最新[中考数学]初三数学+代数典型例题及习题精选-人教版[整理]优秀名师资料.doc

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1、中考数学初三数学 代数典型例题及习题精选-人教版整理初三数学 第十二章 一元二次方程 第一节:一元二次方程 典型例题 例1 指出下列方程中哪些是一元二次方程 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解:(1)整理得: 移项，合并得: ? 是一元二次方程 (2)移项得: ? 是一元二次方程 (3) ?方程的分母中含有未知数 ?它不是一元二次方程 (4) ? 方程中含有两个未知数 ? 它不是一元二次方程 (5) ? ?它是一元二次方程 (6)整理得: 移次，合并得: ?二次项系数合并后为0 ?它不是一元二次方程 点拨:对方程要先进行整理，然后再根据条件: ?整式方程 ?只含有一个未知数 ?

2、未知数的最高次数为2 只有当这三个条件缺一不可时，才能判断为一元二次方程。 例2 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再指出其二次项，一次项及常数项。 (1) (2) (3) (4)() (5) 解:(1)整理，得 二次项:，一次项，常数项0 (2)整理，得: 二次项:，一次项:，常数项: (3)整理，得: (4)整理得: ，一次项:0，常数项: 二次项: (5)整理得: 二次项:，一次项:，常数项: 点拨:在移项，合并同类项时，易出现符号错误，需格外小心。要认真区别题目要求是指出方程的各项还是各项的系数。特别要小心当某项的系数为负数时，指出各项时千万不要丢负号。 例3 把下列关于的方程化成

3、一元二次方程的一般式，并指出它的二次项系数，一次项系数及常数项。 (1)() (2)() (3) (4) 解:(1)() 二次项系数:，一次项系数:，常和项: (2)() 二次项系数:， 一次项系数:0 常数项: (3) 二次项系数:2， 一次项系数: 常数项: (4) 二次项系数:，一次项系数:，常数项:1 点拨:对于字母系数的方程的整理，应先明确其未知数，再确定各项的系数，特别要注意，一定要讨论所除的二次项系数不能为0，因为一元二次方程只有在这个条件下才是有意义的。 习题精选 一、关于一元二次方程概念的题目 (一)选择题 1(下列方程中有( )是一元二次方程 (1) (2) (3) (4)

4、 (5) (6) (A)(1)(5)(6) (B)(1)(4)(5) (C)(1)(3)(4) (D)(2)(4)(5) 2(若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是( ) (A) (B) (C)或 (D)且 (二)填空题 已知关于的方程当 时，方程为一元二次方程，当 时，方程为一元一次 方程。(三) 解答题 已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围。 【参考答案】 (一)1(A 2(D (二) ， (三)的取值范围是. 二、关于一元二次方程一般形式的题目 (一)选择题 1(方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别为( ) (A)3，,4，,2 (B)3,2，,4 (C)3，

5、,2，,4 (D)2，,2，0 2(一元二次方程化为一般形式()后，的值分别为( ) (A)6,4，3 (B)6，,4,3 (C)5,4，,3 (D)5,4，3 3(一元二次方程化成一般式后，二次项系数为1，一次项系数为,1，则的值为( ) (A),1 (B)1 (C),2 (D)2 (二)填空题 1(的二次项系数是 ，常数项为 ，的值为 。 2(方程化为一般式为 ，二次项系数，一次项系数，常数项的和为 。 3(一元二次方程，有两个解为1和,1，则有 ，且有 (三)解答题 1(把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项。 (1) (2) (3) (4) (5) 2(下

6、列关于的方程是否为一元二次方程,为什么,若是一元二次方程，请分别指出二次项系数，一次项系数及常数项。 (1) (2) (3) (4) 【参考答案】 一、1(B 2(C 3(B 二、1(，0,1 2(;,8 3(0,0 三、1(1); ， ， (2); ， ， (3); ， ， (4); ， 0， (5); ， ， 2(1)? ?是一元二次方程 二次项系数，一次项系数,4，常数项 (2)是一元二次方程 二次项系数5，一次项系数，常数项0。 (3)当时，是一元二次方程 二次项系数是，一次项系数是，常数项是 当时，不是一元二次方程。 (4)? ?是一元二次方程 二次项系数是，一次项系数是，常数项是

