x4上可知2b 6，解得b4.-5 分所以函数f (x)的解析式为f(x)3小 2x 2x x4 . 6分2(n) f (x) ax (a 1)x 11a(x -)(xa1),-7分1当0 a 1时，1，函数f (x)在区间(f1,1)及(一，)上为增函数；由导数的几何意义得f (2)5，于是a 3 .3分aa1在区间(1, )上为减函数；9a1当a 1时，一1，函数f(x)在区间(
12、,)上为增函数； 10分a1 1当a 1时， 1，函数f(x)在区间(，)及(1,)上为增函数；aa1在区间(一，1)上为减函数. 12分a命题意图：此题考查了导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间的方法以及分类讨论的数学思想。f (x) (2xx2) e(x2 2x 1) e x(x1)(x 3) e x 2分当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：所以，当a1时，函数f(x)的极小值为f (1)0，极大值为f(3)4e 3.5 分(II ) f (x)(2ax2) e x (ax2 2x 1) exx2e ax2ax2x35、解：(I )当 a 1 时，f (x)(x22x1
13、) ex令 g(x) ax2 2(a 1)x 31,1上单调递 假设a 0，那么g(x) 2x 3，在(1,)内，g(x) 0,即f (x)0 ,函数f (x)在区间减7分 假设a 0，那么g(x) ax2 2(a 1)x 3，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x -一1 1a当且仅当 g(1)0 ,即 0 a 1 时，在(1,)内 g(x) 0 , f (x)0 ,函数f (x)在区间1,1上单调递减 9分 假设a 0，那么g(x) ax22(a1)x 3，其图象是开口向下的抛物线，g( 1)05当且仅当，即 a 0时，在(1,1)内g(x) 0 , f (x)0 ,g(1)03函数f (x
14、)在区间1,1上单调递减.11分5综上所述，函数 f(x)在区间1,1上单调递减时，a的取值范围是 5 a 112分36、解：(I)因为f (x) (x2 3x 3) ex(2x 3)ex x(x1) ex1 分由 f (x)0x 1 或x 0 ;由 f (x)00x1,所以f (x)在(,0),(1,)上递增，在(0,1)上递减3 分要使f (x)在 2,t上为单调函数，那么2 t 04 分(H)因为f(x)在(,0),(1,)上递增，在(0,1)上递减, f (x)在x 1处有极小值e5 分又 f( 2)132 e， e- f (x)在2,上的最小值为f( 2)-7分从而当t 2时，f (
15、 2) f (t)，即m n8 分f(x0)2厂 f(x)22(川)证：L X。x0，又xr(t 1),ee 32 2 2- x2 x -(t 1)2,31)2 =0在(2,t)上有解，并讨论解的2 2 2 2 2令g(x) x x (t 1),从而问题转化为证明方程g(x) x x (t3 3个数9 分22g( 2)63(t1)23(t2)(t 4),3 321g(t) t(t 1)-(t 1)2-(t 2)(t1),10分33当 t 4或 2 t 1 时，g( 2) g(t) 0,所以g(x) 0在(2,t)上有解，且只有一解 11分2 当 1 t 4 时,g( 2) 0且 g(t) 0,
16、但由于 g(0)2(t 1)2 0,3所以g(x) 0在(2,t)上有解，且有两解12分 当t1时，g(x)x2x0x0或x 1 ,故g(x)0在(2,t)上有且只有一解;当 t4 时，g(x)x2x60x 2或x 3,所以g(x) 0在(2,4)上也有且只有一解 13分I综上所述,对于任意的t 2,总存在X。( 2,t),满足丄2(t 1)2,ex03且当t 4或 2 t 1时,有唯一的x0适合题意；当1 t 4时,有两个x0适合题意.14分(说明：第(3)题也可以令(x)x2x, x ( 2,t),然后分情况证明1)在其值域内)7、解：(I)： f(x) lnx2 ax(a2)x，函数的定
