关于质因数和分解质因数的概念及方法.doc

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1、关于质因数和分解质因数的概念及方法:教学目的：使学生掌握质因数和分解质因数的概念，学会分解质因数的方法，培养学生分析和推理的能力。教学过程：一、复习1 要求每个学生说出 20以内的质数。2 指名说出什么叫合数？什么叫质数？3 判断下面哪几个数是合数？5、 6、 23、 28、 31、 60二、新课1.理解什么叫做分解质因数。(1) 理解每个合数都可以写成比它本身小的两个数相乘的形式。先把复习(3)中的质数写成两个数相乘的形式。指名说，教师填写：(1 )X( 5)=5(1)X( 23)= 23(1 )X( 31 )= 31再把复习(3)中的合数写成两个数相乘的形式。指名说，教师填写：有几种写几种

2、。7 =2820X15121046弓I导学生比较上面的等式，把质数和合数写成的两个数相乘的形式，有什么不同？学生回答后，教师归纳整理：一个质数只能写成1和它本身相乘的形式，不能写成比它本身小的两个数相乘的形式；而合数除了可以写成1和它本身相乘的形式以外，还可以写成比它本身小的两个数相乘的形式。因为一个合数，除了 1和它本身以外，还有别的约数。(2) 理解每个合数可以写成几个质数相乘的形式。教师说明，把6写成比它本身小的两个数相乘的形式，可用下面的写法：5A2X3引导学生观察第一个式子， 2和3这两个数是质数，还是合数？每个质数还可以写成比它本 身小的两个数相乘的形式吗？/ 4X（ 学生回答后，

3、教师板书：二丫厂然后问：现在相乘的数都是什么数？还能再把哪个数写成比它本身小的两个数相乘吗？接着，教师引导学生写出 60的分解式，同时在黑板上板书出来。然后，可以引导学生想：6和10两个数都是合数怎么办？请同学们自己把每一个合数换成比它本身小的两个数相乘的形式。（教师巡视、发现问题。）学生写完，指名说，教师板书：60/ /KXX然后提问：60不先写成6和10相乘，如果先写成 4和15相乘看看怎样？由学生口答教师 板书：4 X 1560/ /2 X 2X3X5还能再把哪个数写成比它本身小的两个数相乘吗？看一看这两个式子，改写后相乘的数相同吗？有什么不同？（引导学生说出相乘的数都是2、3、2、5,

4、只是顺序不同。）引导学生概括：从上面 3个例子看出，每个合数都可以写成什么样的数相乘的形式？（3）引出质因数和分解质因数的概念。 概括出质因数。从上面三个式子看出， 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。做练习十三第6题。 概括出分解质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。板书“分解质因数”，然后问:什么叫做分解质因数？学生回答后，教师小结：根据分解质因数的意义，把6、28、60分解质因数可以写成：6 = 2X328 = 2X 2X760= 2X 2X 3X5然后教师着重说明书写的格式：把一个合数写成分解质因数的形式，

5、要分解的合数写在等号左边，把它的质因数相乘的形式写在等号右边。通常把几个质因数按照从小到大的顺序排列。做练习十三第7题，把各数分解质因数后，再写成质因数相乘的形式。2 教学用短除法分解质因数。上面老师板书的分解质因数的过程，书写起来比较麻烦， 为了简便，通常用短除法来分解质因数。(1)介绍短除法。教师说明短除法是除法笔算的简化。先板书短除符号一，把被除数写在符号里边，把除数写在左边，把商写在被除数的下面，因为用口算，把除的过程简化了。例如 j ,就表示6十2, 商3。教师可以再带着学生用短除法分解28、60的质因数，就可以让学生自己试做。教师行间巡视。然后进行订正。(2 )让学生观察上面用短除

6、法分解质因数的过程，归纳总结用短除法分解质因数的方法。 用短除法分解质因数，一定要用什么样的数作除数？从什么样的数开始除起？ 除得的商如果是质数怎么办？如果是合数呢？(3)在学生试说的基础上教师加以归纳，然后打开课本第 62页看看结语。想一想：分解质因数应注意什么？做一做：把24分解质因数。共同订正。三、巩固练习：练习十三第 8题，共同订正。让学生阅读第 62页下面的“你知道吗？”四、全课小结：今天这节课我们共同学习了什么知识？什么叫分解质因数？怎样分解质因数？五、布置作业：练习十三第 9题。教材说明1 质数和合数质数和合数、分解质因数是在约数和倍数以及能被2、5、3整除的数的特征的基础上进行

