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1、高二数学上册各章节识 点 总 结 （大 纲 版 ）精品文档不等式单元知识总结一、不等式的性质1.两个实数a与b之间的大小关系(1)a-b0 a b;(2)a b = 0 a = b;(3)ab0a1 a b；b若 a、b R ,则(5) ； = 1 a = b; b，一 a ，,(6) 1abbba c(传递性)bc(3)aba+ cb+c(加法单调性)a bac bcc 0(4)(乘法单调性)a bc 0accac b(移项法则)a b(6)cda+cb + d（同向不等式可加）a bcb d（异向不等式可减）收集于网络，如有侵权请联系管理员删除ab0(8)cd0ac bd（同向正数不等式可
2、乘）ab0(9)0cP （异向正数不等式可除）c da b0(10)n Nanbn（正数不等式可乘方）ab0(11)n Nn%n/E（正数不等式可开方）(12)ab01 一，一，-，”正数不等式两边取倒数）3.绝对值不等式的性质(1)|a|)a； |a|=(a0),(a0,那么|x| a x2 a2a xa x2a2xa 或 x a.(3)|a b|=|a|b|.a |a|1b匚山(户0).(5)|a|- |b| |a坨|& |a|+ |b|.（6）|a1 + a2+4an|0ab; a b 0; a、b异号ab 0a0; (ab)20(a、bC R)a2+b22ab(a b R,当且仅当a=
3、b时取=号a ba/ 南a、b R ,当且仅当a = b时取“二”号)2.不等式的证明方法(1)比较法：要证明ab(a0(a b0与f(x) 0g(x) 0f(x) 0或() 同解.g(x)0(2)f(x) . g(x) 或g(x) 0f(x) 0f(x) C 一(3) 0与g(x)f(x) 或g(x) 0f(x) 0 同解.g(x) 或g(x) 0f(x) 0(g(x) W 0)|f(x)| g(x)与一g(x) f(x) 0)(6)|f(x)| g(x)与 f(x) g(x)或 f(x) 0)同解;g(x)g(x)2瓯g(x)与 f(x) 0g(x) 0f(x) 0或 同解.g(x)0:一
4、七 f(x) g(x)呵 1 时，af(x) ag(x)与 f(x) g(x)同解，当 0 aag(x)与f(x) g(x)L.(10)当 a 1时，log af(x) logag(x)与同斛.f(x) 0f(x) g(x)当 0alogag(x)与 f(x)0 同解.g(x) 0单元知识总结、坐标法1 .点和坐标建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x, y)建立了一一对应的关系.2 .两点间的距离公式设两点的坐标为P1(x1, y1), P2(x2, y2),则两点间的距离IP1P2尸.(x2 x1)2 (y2 yl2特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示：(1)当
5、x1=x2时(两点在y轴上或两点连线平行于y轴)，则|P1P2|=|y2-y1|(2)当y1=y2时(两点在x轴上或两点连线平行于x轴)，则|P1P2| = |x2x1|3 .线段的定比分点(i)定义：设p点把有向线段PP2分成可可口而两部分，那么有向 线段 画口PP2的数量的比，就是p点分时所成的比，通常用人表示, 即入二PPP，点p叫做分线段PP2为定比人的定比分点.当p点内分质时，入 0；当p点外分PP2时，入0 时，a=arctank.(锐角)当 k0(或 00)(*)Anx+ Bnx + Cn 0(或0 0)求z的最大值和最小值，这就是线性规划问题，不等式组(*)是一组对变量x、y的
6、线性约束条件,z=ax+ by叫做线性目标函数.满足线性约束条件 的解(x, y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标 函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解.三、曲线和方程1.定义在选定的直角坐标系下，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x , y)=0的解(一点不杂)；(2)以方程f(x , y)=0的解为坐标的点都是曲线 C上的点(一点不漏).这时称方程f(x, y)=0为曲线C的方程；曲线C为方程f(x, y)=0的曲线 (图形).设P=具有某种性质(或适合某种条件)的点, Q=(x , y)
7、|f(x, y)=0,若 设点M的坐标为(x0, yo),则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述 为：(1)M G P (x0, y) G Q,即 p Q;(2)(Xo，yo)CQ M G p,即 Q p.以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：(1)(X0, yo) Q M P；(2)M P (X。，yo) Q.显然，当且仅当P Q且Q P,即P=Q时，才能称方程f(x, y) = 0 为曲线C的方程；曲线C为方程f(x, y)=0的曲线(图形).2.曲线方程的两个基本问题(1)由曲线(图形)求方程的步骤：建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对 (x, y)表示曲线上任意一 点M的