17、义域为(0,).1分1- f (x)2axx(a2)21 2ax (a 2)x(2x1)(ax 1).3分xxf (x)在x 1处取得极值,即 f (1)(2 1)(a 1)0 , a 1 . 5 分当a1时,在( x1是函数y. 2-aa , 0/ x(0,),当0a-时,2fmax(x)f (a),1)内 f (x)0,在(1,)内 f (x)0，f (x)的极小值点. a 1 6分11ax 10 , f(x)在(0,丄)上单调递增；在(丄22f (x)在a2, a单调递增,In aa3 a22a ； 10 分)上单调递减,a当2a12 ,即12f(x)在(a2,1)单调递增，在(1,a)
18、单调递减,二 fmax(X)f(1)In 21 ln 2 ； 11 分24当2a21时,2f (x)在a , a单调递减, f max( x)f(a2)2ln a32八a 2a . 12 分综上所述，当函数yf (x)在a2, a上的最大值是ln a a3 a2 2a2af (x)在a ,a上的最大值是1 ln 2 ；4时，函数y f (x)在a2,a上的最大值是2lna a5 a3 2a2. 13分 28、解：(I )当a 0 时，f (x) x xln x， f (x)In x，所以 f(e) 0 , f (e)1 ,所以曲线y f (x)在(e, f (e)处的切线方程为y x e.(I
19、I )函数f (x)的定义域为(0,)1f (x) (ax x) (2ax 1)ln x ax 1(2ax 1)ln x, xa 0 时，2ax 10,在(0,1)上 f (x)0,在(1,)上 f(x)0当所以f (x)在(0,1)上单调递增，在(1,)上递减;当所以1110 a 时，在(0,1)和(一，)上 f (x) 0，在(1,)上 f (x) 022a2a1 1f (x)在(0,1)和(丄，)上单调递增，在(1,丄)上递减； 2a2a10分当1a 时，在2(0,)上 f(x)0 且仅有 f (1) 0 ,所以f(X)在(0,)上单调递增;12分当1a 时，在21 1(0,)和(1,)
20、上 f (X)0,在(一，1)上 f (x)02a2a所以2af (x)在(0,亠)和(1,)上单调递增，在(*,1)上递减 2x ax a x 八2 e , 3 分xX22x 2 Xf (x)2 e , f (1)9、解：(I) f(X)当a 2时,14分所以曲线ye, f(1) e,f (x)在(1,f(1)处的切线方程为ex2e，y轴的交点坐标分别为(2,0),1所以，所求面积为一2 2e 2e.7分2切线与X轴、(0,2e)，6 分(n)因为函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点,所以，方程2x axa 0在(0,)内存在两个不等实根,那么a 0.4a 0,9分所以a 4 .10分
21、设x1,x2为函数f (x) 那么 x-i x2 a, x-|X2的极大值点和极小值点,因为，f(Xjf(X2)a , 11 分e5,所以,即 MX? a(X1 X2)x1x22-eX1 X2e5,X1a ce1X12a aX2ax,eX22 a a 5 e e ,e5a解得，a 5，此时f (x)有两个极值点，所以a 5 .14分,12分I、函数的宦艾域九-1,.心胡占2x(1+2)S0 得 jt?Q； ft yx) 0 S -1 r 0 * 2 分丄斗工冬ce-.当 ri-i-g 时，/的最大值为F2.610、故当m0-2时，不等式才3 5恒戏立.(川)方程 f(x) X2 X a, X
22、a 1 2ln(1 x) 0.记 g(x) x a 1 2ln(1 x),g/(x) 1 各1 x为使方程fx x2x a在区间0,2上恰好有两个相异的实根,由 g/(x) 0,得 x1 或 x 1或 w 0时，贝y f (x)在0,1上是单调函数，3a3a所以 f (1) w f (x) w f (0)，或 f (0) w f (x) w f (1)，且 f (0) + f (1)=a0.所以 | f (x) | w max f (0), f (1).2 2当 ov 1，即-av bv 2a,那么 -_b_ab w f (x) w max f (0), f (1). 3a3a(i)当-av