7、第二节:一元二次方程的解法 典型例题, 例1 用直接开平方法解下列方程 分析 用直接开平方法解方程,要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式,右边是非负常数的形式,再根据平方根的定义求解. 解:移项得: 将方程各项都除以4 得: ? 是64的平方根 ? ? 例2 用直接开平方法解下列方程。 解: ?， 点拨:对于无理数系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过应注意二次根式的化简。 例3 用配方法解方程 解: 移项得: 配方得: 解这个方程 ? ， 点拨: 配方法是解一元二次方程的重要方法,是导出求根公式的关键.熟练掌握完全平方式是用配方法解题的基础. 对于二次项系数是1的方程, 在方程两边同

8、时加上一次项系数一半的平方即可完成配方. 例4 用配方法解方程: 分析 因为二次项系数不为1, 所以要先将方程各项同时除以二次项系数后,再配方. 解:方程两边同除以3 得 方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ? ? ? 点拨: “方程两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方”这一步,是配方法的关键, “将二次项系数化为1” 是进行这一关键步骤的重要前提. 例1 用公式法解方程 解:移项得: ? ? ? ?， 例5 用公式法解方程 移项得: ? ? ? ? 点拨:用公式法解一元二次方程的一般步骤:(1)把一元二次方程化成一般式;(2)确定出，的值;(3)求 出的值(或代数式);(4)若，则可用求

9、根公式求出方程的解，这样可以减少许多不必要的计 算. 另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用, 其中也包括不完全的一元二次方程. 典型例题, 例6 用因式分解法解下列方程。 解: 移项得: 把方程左边因式分解 得: ?或 ? 点拨: 在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。 例7 用因式分解法解下列方程 解:把方程左边因式分解为: ?或 ? 点拨: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式

10、，均可用因式分解法求出方程的解。 例8 解下列方程: (1); (2); (3); (4) (5)(用配方法) 解:(1)移项，得 ， 方程两边都除以2，得 ， 解这个方程，得 ， ， 即 ， (2)展开，整理，得 方程可变形为 或， ? (3)展开，整理，得 ， 方程可变形为 或 ? (4)? ， ? ? , (5)移项，得 ， 方程各项都除以3，得 配方，得 ， 解这个方程，得 , 即 ， 点拨:当一元二次方程本身特征不明显时，需先将方程化为一般形式()，若，a、c 异号时，可用直接开平方法求解，如(l)题(若，,时，可用因式分解法求解，如(2)题(若a、b、 均不为零，有的可用因式分解法

11、求解，如(3)题;有的可用公式法求解，如(4)题(配方法做为一种重要的数学方法也c应掌握，如(5)题( 而有些一元二次方程有较明显特征时，不一定都要化成一般形式，如方程可用直接开平方法或因式 分解法求解(又如方程也不必展开整理成一般形式，因为方程两边都有，移项后提取公 因式，得，用因式分解法求解，得，对于这样的方程，一定注意不能 ，这会丢掉一个根(也就是方程两边不能除以含有未知数的整式( 把方程两边都除以 例9 解关于的方程() 解法一:原方程可变形为 或 ? ， ? 解法二:?， ， 又 ， ? ? 点拔 解字母系数方程时，除了要分清已知数和未知数，还要注意题目中给出的条件，要根据条件说明方

12、程两边除以的代数式的值不等于零( 对于字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法，也要根据题目的特点选用较简单的解法，本题的解法一显然比解法二要简单( 例10 已知，试解关于的方程 分析 由，容易得到或(整理关干x的方程，得(题目中没有指明 这个方程是一元二次方程，因此对二次项系数要进行讨论，当时，方程是一元一次方程;当时，方程 是一元二次方程。 解:由，得 , ? 整理，得 当时，原方程为， 解得 当时，原方程为， 解得 ? 当时， 当时， 第三节:一元二次方程的根的判别式 典型例题 例1 不解方程，判别下列方程的根的情况: (1) ; (2) ; (3) . 分析 不解方程，要想判别方

13、程的根的情况，只要把 求出即可判别. 解 (1)原方程可化为 ? ， ? ， ?原方程有两个不相等的实数根; (2)? ， ? ， ?原方程没有实数根; (3)原方程可化为 ? ， ? ， ?原方程有两个相等的实数根. 说明:用根的判别式来判别根的情况，一定要把方程变形为一元二次方程的一般形式. 例2 若关于 的方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围. 分析 因为方程有两个不相等的实数根，所以方程是一元二次方程，因此， . 解 方程 有两个不相等的实数根的条件是 解这个方程组，得 所以， 的取值范围是 ，但 . 说明:解此类题目，一定要把满足题目的所有条件列成一个方程组，然后求方程组的解集

