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1、(DOC)-2010届高考数学快速提升成绩题型训练抽象函数2010届高考数学快速提升成绩题型训练抽象函数 分享智慧泉源 智愛學習 传扬爱心喜乐 2010届高考数学快速提升成绩题型训练 抽象函数 1. 已知函数y = f (x)(x?R，x?0)对任意的非零实数x1，x2，恒有f(x1 试判断f(x)的奇偶性。 解:令x1= -1，x2=x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) ? 为了求f (-1)的值，令x1=1，x2=-1， 则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0, 再令x1=x2=-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) ?f(-1)=0代入?式得 x2)
2、=f(x1)+f(x2), f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。 2上的偶函数，f (x)在区间0，2上单调递减，若f 2 已知定义在-2，(1-m)f (m),求实数m的取值范围 分析:根据函数的定义域，-m，m?-2,2， 但是1- m和m分别在-2，0和0，2的哪个区间内呢, 如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数， 则f (x)有性质f(-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一场大规模讨论。 解:?f (x)是偶函数， f (1-m)f(m) 可得f(,m) f(m)， ,m m?f(x)在0，2上是单调递减的，于是 ， 0 ,m 2 0 m 2 1,2m,
3、m2 m21即 ,2 1,m 2 化简得-1?m0. 22 *(1)求f(1); (2)求和f(1),f(2),f(3),.,f(n)(n N); (3)判断函数f(x)的单调性,并证明. (1)解:令m n (2)?111，则11f(,) 2f(),22222 f(1) 1 21111f(1) ,f(n,1) f(1),f(n), ,f(n), f(n),1 2222 Wisdom&Love 第 3 页 (共 8 页) 2013年3月24日星期日 ? f(n,1),f(n) 1 ?数列 f(n) 是以 12 为首项,1为公差的等差数列,故 n2nn(n,1) f(1),f(2),f(3),.
4、,f(n)=,= 222 (3)任取x1,x2 R,且x1 x2,则f(x2),f(x1) f(x2,x1),x1,f(x1) f(x2,x1),f(x1),f(x1) f(x2,x1), = 1 21 2 1 f(x2,x1,) 0 2 ? 14.函数 f(x1) f(x2) ?函数f(x)是R上的单调增函数. f(x)的定义域为R,并满足以下条件:?对任意x R,有f(x)0;?对任意x,y R,有f(xy) f(x)y;? 1 f() 1. 3 (1)求f(0)的值; (2)求证: f(x)在R上是单调减函数; 2 (3)若a b c 0且b ac,求证:f(a),f(c) 2f(b).
5、 f(x)0, ?令x 0,y 2得,f(0) f(0)2 f(0) 1 11 (2)任取任取x1,x2 R,且x1 x2,则令x1 p1,x2 p2,故p1 p2 33 ?函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件:?对任意x R,有f(x)0; 1y ?对任意x,y R,有f(xy) f(x);?f() 1 3 111p1p ?f(x1),f(x2) f(p1),f(p2) f()1,f()2 0 ?f(x1) f(x2) 3333 ?函数f(x)是R上的单调减函数. (1)解: ?对任意x R,有(3) 由(1)(2)知， f(b) f(0) 1，?f(b) 1 a ?f(a) f(b )
6、 f(b) b,f(c) b a b c c b f(b) b ? f(a),f(c) f(b) , f(b) abcb ，而 a,c 2b ? 2f(b) ? f(a),f(c) 2f(b) 15.已知函数时,0 f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有 f(m,n) f(m) f(n),且当x 0 f(x) 1. f(0) 1,且x 0时,f(x)1; (2)证明: f(x)在R上单调递减; (1)证明:(3)设A=(x,围. y)f(x2) f(y2) f(1),B=(x,y)f(ax,y,2) 1,a R,若A B= ,试确定a的取值范 m 0,n 1,则f(0,1) f(0) f(