8、坐标；立式：写出适合条件p的点M的集合p=M|p(M);代换：用坐标表示条件p(M),列出方程f(x, y)=0;化简：化方程f(x, y)=0为最简形式；证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.上述方法简称“五步法”，在步骤中若化简过程是同解变形过程；或最 简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤可省略不写，因为此时所求 得的最简方程就是所求曲线的方程.(2)由方程画曲线(图形)的步骤：讨论曲线的对称性(关于x轴、y轴和原点)；求截距：方程组f(X，y) 的解是曲线与x轴交点的坐标；y 方程组X(x0y)0的解是曲线与y轴交点的坐标；讨论曲线的范围；列表、描点、画线.3 .交点求两曲线的交
9、点，就是解这两条曲线方程组成的方程组.4 .曲线系方程过两曲线fi(x, y)=0和f2(x, y)=0的交点的曲线系方程是fi(x, y)+入f2(x, y)=0(入虫).四、圆1 .圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆.2 .圆的方程(1)标准方程(x a)2+(yb)2=r2. (a, b)为圆心，r为半径.特别地：当圆心为(0, 0)时，方程为x2+y2=r2(2) 一般方程 x2+y2+Dx + Ey+ F=0D、2, E、2 D2 E2 4F配万(x )2 (y )2224当D2 + E2 4F 0时，方程表ZK以 (一一,)为圆心，以1 -vD2 E2 4F为半
10、径的圆；2当 D2 + E2 4F = 0时，方程表7K点(,)22当D2+E2 4Fr；(2)点在圆上d = r；(3)点在圆内d0或dr；(2)相切直线与圆的方程组成的方程组有一组解，= 0或 = r；(3)相离直线与圆的方程组成的方程组无解，r.5 .求圆的切线方法(1)已知圆 x2 + y2+Dx+Ey+ F=0.若已知切点(x。，y。)在圆上，则切线只有一条，具方程是D(x x) E(y y)_-xx yy 22 F 0-x0 xVn V当(x, y)在圆外时，x0x+y0y+D( 2 ) + E( 2 )+F = 0表示 过两个切点的切点弦方程.若已知切线过圆外一点(X0, yo)
11、,则设切线方程为y y0=k(x X0),再利用相切条件求k,这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.若已知切线斜率为k,则设切线方程为y=kx + b,再利用相切条件求 b,这时必有两条切线.(2)已知圆 x2 + y2=r2.若已知切点Po(xo, y0)在圆上，则该圆过P0点的切线方程为X0X+C 2 yoy=r .已知圆的切线的斜率为k,圆的切线方程为y = kx r, k2 16 .圆与圆的位置关系已知两圆圆心分别为。1、。2,半径分别为门、2,则两圆外切|OQ2|=1 +2；(2)两圆内切|OiO2|=|ri 一口；(3)两圆相交1rl r2| |O1021Vr1 +2.单
12、元知识总结一、圆锥曲线1.椭圆定义定义1:平面内一个动点到两个定点 Fi、F2的距离之和等于常数(大于|FiF2|),这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点).定义2:点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常c数e=-(0eb0)2y2a= 1(ab0)(3)几何性质条件M|MF 1|+|MF2|=2a, 2a |F1F2|MF1|MF2M|点M到11的距离一点.到l2的距离=e 0、e、1标准方程222 y2 1(ab0)a2b2222 y21(a b0)b2 a2顶点A1(a, 0), A2(a, 0)B1(0， b), B2(0 , b)A1(0 , a), A2(0 , a)
13、B1(b, 0), B2(b , 0)轴对称轴：x轴,y轴.长轴长|A1A2|=2a ,短轴长|B1B2|=2b焦点F1( c, 0),F2(c, 0)F1(0 , c), F2(0 , c)焦距|F1F2|=2c(c 0), c2=a2 b2离心率c 一.、e= _(0e外22xo yl 1(Xo,yo)在椭圆上a bv内切线方程(k为切线斜旁1,2y= kx Ja k b(k为切线斜樗), 2 2，2y = kx x1 b k ax2x+ y2y = 1a2b2(x0, y0)为切点三+结=1b2a2(x0, y0)为切点切点弦 方程(x0 , y0)在椭圆外 孚十*1 a2b2(x0 ,