14、. 例3 求证:当 和 的符号相反时，一元二次方程 一定有两个不相等的实数根. 分析 要想证明方程有两个不相等的实数根，须先写出 . 证明:在 中，当当 和 的符号相反时，有 ， 又由于 为任何实数时，总有 ， 于是有 . 所以，当 和 的符号相反时，一元二次方程 一定有两个不相等的实数根. 说明:证明给出了一个命题，不必计算 的值，只要看一看 和 的符号是否相反即可.一般情况下， 为正值，只要 是负数，一元二次方程一定有不相等的实数根.反之不成立. 例4 (1)已知 、 、 是三角形的三边，判别方程 根的情况; (2)若方程 没有实数根，判别方程 根的情况; 分析 两个方程的系数都含有字母，

15、但字母人为地给出一定的条件，因此，是在特定的条件下，对“ ”的表达式进行分析，从而判别二次方程根的情况.解这类题要注意所给条件与“ ”表达式之间的沟通. 解 (1) ? 、 、 为三角形的三边 ? ? ?原方程无实数根. (2) 方程 没有实数根的条件: ，即 ， 所以， . 对于方程 ， ? ，? ，? ?方程 有两个不相等的实数根. 说明:求解这类问题，首先要由给出的条件，确定字母的取值范围或字母之间的关系，然后在这样的特定条件下，确定“ ”的符号，以判定根的情况. 例5 (1) 取何值时，关于 的方程 的有两个实数根, (2)若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求 的最大整数值

16、. 解 (1) 关于 的方程 有两个实数根的条件是 解方程组，得: . 所以，当 时，方程 的有两个实数根. (2)方程 有两个不相等的实数根的条件是 解方程组，得: ? ? 的最大整数值为0. 说明:一定不要忽略题目的隐含条件. 第(1)小题方程有两个实数根，一定为一元二次方程，所以一定有 .第(2)小题说方程是一元二次方程，一定有二次项系数不为零. 习题精选 1(填空题: (1)一元二次方程的根的判别式的值是_，它的根的情况是_; (2)一元二次方程的根的情况是_; (3)关于x的方程的根的判别式的值是9，则; (4)关于x的方程有两个实数根，则; (5)关于x的方程的根判别式，当时，此方

17、程有两个相等的实数根。 2(选择题(四选一) (1)下列方程中，有两个相等实数根的是( ); A(B( C(D( (2)若关于x的方程没有实数根，则k的最小整数值是( ); A(,1 B(1 C(2 D(不存在 (3)下列命题中，正确的是( ); A(方程只有一个实根 B(方程有两个相等的实数根 C(方程没有实数根 D(，方程有两个不相等的实数根 (4)一元二次方程的根的情况是( )。 A(有两个相等的实数根 B(有两个不相等的实数根 C(只有一个实数根 D(没有实数根 3(解答题: (1)已知关于x的方程有两个相等的实数根，求k的值，并求此时方程的根。 (2)m为何值时，一元二次方程。?有两

18、个不相等的实数根;?有两个相等的实数根;?没有实数根, (3)证明关于x的方程没有实数根。 (4)如果方程有两个不相等的实数根，证明方程也有两个不相等的实数根。 参考答案 ，有两个不相等的实数根;(2没有实数根;(3)2或,1;(4);(5)或,1。 1(1)32(1)A;(2)C;(3)C;(4)B。 3(1)时有两个相等实数根是时有两个相等实数根是;(2)?且时方程有两个不相等的实数根;?方程不可能有两个相等的实数根;?时方程没有实数根。(3)为任意实数时，;(4)由，得，代入。 第四节:一元二次方程的根与系数的关系 典型例题1 例1 如果是方程的两个根，不解方程，求的值. 解:? 是方程

19、的两根， ? . 说明 题中没有明确，因此的值可能为正，也可能为负. 例2 不解方程，求作一个一元二次方程，使它的根比原方程各根的2倍大1. 解:设方程的两根是. 则 . 设所求的方程为，它的两根分别是和 则 ， ? 所求作的方程是. 例3 a取何值时，方程，(1)两根互为相反数;(2)两根互为倒数. 分析 满足两根互为相反数的条件是两根和为零，满足两根互为倒数的条件是两极积为1，同时它们又都隐含着有两个不相等的实数根，所以必须满足. 解:设方程的两根是， 则 (1)依题意，有 由(1)得 . 由(2)得 ， ? 时，方程两根互为相反数. (2)依题意，得 由(1)得 ， 由(2)得 ， ?