23、bw -时，贝U 0v a+bw 翌.所以f2 2a b ab3a2 22a b 2ab2 23a (a b)3a12分所以 | f (x) | w max f (0), f (1).(ii)当旦 3a3a3a2- 0，即 f (0) a b? ab3a所以 | f (x) | w max f (0), f (1).214、解：(I) f (x)的定义域为(0, +s), f x2 P 1 x 2 P 1 xP .2xx1时,0时,f (x) 0, 故 f(x)在(0, +R)单调递增;f (x) v 0,故 f (x)在(0, +s)单调递减;时，令f (x) =0,解得xV 2 P 1那么
24、当x0. 2PP1时，f(x) 0 ； 2P时，f (x) v 0.故f(x)在0, V 2 P单调递增，在2PP单调递减.(n)因为x0，所以当1时，f (x) kx恒成立In x kxh( x) max ,令 h(x) 3，那么 kxIn x2 ，由 h(x)0得 x 1 ,x因为h(x)所以h(x)在(0,1)上递增，在(1,)上递减.所以 h(x)maXh(1)1，故k110分(川)由(n)知当k 1时，有f(x)x ,当x1时，f (x)x 即 In xx 1,人n1令x那么In n1 1，即In(n1) In1 n _- 12 分nnnn2 131n 11所以In,In ,In1
25、122nn2相加得InIn3.n In112n2n23n 123n 1In(n 1)而 InInInIn 一1 2n12n所以In(n 1)111*1 ,(nN ). 4 1钿23n15、解：(I )设 f (x) ax2 bxe (a0),那么f(x)2axb ,(2分)且当0.f (x 1) a(xx (0,1)时，h(x)0 ；当 x (1,)时，h(x)1)2 b(x21) c ax (2 a b)x a be J3当 t3 时，S(t)30 , S(t)是增函数(11 分)4.3S(t) minS 39 .(12 分)16、解：(1)由 f (x) x2aln x，得 f (x)c
26、22x a当0 txa 10二 2a b 2a，解之，得 a 1, b 0, c 1 ,a b c b二 f (x) x21 . (4 分)2(n)由(1)得，p(t,1t )，切线 I 的斜率k f (t)2t,切线 I 的方程为 y(1t2) 2t(x t)，即 y 2tx t21 (6分)从而I与x轴的交点为A1 ,0) , l与y轴的交点为B(02t2 1), S(t)- S(t)2 2(其中 t 0)4t(t21)(, 3t 1)( ：3t 1)(8分)4t2(9分)3时，S(t)0 , S(t)是减函数;3由 g(x)J，故a2a2，或a所以当a 2时，f (x)2ln x , g
27、(x)2x x ；1 2 当a列寸,f(x) x1 ln x,2g(x) 2x . x .由于两函数的图象都过点(1,1),因此两条切线重合，不合题意，故舍去21L所求的两函数为f(x) x2l nx, g(x) x x 6分(2)当 a 1 时，h(x) f(x) g(x) x2 2lnx -x x，得2-4(x x x x 1) x(x 1), 8分2x由 x 0,得 4(x x x x J X 0, 2x当 x (1,)时，h(x) O,h(x)递增,所以函数h(x)的最小值为h(1) 12ln110分(3) a12，1 1当 x -,-)时，f(x)4 2f(x) x2|nx, g(x)22 1x In x,22xf (x)2x 0,2x1 1f (x)在 丄,丄上为减函数,4 2f(x)、f(1)丄 In 2 0 ,212分1 1当 x 4,2)时，g(x) 2x x , g (x)2Tx1 0，1 1g(x)在42上为增函数，1 g(x) g(-)0 . 14 分要使不等式f (x) m g(x)在x1 1 14,2上恒成立，当x ；时，m为任意实数;当x (1,1时，m凹，而4 2g(x)f (x) g(x) ming(1)In(4e).所以 m 竖PIn(4e) 416分12. x ax x，得g (x).又由题意可得f (1) g (1),a2a. x