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1、高等数学竞赛训练题精选一、马克老林公式与泰勒公式的应用1. 当x?0时，x?sinxcosxcos2x与cx为等价无穷小，则c?。 k二、利用罗比达法则求极限1112. 若当x?且趋向于时，?3arccosx与a(x?)b为等价无穷小，则 222a?b?xx?x3. 求lim。 x?1lnx?x?14. 求limsin(sinx)?sin(sin(sinx)。 x?0(sinx)3t?5. 求limx?(1?)x?et?。 x?x?xx1a1x?a2an)x。 6. 求lim(x?0n三、导数在几何上的应用7. 设f(x)在?0,?上可导，f(0)?0，f?(x)单调上升，求证：f(x)在?0
2、,?上x单调上升。8. 已知g(x)在区间?a,b?上连续，且函数f(x)在?a,b?上满足f?gf?f?0，又f(a)?f(b)?0，证明：f(x)在闭区间?a,b?上恒为一个常数。四、导数在几何上的应用9. 设f(x)在?0,?上二阶可导，f(0)?0,f?(0)?1,f?(x)?f(x),求证：x?0时，f(x)?ex。10. 假设f(x)?a1sinx?a2sin2xansinnx，其中a1,a2?an是实数，且f(x?si，试证明：a1?2a2nan?1参考答案：1. 应用三角函数化简得11 x?sinxcosxcos2x?x?sin2xcos2x?x?sin4x 241 由于sin
3、x?x?u3?o(u3),所以 3!1?1? x?sinxcosxcos2x?x?4x?(4x)3?o(x3)? 4?6?x?x?133833?4x?o(x)?x?o(x) 32438因x?0时，原式cxk,所以c?,k?3. 32. 因为1x?2lim?3arccosx1a(x?)b26?lim?lim?1 111b?1x?x?(x?)b?12ab(x?)222所以b?1?6,于是a?b?1.3. 应用罗比达法则，并应用取对数求导法则，有xx(xlnx)?1xx(1?lnx)?1xx(1?lnx)2?xx?1?lim?lim?2 原式?limx?1x?1x?111?x?1?1x4. 令sin
4、x?tsint?sin(sint)cost?cos(sint)cost1?cos(sint)?lim?limcost 原式?lim 322t?0t?0t?0t3t3t(sint)2t21 ?limcost2?lim2?。 t?0t?03t3t615. 令r? xt(1?rt)?ee? limx?(1?)x?et?lim?etlimx?r?0?xr?r?0?1rt1ln(1?rt)?tr?1rt?tln(1?rt)?rt?rtt2tttt?elim?elim?telim?er?0?r?0?r?0?2r(1?rt)r22r2xxln(a1x?a2an)?lnn) 6. 原式?exp(limx?0x
5、?exp(lim1x(a1xlna1?ax2lna?2?anlnan) xxxx?0a?aa12n1 ?exp(lna1?lna2lnan) n?exp(ln(a1a2?an)?(a1a2?an)7. 令F(x)?f(x)(x?0)，则 xxf?(x)?f(x)xf?(x)?(f(x)?f(0)F?(x)? x2x21n1n应用拉格朗日中值定理，? ?(0,x)，使得) f(x)?f(0?)?f?( x于是F?(x)?x(f?(x)?f?()f?x?(f)?()? x2x由于f?(x)单调上升，所以f?(?)?f?(x)，代入上式得F?(x)?0，故F(x)单调增。8. 假设f(x)在?a,b
6、?上不恒为常数，则由f(x)的连续性及f(a)?f(b)?0知? x0?(a,b)，使得f(x0)是f(x)在?a,b?上的最值。由费马定理，有f?(x0)?0，从而f?(x0)?f(x0)。若f(x0)是最小（大）值，必有f(x0)?0 (?0)，从而f?(x0)?0 (?0)。又根据f?(x0)?0 (?0)可知f(x0)是极大（小）值，这与f(x0)是最小（大）值矛盾，故f(x)在?a,b?上恒为常数。9. 令F(x)?e?xf(x)，则F?(x)?ex(?f(?x)f( x)令G(x)?ex(f?(x)?f(x)，则 G?(x)?ex(f?(x)?f(x)?0?G(x)? G(x)?G(0)?f?(0)?f(0)?0 ?f?(x)?f(x)?0?F?(x)?e?x(f?(x)?f(x)?0 ?F(x)? F(x)?e?xf(x)?F(0)?1 由此可得f(x)?ex。10. 根据题意，有f?(0)?(a1cosx?2a2cos2xnancosnx) ?a1?2a2nan a1?2a2nan?f?(0)?limx?0x?0 f(x)?f(0)f(x) ?limx?0xx 由题意知x?0时f(xsi ?xx由极限的局部保号性得limx?0f(x)sinx?lim?1 x?0xxf(x)?1 x 故a1?2a2nan?limx?0【高等数学竞赛训练题精选】5