20、时，方程两根互为倒数. 点拨 方程的两根互为相反数，也可由条件且异号来确定. 例4 已知关于x的方程的两个实数根的平方和是，求m值. 解:设方程的两根是. 则 . 解这个方程，得 . 当时， ? 舍去. 当时， ? . 点拨 例3、例4都是由两根的情况求方程中的待定系数，情况类似，但解题方法不同，例3是由确定了m的取值范围，然后求出m的值.而例4中的是一个一元二次不等式，为了避开解这个不等式，我们采取了“先求后验”的方式，即先求出m的值，然后代入判别式去检验.由此看到，同一类型的题目可以有不同的解法，选用什么方法合适，要根据题目的特征来决定. 例5 已知关于x的一元二次方程的两个不等实根的倒数

21、和为S，求S的范围. 分析 题中方程的一般形式为，因此隐含了二次项系数不为零和判别式大于零的条件，挖掘这两个条件求出m的取值范围，就能求两根倒数和S的范围. 解:整理原方程，得 依题意，有 解得 且. 设方程的两根为， 则 即 . 例6 关于的方程 ? 与 ?，若方程(1)的两个实数x根的平方和等于方程(2)的一个整数根，求m的值. 分析 利用根与系数的关系，可将方程?的两实根平方和表示为m的代数式.用因式分解法或求根公式可以求出方程?的两根，从而构造关于m的方程，求出m的值. 解:设方程?的两个实数根为， 则 ? 把方程?变形为 解这个方程，得 若为整数根，根据题意，得 . 解这个方程，得.

22、 此时不是整数根，不符合题意，舍去. 若为整数根，根据题意，得 . 解这个方程，得. 当时，方程?的是整数， 且，方程?有两个实数根，符合题意. 当时，方程?的不是整数，不符合题意，舍去. ? . 点拨 这是一道综合性较强的题目，它综合运用了解字母系数的一元二次方程，一元二次方程根据的判别式，根与系数的关系等知识及有关概念，解题时不仅要求熟练掌握这些知识而且需要具备方程思想求待定系数、分类讨论思想和检验所求的解是否符合题意的能力. 当求出方程的两根是和后，由于不知道m的取值范围，所以不能盲目地认为是整数根，这两根都有可能是整数，因此应构造两个方程分别求m的值.求出后，还需要有检验的意识，掌握检

23、验的方法，要代入你所假定的整数根去看它是否为整数，注意不是m为整数，也不是方程?的两根或另一根是整数.还应检验是否有两个实数根，符合这两个要求的才是所求的方程?m的值. 典型例题 2 例:在，斜边，两直角边的长是关于的一元二次方程的两个根，求较小锐角的正弦值。(2002年北京市东城区中考试题) 解:是方程的两个根， ， 在，由勾股定理得 而， 即 解关于的方程，得， 是的两条直角边的长， 因此不合题意，舍去。 当时，原方程为 解这个方程，得，。 不妨设，则 较小锐角的正弦值为。 习题精选 1(填空题: (1)已知方程的两根是，则; (2)已知关于x的方程，则，另一根是_; (3)一元二次方程的

24、一个根是非，则它的另一根是_，; (4)是方程的两根，则; (5)以0.5和,0.2为根的一元二次方程(二次项系数是1)是_; 6)两数和等于8，积等于6，这两数分别是_和_; (7)关于x的方程的两根之和与两根之积相等，则; (8)一元二次方程的两实根之差是3，则; (9)关于x的方程的两实根的平方和是11，则。 2(选择题(四选一) (1)有两个不相等的实根，且两根异号，其中正根绝对值大的方程是( ); A(B( C(D( (2)下列方程中，两实数根的和是2的方程是( ) A(B( C(D( (3)以和为根的一元二次方程是( ); A(B( C(D( (4)设关于x的方程的两实数根是，若，

