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1、人教版八年级数学 上册,等腰三角形 第1课时,学习目标：1探索并证明等腰三角形的两个性质 2能利用性质证明两个角相等或两条线段相等3结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴 对称在研究几何问题中的作用 学习重点： 探索并证明等腰三角形性质,活动一：细心观察,活动一：细心观察,活动一：细心观察,活动一：细心观察,共同特点,活动一：细心观察,等腰三角形,A,B,C,等腰三角形:,有两条边相等的三角形, 叫做等腰三角形.,等腰三角形的概念,相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,底边与腰的夹角叫做底角.,两腰所夹的角叫做顶角,腰,腰,底边,顶角,底角,回忆,1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,那
2、么它的周长是 ； 2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,那么它的周长是 ； 3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,那么它的周长是 。,10 cm,10 cm 或 11 cm,19 cm,等腰三角形是轴对称图形吗？,等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。,温故知新,如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去绿色局部,再把它展开,得到的ABC有什么特点?,A,B,C,AB=AC,等腰三角形,活动二：动手操作,上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？,A,B,C,D,把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：,等腰三角形除了两腰相等以
3、外,你还能发现它的其他性质吗?,AB=AC,BD=CD,AD=AD,B=C,ADB=ADC,BAD=CAD,活动三：细心观察 大胆猜测,：ABC中，AB=AC,求证：B=C,分析：1.如何证明两个角相等？,活动四：猜测与论证,等腰三角形的两个底角相等。,2.如何构造两个全等的三角形？,： 如图，在ABC中，AB=AC.求证： B= C.,等腰三角形的两个底角相等。,D,证明：,作底边的中线AD，那么BD=CD,AB=AC ( ),BD=CD ( 已作 ),AD=AD (公共边), BAD CAD (SSS)., B= C (全等三角形的对应角相等).,在BAD和CAD中,方法一：作底边上的中线
4、,： 如图，在ABC中，AB=AC.求证： B= C.,等腰三角形的两个底角相等。,D,证明：,作顶角的平分线AD，那么1=2,AB=AC ( ),1=2 ( 已作 ),AD=AD (公共边), BAD CAD (SAS)., B= C (全等三角形的对应角相等).,方法二：作顶角的平分线,在BAD和CAD中,1,2,： 如图，在ABC中，AB=AC.求证： B= C.,等腰三角形的两个底角相等。,D,证明：,作底边的高线AD，那么BDA=CDA=90,AB=AC ( ),AD=AD (公共边), RtBAD RtCAD (HL)., B= C (全等三角形的对应角相等).,方法三：作底边的高
5、线,在RtBAD和RtCAD中,用符号语言表示为：,在ABC中， AC=AB B=C 等边对等角,等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等,简称“等边对等角,归纳总结,想一想:,刚刚的证明除了能得到BC 你还能发现什么?,ABAC,BDCD,ADAD,B C.,BAD CAD,ADB ADC,=90,等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互为重合.,猜测,1如图，ADBC，ABAC.求证：BDCD，12.,2如图，BDCD，ABAC.求证：ADBC，12.,3如图，12，ABAC.求证：ADBC，BDCD.,大胆猜测,1如图，ADBC，ABAC. 求证：BDCD，12.,证明：
6、在RtABD和RtACD中,RtABDRtACDHL,BDCD，12,2如图，BDCD，ABAC. 求证：ADBC，12.,证明：在ABD和ACD中,ABDACDSSS,ADBADC，12,又ADBADC180,ADBADC90即ADBC,3如图，12，ABAC. 求证： ADBC，BDCD.,证明：在ABD和ACD中,ABDACDSAS,ADBADC，BDCD,又ADBADC180,ADBADC90即ADBC,(简写成三线合一),性质2 等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合,性质3 等腰三角形是轴对称图形，其顶角的平分线底边上的中线、底边上的高所在的直线就是等腰三角形的对