7、1) ?当x 0时,0 f(x) 1,故f(1) 0,?f(0) 1,?当x 0时,0 f(x) 1 (1)证明:令?当x 0时, ,x 0,则f(,x,x) f(,x) f(x) f(x) x,x2 R,且x1 x2,则 f(0)1 1 f(,x)f(,x) (2)证明: 任取1 Wisdom&Love 第 4 页 (共 8 页) 2013年3月24日星期日 f(x2),f(x1) f(x2,x1),x1,f(x1) f(x2,x1) f(x1),f(x1) f(x2,x1),1f(x1) x2,x1 0, ?00 f(x2,x1) 1, 故 f(x2,x1),10 y=F(x)的图象上任一
8、点, ?F(x)是R上的增函数; (2)设M(x0,y0)为函数则点M(x0,y0)关于点( a ,0)的对称点为N(m,n),则 2 y,nax0,m ,故m a,x0,n ,y0 ,0 0 222 ?把m a,x0,代入F(x) ?函数 17.已知函数(1)求 f(x),f(a,x)得, f(a,x0),f(a,a,x0) f(a,x0),f(x0)=-y0 a y=F(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形. 2 f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线x 1对称. f(0)的值; (2)证明: 函数f(x)是周期函数; (3)若f(x) x(0 x 1),求当x R时,函数f(
9、x)的解析式,并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象. (1)解:?令 f(x)为R上的奇函数, ?对任意x R,都有f(,x) ,f(x), f(x)为R上的奇函数, ?对任意x R,都有 f(,x) ,f(x), ?f(x)的图象关于直线x 1对称, ?对任意x R,都有f(1,x) f(1,x), (2)证明: ? Wisdom&Love 第 5 页 (共 8 页) 2013年3月24日星期日 x 0,则f(,0) ,f(0) ?f(0)=0 ? 用1,? x代x得, f(2,x) f1,(1,x) f(,x) ,f(x) f2,(2,x) ,f(x,2) ,f(x) f(x),
10、即f(4,x) f(x) f(x)是周期函数,4是其周期. (3)当 x ,1,3,时， x(,1 x 1) f(x) ,x,2(1 x 3) 当当 ? 4k,1 x 4k,1时，f(x) x,4k，k Z 4k，k Z 18) f(x),f(y),f(x)是减函数。 (1)证明:(2)若 f(1) 0; f(x),f(x,3) 2成立，求x的取值范围。 (1)证明:令(2)? 19(设函数有 x y 1，则f(1 1) f(1),f(1)，故f(1) 0 f(2) 1，令x y 2，则f(2 2) f(2),f(2) 2， ? f(4) 2 f(x),f(x,3) 2 fx(x,3) f(4
11、) f(x2,3x) f(4) x2,3x 4 ,1 x 4 f(x),f(x,3) 2成立的x的取值范围是,1 x 3。 ， f(x)在(, , )上满足f(2,x) f(2,x)f(7,x) f(7,x)，且在闭区间,0，7,上，只 f(1) f(3) 0( y f(x)的奇偶性; f(x)=0在闭区间,-2005，2005,上的根的个数，并证明你的结论( y f(x)的对称轴为x 2和x 7, (1)试判断函数(2)试求方程 19(解:(1)由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数从而知函数由 y f(x)不是奇函数, f(2,x) f(2,x) f(x) f(4,
12、x) f(4,x) f(14,x) f(7,x) f(7,x) f(x) f(14,x) f(x) f(x,10), 从而知函数又 y f(x)的周期为T 10 f(x) f(14,x) f(3) f(0) 0,而f(7) 0,故函数y f(x)是非奇非偶函数; f(2,x) f(2,x) f(x) f(4,x)(2)由f(4,x) f(14,x) f(x) f(x,10) f(7,x) f(7,x) 又 f(3) f(0) 0,f(11) f(13) f(,7) f(,9) 0 y f(x) 故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,2005上有402个解,在-200