25、则k的值是( ); A(9 B(,13 C(D( (5)关于x的方程的两实根满足，则的值是( )。 A(,5 B(5 C(,9 D(,15 3(解答题: (1)设是方程的两根，不解方程，求下列各式的值: ?;?;?;?。 (2)求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程的两根的平方。 (3)已知一元二次方程的两根分别是，求的值。 (4)已知关于x的方程，根据下列条件，分别求出m的值:?两根互为相反数;?两根互为倒数;?有一根为零;?有一根为1。 (5)已知是关于x的方程的两个实根，且，求m的值。 (6)已知是关于x的方程的两个实根，k取什么值时，。 (7)当k为何值时，一元二次方程的两实根的绝

26、对值相等，求出与k值相应的实数根。 (8)已知关于x的方程有两个正实根，求k的取值范围。 参考答案 1(1);(2);(3);(4)9，;(5);(6);(7),1;(8)4;(9)1。 2(1)C;(2)B;(3)C;(4)D;(5)A。 3(1)?;?;?;?;(2);(3)或;(4)?;?;?;?1或3;(5);(6),3;(7)时，时，时，;(8)(提示:需，两根和大于0，两根积也大于0)。 第五节:二次三项式的因式分解 典型例题 例1 在实数范围内分解因式: (1); (2). 分析 对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令=0，求出

27、两根，再写成=. 解 (1)? 方程的根是 ? ? (2) ? 方程的根是 ? ? 说明 分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去. 例2 把分解因式. 分析 此二次三项式中有两个字母和，在分解时可以把它看作是其中一个字母(如)的二次三项式，而另一个字母()可看作是已知数. 解 ? 关于的方程的根是 ， ? ? 说明 分解的结果不要丢掉两个一次因式里的. 例3当取何值时，二次三项式(1)在实数范围内能分解,(2)不能分解,(3)能分解成一个完全平方式,这个完全平方式是什么, 分析 二次三项式能否分解的关键是对应的二次方程是否有解，而方程是否有解由其的符号决定. 解 设

28、则 若，即时方程有两个不相等的实数根. 此时在实数范围内能分解. (2)当时，不能分解. (3)当时，方程为. . 此时为一个完全平方式. 习题精选 一、选择题 1(是以下那个多项式分解因式形成的( ) A( B( C( D( 2(在实数范围内分解因式，正确的结果是( ) A( B( C( D( 3(多项式在实数范围内分解因式正确的结果是( ) A( B( C( D( 二、填空题 4(在实数范围内因式分解 5(在实数范围内因式分解 6(多项式因式分解为_。 7(分解因式 三、解答题 8(分解因式。 9(已知二次三项式是一个完全平方式，求m的值。 10(在实数范围内分解因式。 11(已知多项式分

29、解因式后，有一因式是，请把多项式分解因式。 参考答案: 一、 1( A 2( B 3( B 二、 4(; 5( 6( 7( 三、 8( 9( ? 原二次三项式是完全平方式， ? 。 10( 11(提示:用待定系数法。 设 展开比较系数可解得 第六节:一元二次方程的应用 典型例题 例 把分解因式 解:? 的根是 说明 把系数4拆成分别乘到两个括号中，将分解结果化简，这时注意不能把每个括号都乘以4.另外分数线有括号的作用，分数线前又是减号，去分母时注意符号的变化. 根据此题的特征，用配方法分解更为简单.即 例 一个三位数、十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和.已知这个三位数比

30、个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数. 分析 题中的前一句话叙述了三位数中三个数字之间的关系，三个数字中以百位数字为中心，因此设百位数字为x较好，十位数字和个位数都可以用x的代数式表示，从而就有了三位数.抓住后一句话三位数,个位数字这个等量关系，可以列出方程. 解:设百位数字为x，则十位数字为，个位数字为即. 依题意，有 整理后，得 ?，(不符合题意，舍去). 当时，. 答:这个三位数是257. 说明 如果百位数字、十位数字、个位数字分别有a、b、c表示，则三位是，而不能写成abc. 例 某公司八月份售出电脑200台，十月份售出242台，这两个月平均每有增长的百分率是多少, 分析 设平均每