7、称轴。,归纳总结,1、等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线， 又是底 边上的高。,应用格式：ABAC 12BDDC ADBC等腰三角形三线合一,2、等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是顶角平分线。,应用格式：ABAC BDDC ADBC 12 等腰三角形三线合一,3、等腰三角形的底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角平分线。,应用格式：ABAC ADBC BDDC 12 等腰三角形三线合一,性质2可分解成下面三个方面来理解：,归纳总结,画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？,不重合！,“三线合一应该对应等腰三角形的顶角平分线，底边上的
8、中线和底边上的高,1. 根据等腰三角形性质2填空,在ABC中， AB=AC，,(1) ADBC，_ = _，_= _.,(2) AD是中线，_ ，_ =_.,(3) AD是角平分线，_ _ ，_ =_.,BAD,CAD,CAD,BD,CD,AD,BC,BD,BAD,BC,AD,CD,知一线得二线 “三线合一可以帮助我们解决线段的垂直、相等以及角的相等问题。,2、等腰三角形一个底角为70,它的顶角为_.,3、等腰三角形一个角为70,它的另外两个角为 _.,4、等腰三角形一个角为110,它的另外两个角为_., 顶角度数+2底角度数=180, 0顶角度数180, 0底角度数90,结论: 在等腰三角形
9、中,40 ,35 ，35 ,70,40 或 55,55,例1、如图，在ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数。,1、图中有哪几个等腰三角形？,A,B,C,D,ABC ABD BDC,2、有哪些相等的角？,ABC=ACB=BDC A=ABD,3、这两组相等的角之间还有什么关系？,BDC=2 A ABC+ACB+ A=180 ,应用新知,：如图，房屋的顶角BAC=100 , 过屋顶A的立柱AD BC , 屋椽AB=AC. 求顶架上B、C、BAD、CAD的度数.,应用新知，体验成功。,(1)猜测一下，等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？如图将等腰三角形ABC沿
10、对称轴折叠，观察DE与DF的关系，并证明你的结论。,A,B,C,D,E,F,(2)如果DE、DF分别是AB,AC上的中线或ADB, ADC的平分线，它们还相等吗？由等腰三角形是轴对称图形，利用类似的方法，还可以得到等腰三角形中哪些相等的线段？,： 是BC的中点，DEAB于E, DFAC于F求证：DEDF,活动五：拓展提高,1、等腰三角形的顶角一定是锐角。2、等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝 角都可以。3、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。4、等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。5、等腰三角形底边上的中线一定平分顶角,X,X,X,明辨是非,例1、如图，在ABC中 ，AB=AC，点D在
11、AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数。,x,x,2x,2x,2x,解：AB=AC，BD=BC=AD，ABC=C=BDC，A=ABD(等边对等角)设A=x,那么BDC= A+ ABD=2x,从而ABC= C= BDC=2x,于是在ABC中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180，解得x=36，在ABC中， A=36，ABC=C=72,如图，在ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，B=30。求和ADC的度数, AB=AC，D是BC边上的中点,ADC 90。, BAC=180。-30。-30。=120 。,三线合一,课堂练习：,谈谈你的收获！,再见,你的细心加你的耐心等于成功！,如图
12、：ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE。 求证：AH=2BD,证明1：AB=AC，AD是高，BC=2BD,又BE是高，ADC=BEC=AEH=90,在AEH和BEC中,AEHBEC(ASA),1+C=2+C=90 1=2,AH=BC,即 AH=2BD,课后思考,你的细心加你的耐心等于成功！,如图：ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE。 求证：AH=2BD,证明2：AB=AC，AD是高，BC=2BD,又BE是高，ADB=BEC=AEH=90,在AEH和BEC中,AEHBEC(ASA),1+AEH=3，2+ADB=3， 1=2,AH=BC,即 AH=2BD,课后思考,如图，ABC中，ABAC,F在AC上，在BA的延长线上截取AEAF,求证：EDBC,证明：ABAC，AEAF BC，EAFE EAFEBAC 又BACBC180 EAFEBC180 EB1/218090 BDE90 EDBC,课后思考,