14、 y0)在椭圆外等十岑=1b2a2弦长公式；9 1|x2x/J1 + k 或|y1一丫2乜1+ 2 k k其中(x1 , y1), (x2 , y2)为割弦端点坐标，k为割弦所在直 线的斜率2.双曲线定义定义1:平面内与两个定点Fi、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于 |FiF2|)的点的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点).定义2:动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e1)时，这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点).(2)图形和标准方程图8 3的标准方程为:2t = 1(a0, b0) b2K图8 4的标准方程为:22yx2- - 2- = 1(a0, b
15、0)ab(3)几何性质条件P =M|MF 1| |MF2|= 2a, a0, 2av|F1F2|._|MF1|_|MF2|_ |点M至必的跑离点M至H2的跑离e标准方程22二一=1(a0, b0) ab22、-二=1(a0, b0) ab顶点Ai(a, 0), A2(a, 0)Ai(0 , a), A2(0 , a)轴对称轴：x轴,y轴,实轴长|A1A2|= 2a,虚轴长|B1B2|= 2b焦点Fi( c, 0), F2(c, 0)Fi (0， c), F2(0 , c)焦距|FiF2|= 2c(c 0), c2 = a2 + b2离心率c /d、e= -(e1)a准线方程22,a ,a11:
16、 x =；l2: x = cc22a tal1 ： y=；l2 ： y= cc渐近线 方程,22b , f xy-y= _x(或2 = 0)aa2 b222y = x(或4一J = 0)ba2b2共渐近线 的双曲线 系方程22、J = k(k w 0) ab224 三=k(k w 0) ab焦点半径|MF1|= ex0 + a, |MF?lqex0 272a2|MF1|= ey0 + a, |MF2|= ey0 2-a 2切线方程y ix v a k b(k为切线斜率) k b或k旦或k旦 y . y b x x bx0x y_0y. = 1a2b2(x, y)为切点22y 0 =1a2b2(
17、xo ,y0)为切点xy a的切线方程：2a (x, y)为切点切点弦 方程(xo ,yo)在双曲线外xoxyoy_12,21ab(xo , yo)在双曲线外yoy xox_12,21ab弦长公式|x2-Xi|Ji + k2或|y1 一 y2 |Ji + J其中(x1, y1), (x2, y2)为割弦端点坐标，k为 割弦所在直线的斜率3.抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.（2）抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表：抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对 称轴；方程不同，开口方向
18、不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于 顶点到准线距离.p的几何意义：焦点F到准线l的距离.弦长公式：设直线为y= kx + b抛物线为y2=2px, |AB|=，1 k2|x2-x/ = J1 31y2-yil k焦点弦长公式：|AB| = p + xi + x24.圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线）的统一定义与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当0e 1时，是双曲线，当e= 1时，是抛物线.二、利用平移化简二元二次方程1 .定义缺xy项的二元二次方程 Ax2+Cy2+Dx + Ey+F=
19、0（A、C不同时为0） X,通过配方和平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准 形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程.A = C是方程为圆的方程的必要条件.A与C同号是方程为椭圆的方程的必要条件.A与C异号是方程为双曲线的方程的必要条件.A与C中仅有一个为0是方程为抛物线方程的必要条件.2 .对于缺xy项的二元二次方程：Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A, C不同时为0)利用平移变换，可把圆锥曲线的一般方程化为标准方程，其方法有：待定系数法；配方法. 2222椭圆：(X -十卬?.或、?十”=1a2b2b2a2中心 O(h, k)(x h)2 (y k)2 卡(y k)2(x h)2双曲线：-一六一J = 1或J -一六=1 a2b2a2b2中心 O(h, k)抛物线：对称轴平行于x轴的抛物线方程为(y k)2= 2P(x h)或(y k)2 = 2p(x h),顶点 O (h, k).对称轴平行于y轴的抛物线方程为：(x h)2= 2p(y k)或(x h)2=2p(y-k)顶点 O (h, k).以上方程对应的曲线按向量a=( h, k)平移，就可将其方程化为圆锥 曲线的标准方程的形式.