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1、XX高一数学必修1第一章知识点总结本资料为woRD文档,请点击下载地址下载全文下载地址第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 . 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: 元素的确定性如:世界上最高的山 元素的互异性如:由HAPPy的字母组成的集合H,A,P,y 元素的无序性:如:a,b,c和a,c,b是表示同一个集合 3.集合的表示:如:我校的篮球队员,太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 用拉丁字母表示集合:A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 集合的表示方法:列举法与描述法。 u 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实
2、数集R ) 列举法:a,b,c 2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。x?R|x-32,x|x-32 3) 语言描述法:例:不是直角三角形的三角形 4) Venn图: 4、集合的分类: 有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合 空集 不含任何元素的集合例:x|x2=-5 二、集合间的基本关系 .“包含”关系子集 注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B 是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系:A=B 实例:设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”
3、 即:任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集:如果AB,且A1B那就说集合A 是集合B的真子集,记作AB 如果AB,Bc,那么Ac 如果AB 同时BA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 u 有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集 三、集合的运算 运算类型 集 并 集 补 集 定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集.记作AB(读作A交B),即AB=x|xA,且xB. 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:AB(读作A并B),即AB=x|xA,或xB)
4、. 设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集) S A 记作,即 cSA= 韦 恩 图 S A 性 质 AA=A A=AB=BA ABA ABB AA=A A=A AB=BA AB A ABB =cu =cu A =U A =.例题: .下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家c一切很大的书D倒数等于它自身的实数 2.集合a,b,c的真子集共有 个 3.若集合m=y|y=x2-2x+1,xR,N=x|x0,则m与N 的关系是 . 4.设集合A=,B=,若AB,则的取值范围是 5.50名学生做的物理、化
5、学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人,两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有 人。 6.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合m= . 7.已知集合A=x|x2+2x-8=0,B=x|x2-5x+6=0,c=x|x2-mx+m2-19=0, 若Bc,Ac=,求m的值 二、函数的有关概念 .函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f,xA.其中,x 叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;
6、与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f|xA叫做函数的值域. 注意: .定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: 分式的分母不等于零; 偶次方根的被开方数不小于零; 对数式的真数必须大于零; 指数、对数式的底必须大于零且不等于1. 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. 指数为零底不可以等于零, 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. u 相同函数的判断方法:表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);定义域一致 2.值域:先考虑其定义域 观察法 配方法
7、 代换法 3.函数图象知识归纳 定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f,中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P的集合c,叫做函数y=f,的图象.c上每一点的坐标均满足函数关系y=f,反过来,以满足y=f的每一组有序实数对x、y为坐标的点,均在c上. 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 ) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之
8、对应,那么就称对应f: AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系): A(原象)B(象)” 对于映射f:AB来说,则应满足: 集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的; 集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个; 不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 各部分的自变量的取值情况. 分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数 如果y=f,u=g,则y=fg=F 称为f、g的复合函数。 二.函数的性质 .函数的单调性 (1)增函数 设函数y=f的定义域为I,如果
9、对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x12时,都有f2),那么就说f在区间D上是增函数.区间D称为y=f的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x12时,都有ff,那么就说f在这个区间上是减函数.区间D称为y=f的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2)图象的特点 如果函数y=f在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f在这一区间上具有单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. .函数单调区间与单调性的判定方法 定义法: 任取x1,x2D,且x12; 2作差f-f; 3变形(通常是因式分解
10、和配方); 4定号(即判断差f-f的正负); 5下结论(指出函数f在给定的区间D上的单调性). 图象法 复合函数的单调性 复合函数fg的单调性与构成它的函数u=g,y=f的单调性密切相关,其规律:“同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数f的定义域内的任意一个x,都有f=f,那么f就叫做偶函数. (2).奇函数 一般地,对于函数f的定义域内的任意一个x,都有f=f,那么f就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
11、利用定义判断函数奇偶性的步骤: 首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 2确定f与f的关系; 3作出相应结论:若f=f或f-f=0,则f是偶函数;若f=-f或f+f=0,则f是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,再根据定义判定;由ff=0或f/f=1来判定;利用定理,或借助函数的图象判定. 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: ) 凑配
12、法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 0.函数最大(小)值(定义见课本p36页) 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值2利用图象求函数的最大(小)值 3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=f在区间a,b上单调递增,在区间b,c上单调递减则函数y=f在x=b处有最大值f; 如果函数y=f在区间a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增则函数y=f在x=b处有最小值f; 例题: .求下列函数的定义域: 2.设函数的定义域为,则函数的定义域为_ _ 3.若函数的定义域为,则函数的定义域是 4.函数 ,若,则= 5.求下列函数的值域: 6.已知函数,求函数,的解
13、析式 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。7.已知函数满足,则= 。 第二章 二次函数8.设是R上的奇函数,且当时,则当时= 在R上的解析式为 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。(4)直线与圆的位置关系的数量特征:9.求下列函数的单调区间: 3、思想教育，转化观念端正学习态度。 10.三角函数的应用156.46.10总复习4 P84-90 84.164.22有趣的图形1 整理复习20.判断函数的单调性并证明你的结论. 2、第四单元“有趣的图形”。学生将经历从上学期立体图形到现在平面图形的过程，认识长方形，正方形，三角形，圆等平面图形，通过动手做的活动，进一步认识平面图形，七巧板是孩子喜欢的拼图，用它可以拼出很多的图形，让孩子们自己动手拼，积累数学活动经验，发展空间观念能设计有趣的图案。1.设函数判断它的奇偶性并且求证:. （1）一般式：