13、5.0上有400个解, 所以函数y f(x)在-2005,2005上有802个解. 20. 已知函数f(x)对任意实数x，y，均有f(x，y),f(x)，f(y)，且当x,0时，f(x),0，f(,1),2，求f(x)在区间,2，1上的值域。 解:设? ，?当 ， Wisdom&Love 第 6 页 (共 8 页) 2013年3月24日星期日 ，? ， ? ，即 ，?f(x)为增函数。 在条件中，令y,x，则， 再令x,y,0，则f(0),2 f( 0)， ? f(0),0，故f(,x),f(x)，f(x)为奇函数， ? f(1),f(,1), 2，又f(,2),2 f(,1),4， ? f(
14、x)的值域为,4，2,。 21. 已知函数f(x)对任意等式解:设?当则即 ? 又?f(3),5，?f(1),3。? ， 即 ， ，解得不等式的解为,1 a 3。 ，使得 ，对任何x和y， ，?f(x)为单调增函数。 ， ，?的解。 ， ， ， ，满足条件f(x)，f( y),2 + f (x，y)，且当x,0时， f(x),2，f(3),5，求不 22. 设函数f(x)的定义域是(,?，?)，满足条件:存在成立。求: (1)f(0); (2)对任意值x，判断f(x)值的正负。 解:(1)令y, 0代入 若f(x), 0，则对任意 ?f(x)?0，?f(0),1。 ，则，有 ，? 。 ，这与题
15、设矛盾， (2)令y,x?0，则 又由(1)知f(x)?0，?f(2x),0， 即f(x), 0，故对任意x，f(x),0恒成立。 ， 23. 是否存在函数f(x)，使下列三个条件:?f(x),0，x ?N;?时成立,若存在，求出f(x)的解析式，如不存在，说明理由。 分析:由题设可猜想存在 ， ，用数学归纳法证明如下: ， ，结论正确。 时有 ， ，?x,k，1时，结论正确。 ;?f(2),4。同 又由f(2),4可得a,2(故猜测存在函数(1)x,1时，? 又?x ?N时，f(x),0，?(2)假设则x,k，1时， 综上所述，x为一切自然数时。 24. 设函数y,f(x)的反函数是y,g(
16、x)。如果f(ab),f(a)，f(b)，那么g(a，b),g(a)g(b)是否正确，试说明理由。 解:设f(a),m，f(b),n，由于g(x)是f( x)的反函数， ?g(m),a，g(n),b，从而?g(m)g(n),g(m，n)， 以a、b分别代替上式中的m、n即得g(a，b),g(a)g(b)。 25. 己知函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足以下三条件: ?当是定义域中的数时，有 ?f(a),1(a,0，a是定义域中的一个数); ?当0,x,2a时，f(x),0。 解:(1)?f(x)的定义域关于原点对称， 且 是定义域中的数时有 ; ， ， Wisdom&Love 第 7 页
17、 (共 8 页) 六、教学措施：2013年3月24日星期日 135.215.27加与减（三）4 P75-80? （2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。在定义域中。 ， 3、通过教科书里了解更多的有关数学的知识，体会数学是人类在长期生活和劳动中逐渐形成的方法、理论，是人类文明的结晶，体会数学与人类历史的发展是息息相关。? （2）圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.?f(x)是奇函数。 弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.(2)设0,x1,x2,2a x2,x1,2a， ，则0,推论: 在同圆或等圆中,如果两个
18、圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.?在(0，2a)上f(x),0， ?f(x1)，f(x2)，f(x2,x1)均小于零，进而知 于是f(x1), f(x2)， ?在(0，2a)上f (x)是增函数。又?f(a),1，? 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.， 中的 三三角函数的计算， ， ?f(2a),0，设2a,x,4a，则0,x,2a,2a， 于是f(x),0，即在(2a，4a)上f(x),0。 二、学生基本情况分析：设2a,x1,x2,4a，则0,x2,x1,2a，从而知f(x1)，f(x2)均大于零。 f(x2,x1),0， ， ?，?， 即f(x1),f(x2)，即f(x)在(2a，4a)上也是增函数。 综上所述，f(x)在(0，4a)上是增函数。 Wisdom&Love 第 8 页 (共 8 页) 2013年3月24日星期日