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1、doc文档七年级数学有理数的混合运算简便运算技巧（1）江苏科技版知识精讲1七年级doc(一)有理数的七年级数学有理数的混合运算简便运算技巧(1)江苏科技版【本讲教育信息】一. 教学内容: 有理数的混合运算简便运算技巧(1) “算对与算巧” 1，2，3，？，99，100求的和，从左到右逐次相加似乎很安稳的事，其实这样算下来不仅工作量很大，而且运算的次数太多，出错的可能性也大，聪明的高斯没有这样做，他把100，99，98，？，2，1这个算式头尾倒过来写成然后将两个式子的对应项相加得到100个101，101乘100再除以2便得到所求的和。这样不但算得对，而且算得快，这是一个脍炙人口的故事，它告诉我们
2、数学运算不仅要算对更要算巧。 二. 重点、难点: 有理数运算是代数中最基本的运算，若能根据题目特点灵活掌握运用一些技巧，不仅可提高运算速度和准确率，还可培养学生善于思考的好习惯，有利于思维能力的培养，现介绍几种有理数运算中的解题技巧。 三. 基础回顾: (1)有理数的运算法则: ? 加法法则:同号相加一边倒，异号相加大减小，符号跟着大的跑。 ? 减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数。 ? 乘法法则:两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。0乘任何数都得0。 ? 除法法则:除以一个数等于乘上这个数的倒数。0不能作除数。 ? 有理数的乘方运算:正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负
3、数，负数的偶次幂是正数。 (2)运算律: ? 加法交换律:a，b,b，a。 ? 加法结合律:(a，b)，c,a，(b，c)。 ? 乘法交换律:ab,ba。 ? 乘法结合律:(ab)c,a(bc)。 ? 乘法对加法的分配律:a(b，c),ab，ac。 (3)运算顺序及注意事项: ? 有理数的加、减、乘、除四则混合运算，一定要先把减法改成加法，除法改成乘法。这样可以防止出错。 ? 对含有三级运算的情况，按先乘方、开方，再乘除，最后加减的运算顺序。同级运算从左到右依次运算。有括号时按小、中、大括号顺序进行，有时也可灵活去括号。 ? 应注意灵活运用运算律，使计算简便化，对互为相反数其和为零的要优先解决
4、。【典型例题】 一. 符号与括号 有理数运算是代数入门的重点，又是难点，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，由于负数的引入，符号“，”与“,”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号，因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，从而使复杂问题变得较简单，在此应特别注意去添括号时符号的变化。 例1. 计算 分析:不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为1或为,1，如果按照将第一与第二项，第三与第四项，分别配对的方式计算，就能得到一系列的,1。解
5、: 下面需对n的奇偶性进行讨论: 当n为偶数时，上式是个(,1)的和， 即; 当n为奇数时，上式是个(,1)的和，再加上最后一项，所以有说明:两种情况可以合并为: 二. 巧添辅助数 例2. 计算: 解:原式 三. 巧用整体 例3( 购买5种物品，的件数和用钱总数列成下表: 那么，购买每种物品各一件共需多少元, 解:由已知表格:购买1件，3件，4件，5件，6件共需1995元;所以购买2件，6件，8件，10件，12件共需21995元;又因为购买1件，5件，7件，9件，11件共需2984元;所以购买每种物品各一件共需21995,2984,1006(元) 说明:设购买物品i,1，2，3，4，5 则 ，
6、? ? 由 2?,? 得 需要指出的是:我们无法计算每个，但我们能巧算出这个整体，整体思维常常会帮助我们算对，算快和算得巧妙。 四. 巧用凑整运算 例4. 计算:解:原式 ,，,，,()()20920082000000002？五. 巧用公式 1111,1，1，？1，1，,例5. 计算: 2222,2399100111111,11，1，1，？1，1, ,解:原式,223310010013249810099101,？2233999910010022ababab,，,()()说明:平方差公式: 例6. 计算: 22()()782278782222，,，,22解:原式 78782222,，3322说明
7、:立方差公式: a,b,(a,b)(a，ab，b)3322立方和公式: a，b,(a，b)(a,ab，b)222222完全平方公式: ， (a，b),a，2ab，b(a,b),a,2ab，b六. 巧用拆项法 例7. (第六届“祖冲之杯”数学竞赛题) 11111，？，计算 ,_1，21，2，31，2，3，41，2，3，？100分析:直接计算难上加难。应考虑运用拆项法消去部分项，从而使运算简单易行。利用上面介绍的反序相加法，不难求得最后两项为，而，同理，那么本题就不难解决了。 222221，？，解:原式, 61220990010100111111111, 2(1,，,，,，？，,，,)223349
8、91001001011111(),说明:形如的分数，可以拆成的形式。 nna()，anna，例8. 来进行“拆项”。解:应用关系式 原式 【模拟试题】(答题时间:30分钟)1. 计算: 12345678910111219971998199920002001，,，,，,，,，？2. 已知0为数轴的原点，A、B两点对应的数分别为1、2，设P为AB的中点，P为AP的中121点，P为P的中点，求P，P，P，P所对应的各数之和。 10099123100124113. 计算:,1,2，4,5，1,3.8 63536(分析:本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用“凑整
9、”法。) 4. 求和 1111122222333335859()()()()，,，？2345960345596044659605960(分析:由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。)111112005，(，？，)5. 计算: 1，22，33，42003，20042004，2005试题答案 1. 解法1 : 原式,，,，,，,，,，()()()()12345678910221219971998199920002002？,()45002001,，20002000解法2: 原式 点在圆上 d=r;1aiai(),11001,，,则12100？ii2. 解:设对应的数为 i
10、2的图象可以由yax2的图象平移得到：（利用顶点坐标）1111,aaa，,，？1，1，1，,101,12100所以， 2100100,2220023. 解:原式 4. 解:原式 23.53.11加与减（一）4 P4-1211212312359,，()()()？23344460606060 8.直线与圆的位置关系123459,，？22222扇形的面积S扇形=LR21,，()12359？ 25、能掌握一些常见的数量关系和应用题的解答方法，逐步提高解答应用题的能力。1()15959，,22135.215.27加与减（三）4 P75-805. 解:原式 （2）圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.1111111112005，(1,)，(,)，(,)，？，(,)，(,),223342003200420042005(三)实践活动12005，(1,), 200520042005，, 2005(1)三角形的外接圆: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.,2004