31、月的增长率为x.那么九月份售出电脑台，即台，十月份售出台，即台，于是根据题意，可以列出方程. 解:设平均每月增长的百分率为. x依题意，有 ? (不符合题意，舍去) 答:平均每月增长的百分率为10%. 说明 在有关增长率的问题中，要掌握等量关系:，其中a为变化前的数，如本题中的200台，p为变化后的数，如本题中的242台，x为增长(降低)率，n为变化次数，如本题从八月到十月份共变化两次，因此. 例 学校要把校园内一块长50米，宽40米的长方形空地进行绿化.计划中间种花，四周留出宽度相同的地种草坪，且花坛面积占整个绿化地面积的，求草坪的宽度. 分析 设草坪的宽度是x米，那么花坛的长是()米，宽是

32、()米.根据长方形的面积公式和题中的等量关系，花坛面积绿化地的面积，可列方程. 解:设草坪的宽度是x米. 依题意，有 整理后，得 ?(不符合题意，舍去)，. 说明 要切实检验解方程所得的值是符合实际意义，不要误认为正数都符合题意，负数都不符合题意.如本题中若草坪宽度为35米，花坛将不存在，因此要舍去. 习题精选 1(在实数范围内分解因式: . 2(列方程解应用题: (1)已知两个连续奇数的平方和等于74，求这两个数. (2)两个数的差是4，这两个数的积是96，求这两个数. (3)有三个连续整数，已知最大数与最小数的积比中间数的5倍小1，求这三个数. (4)一个两位数，两个数位的数字之和是9，若

33、把个位数字与十位数字互换后，再与原数相乘得1458，求这个两位数. (5)某储蓄所第一季度收到的存款额是2000万元，第三季度上升到3125万元，求这两个季度存款额的平均增长率是多少, (6)某印刷厂一月份印刷了科技书50万册，第一季度共印182万册，问二、三月份平均每月的增长率是多少, (7)某种产品，计划两年后使成本降低36,，平均每年降低的百分率是多少, (8)一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形， 然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000，求铁板的长和宽( (9)有一块长60米，宽40米的长方形草坪，要在它的中间开出一个小长方形花坛

34、， 使四周留的草坪宽度一样，并且使花坛的面积占四周草坪面积的一半，求草坪的宽度( (10)建一个面积为480平方米的长方形存车处，存车处的一面靠墙，另三面用铁栅栏围起来，已知铁栅栏的长是92米，求存车处的长和宽各是多少米, (1l)某农场计划修一条断面为等腰梯形的渠道，已知断面的面积是0(78平方米，渠道上口比渠底宽0(6米，渠深比渠底少0(4米(求渠深是多少米, 【参考答案】 A组 1(1);(2);(3);(4). 2(1)5和7或,5和,7;(2)8和12或,8和,12;(3)4，5，6或,1，0，1;(4)18或81;(5)25%;(6)20%;(7)20%;(8)50cm，25cm;

35、(9)10米;(10)长80米，宽6米，或长40米，宽12米;(11)0.6米(提示:设渠底宽米). x第七节:分式方程 典型例题 例1 解方程. 解:原方程就是 去分母，得 整理后，得 解这个方程，得 . 经检验，是增根，是原方程的根. 说明 去分母前的排列，变号(如本题中的变为)，去分母时分母为1的整式或常数漏乘最简公母以及去括号时符号是否改变，都是解方程中容易出错的地方，解题过程中都要认真对待. 例2 解方程 解法一:原方程可化为 设，则原方程化为 ， 去分母，得 ， 解这个方程，得 . 当时， ， ? 此方程无实根. 时，. 当解这个方程，得 经检验，都是原方程的根. 解法二:去分母，

36、整理，得 或 . 方程的，无实数根. ? . 经检验，都是原方程的根. 点拨 从两种解法看到分式方程转化为整式方程的两种途径.解法一用的是换元法，因为，设，经过换元使方程得到化简.解法二用的是去分母，其后在解的过程中也是一种换元的思想，是把看成一个整体，当成一个未知数，只是没有显现出换元，如果换元方法掌握较好，对于这样的题采用解法二是否更为简捷些. 例3 当a取何值时，方程 去分母，得 解这个方程，得 ? 方程的解为负数， ? ，解得 . ， ? . 即 . ? ? 当且时，方程的解为负数. 点拨 分式方程的解必使是各分式的分母不等于零，在求适合某种条件的字母系数的值时，要特别注意这一点. 某

