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1、WORD文档可编辑大一高等数学微积分期末试卷选择题(6X2)1 .设f(x) =2cosx,g(x) =(l)sinx在区间(0二)内()22Af(x)是增函数，g(x)是减函数Bf (x)是减函数，g(x)是增函数C二者都是增函数D二者都是减函数2 、 x 0时,e2x -cosx与sin x相比是()A高阶无穷小B低阶无穷小C等价无穷小D同阶但不等价无价小13、x = 0 是函数 y = ( 1 -sinx) x的()A连续点B可去间断点C跳跃间断点D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为()1n 二A X n =( -1)n B Xn =sin n21 ,1C Xn = (a
2、 1) D Xn =cos- an5、若f (x)在X0处取得最大值，则必有()AfX0) =oBfX0) ：oCf/(X。)=0且f( Xo)0x2 若 f (x) =(x3 +10)4，求f ”(0)f (x) =4(x3 10)3 3x2 =12x2(x3 10)333232233432解：f”(x)=24x (x 10)12x 3 (x 10) 3x =24x (x 10)108x (x 10).f (x) =0423 求极限 lim(cos x)x技术资料专业分享解：原式=lim e?I ncosx4 Incosxx )0*/ limx.0jncosx= limIn cosxx 0-
3、(-sinx): lim 吟x 0-limx 0- tanxx lim x 0 x54 求y =(3x -1)3上!的导数x -2解:In y =5115 In 3x-1 +1In x-1,In322x-2,1531111y 二-y 3 3x-1 2 x -1 2 x-25y =(3x-1)3x-15x -2 |L3x -1+2(x-1)5 tan3xdx解：原式=/tan2xtan xdx = J(sec2x 1)tanxdx2-sec x tan xdx - tan xdx=tan xd tan x -=tanxd tan x -sin x , dxcosx1.d cos xcosx= 1
4、tan2 x + In cosx26求xarctanxdx131412122角牛： 原式=- arctanxd(x ) = -(x arctanx x darctanx)=1 (x2 arctanx- 2x2 1-1.、dx)1 x=1 x2 arctanx - (11)dx2 _1 x22_1 x , x=arctanx c22四、证明题。31、证明万程x +x -1 =0有且仅有一正实根。证明：设 f (x) =x3 , x -1；f (0) = 1 0,且f(x)在0,1 上连续J.至少存在t W (0,1)，使得f (q =0即f(x)在(0,1)内至少有一根，即f(x)=0在(0,十
5、比)内至少有一实根假设f(x)=0ft (0,+)有两不同实根x1, ”, x2 AxiV f (x)在1x2, x2 上连续，在(x2, x2)内可导且f (x1) = f (x2) =0二至少 mtw (x2,x2) , s tf d) =0而f ( ) = 3 2-1 -1与假设相矛盾二方程x3 +x -1 =0有且只有一个正实根2、证明 arcsinx+arccosx = 一( -1 x 1)2证明： 设 f (x) = arcsinx arccosx1 1f (x)0,x1-1,1.1-x2、1.x2,31f(x)= c 二 f (0)= arcsin0 arccos0 二一71f(
6、1)=arcsin1 arccos1 = 一2冗f (-1)=arcsin(-1) arccos(-1) =2，综上所述，f(x) = arcsinx + arccosx =，x 1-1,12五、应用题1、描绘下列函数的图形2 1y = x _ x解：1.Dy=（-二,0） （0,十二）o 12x3 -12.y=2x-=2 x x令y=0得x = gy=2 马 x令y“ = 0,得 x = -13.X（-8厂1）-1（-1,0）0（0,汨）（厢产）Y不存 在+Y、+0+y、凹拐点 （-1.0）/凸、凹极小/凹、,、,71794.补充点（-2，2）.（-2，-）.（1,2）.（2,-）5lim f （x）=吗二f（x）有铅直渐近线x = 0x02.讨论函数f(x)=x2Inx2的单调区间并求极值解：Df(x)=R2 2(x-1)(x 1)f (x) = 2x -=-(x = 0)x x令f (x) =0,得x1 = 1,x2 =1X(-8 厂1)-1(1。)0(0,1)1(1,+ 8)Y0 _+不存在0 _+y极小值/极值/由上表可知f(x)的单调递减区间为(_9_1)和(0,1)单调递增区间为(1,0)和(1 +a)且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1