37、工厂计划生产480个零件，在实际生产中每小时多做了10个，结果不仅提前1小时完成任务，而且还比原计 例4 划多生产了10个零件.求原计划每小时做多少个零件,预计用多少时间, 分析 设原计划每小时做x个零件，那么预计用的时间就是小时，实际每小时生产了个零件，共计生产了个，所以实际所用的时间是小时.根据“实际比原计划提前1小时完成”这个等量关系列方程. 解:设原计划每小时做x个零件. 根据题意，有 . 去分母，整理，得 . 解这个方程，得 . 经检验，都是原方程的根，但生产零件的个数不能为负数，所以只取. 当时，. 答:原计划每小时生产60个零件，预计用8小时完成任务. 例5 甲、乙二人分别从相距

38、27千米的A、B两地同时出发，相向而行，3小时相遇.相遇后两人各用原来速度继续前进，甲到达B地比乙到达A地早1小时21分.求两人的速度. 表示.题目的前一句 分析 本题中的主要等量关系是走完全程甲比乙少用1小时21分，可用等式话中隐含了二人速度之间的关系，27千米的路程，二人用3小时相遇，就是说二人的速度和是每小时9千米，如果设甲每小时走x千米，那么乙每小时走()千米. 解:设甲每小时走x千米，那么乙每小时走()千米. 依题意，有 . 化简得 去分母，整理，得 解这个方程，得 都是原方程的根，但速度不能为负数，所以只取. 经检验，当时，. 答:甲每小时走5千米，乙每小时走4千米. 点拨 本题也

39、可以把题中的两句话看成两个等量关系，列方程组求解.即 设甲的速度为每小时x千米，乙的速度为每小时y千米. 根据题意，有 . 方程组用代入消元法求解. 习题精选 1、选择题(四选一) (1)使分式的值为零的x的值为( ) A(2 B(,1 C(2或,1 D(1或,2 (2)如果方程有增根，则m的值等于( ) A(1或,2 B(,1或,2 C(,1或2 D(1或2 2、解答题 (1)解下列方程: ?;?;?; ?;?。 (2)用换元法解下列方程: ?;?; ?;?; ?;?。 (3)列方程解应用题 ?一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开放乙管注满水池多用5小时，如果两管同时开放

40、4小时后，把乙管关上，甲管继续开放2小时，这时水池还差没注满，求单独开放一个水管各需多少小时才能把水池注满, ?慢车从甲地开往乙地要比快车从乙地开往甲地多用1小时，若两车同时分别从甲、乙两地出发，相向而行，则经过1小时12分钟相遇，问慢车从甲地开往乙地需多少时间, ?某校一班学生组织去春游需要车费540元，现有二班学生5人也参加进来，车费不变，这样每人可以少分摊1(5元，问一班有学生多少人,每人实际分摊车费多少元, ?某人承包植树240棵的任务，计划若干天完成，植树两天后，由于阴雨天气，平均每天少植树8棵，因此延缓了4天完成任务，求原计划完成的天数( ?某校组织两个班学生到离校10千米的郊外春

41、游，一班同学步行，出发1小时后，二班同学骑自行车出发沿同一路线前行，结果比一班早半小时到达目的地，已知自行车比步行每小时多走6千米，求一班步行的速度( ?甲、乙两地相距300公里，一辆慢车从甲地出发驶向乙地，45分钟后，一辆快车以每小时比慢车快10公里的速度由乙地出发驶向甲地，两车刚好在甲、乙两地的中点处相遇，分别求出两车的速度( ?一小艇顺流36公里到目的地所用的时间，比它逆流回航到出发地要少一个半小时，已知小艇在静水中的速度是每小时10公里，求水流的速度是多少, 参考答案 )C。 1(1)A;(22(1)?;?(增根);?(增根)，;?;?。 (2)?;?;?，;?;?; ? (3)?甲需15小时，乙需10小时;?3小时;?40人，12元;?10天(提示:设原计划每天植树x棵，则);?每小时4千米;?慢车速度每小时40公里，快车速度每小时50公里;?每小时2公里。 第八节:由一个二方程组成的方程组 典型例题 例1 用两种不同的方法解方程组 解法1 由(1)得 (3) (3)代入(2)中，得 ， 即 。 解之，得 代入(3)中，得 。 ? 原方程组的解是 解法2 由(2)得， ? 或。 ? 原方程组可化为两个二元一次方程组 ? 原方程组的解是 评注:解法1是代入消元法，具体思维过程是:先消元，再把原方程组转化为一元二次方程;解法2是分解因式法，具体思维过程是:先