7、教学的。质数和合数、分解质因数是求最大公约数、最小公倍数以及约分、通分的基础。因此 这部分内容的教学不仅要使学生掌握质数、合数的概念，而且能较快地看出常见数是质数还是合数，会把一个数分解质因数。 这一节内容中抽象概念较多，而且有些概念容易混淆， 如质数与质因数，质数与奇数等。因此这节内容是教学的难点。教学质数和合数概念时， 教材通过例1首先引导学生找出112各数的全部约数，然后按照 每个数的约数的个数及特点进行分类。 在此基础上给出质数、 合数的概念。同时说明1既不 是质数，又不是合数。通过例2和“做一做”练习判断哪些数是质数， 哪些数是合数，以加 深学生对质数、合数的认识。然后说明用查表的方

8、法来判断一个数是不是质数也是一种方法。由于小学用到的质数比较少，所以教材中只列出了 100以内的质数表。这些质数不必要求学生都背熟，但是熟悉 20以内的质数还是必要的。2 分解质因数教学分解质因数时，教材先通过“观察”(1 )中给出的数都是质数，(2)中所给的数都是合数，提出问题让学生思考， 这两组数能否写成比每个数本身小的两个数相乘的形式，进而 得出，一个合数总可以写成几个质数相乘的形式，从而引出质因数和分解质因数的概念。例 3 教学怎样分解质因数。 教材中分 2 栏，左边是塔形分解式， 右边是算式分解式。 由于学 生不很熟悉这种表示法， 教材中对 6的分解质因数专门给予了说明。 接着在把

9、28和 60分解 质因数的基础上，教材中说明什么是一个合数的质因数，以及什么叫分解质因数。然后， 教材介绍了用短除法分解质因数的方法。 短除法与上面的分解式实质上是一样的， 只 是形式不同。 用短除法便于很快地得到分解的结果， 同时， 学习用短除法分解质因数， 也为 用短除法求最大公约数和最小公倍数做准备。在举例之后，教材总结出分解质因数的步骤。 到本节教材止，已经出现了约数、倍数、奇数、偶数、质数、合数、质因数等概念。其中有 些概念学生容易混淆。 为此，练习十三中注意安排一些区分概念的练习题。 如第 3 题，要填 出横线上的数目， 就要应用已学过的奇数、 偶数、 质数和合数的概念， 使学生在

10、对比中弄清 这些概念之间的联系和区别。第 4 题是判断题，奇数和质数，合数和偶数都是易混的概念， 通过这道题可使学生分清每个概念的意义， 以及这些概念的联系和区别。 第 6 题是为了弄清 因数和质因数的联系和区别。第 14 题则是把一个合数分解质因数与求一个数的约数进行对 比练习。 一方面弄清两者的区别， 另一方面也使学生初步学会利用分解质因数的结果求一个 合数的全部约数。教学建议1这部分内容可以用 3 课时进行教学。完成练习十三中的习题。2 教学例1时，可以先复习约数的概念，然后再让学生找出112各数的所有约数，并把它们写在书上。 教师通过提问再板书到黑板上。 然后再按书上的要求提出问题对约

11、数的个数 进行分类。接着可以对只有两个约数的2、3、5、7、11 这些数进一步提问：这几个数的约数有什么特点？使学生明确它们只有 1 和本身两个约数。再提问： 4、6、8、9、10、12 这 些数的约数与上面的数的约数相比有什么不同？使学生明确这些数除了都有1 和它本身两个约数，还有别的约数。然后可以引出质数、合数的概念，说明前一类数叫质数，后一类数 叫合数。还要强调合数除了 1 和本身外，“还有”别的约数。接着可以说明“ 1”既不是质 数，也不是合数。 教学例 2 的时候， 可以引导学生先找出每个数的约数， 然后再根据质数和 合数的意义进行判断。 “做一做”可以让学生独立完成。 然后再说明检

12、验一个数是不是质数， 还可以用查表的方法做到。 由于自然数是无限的， 所以质数和合数也是无限的。 课本中只列 出 100以内的质数表，这是因为较大的质数不常用。然后向学生强调20 以内的质数用得较多，最好逐步记住。3 学生学过质数、合数后，往往误把质数和奇数、合数和偶数混同起来。因此可以顺便指出，前面按能不能被 2 整除可以把自然数分成两类， 即一类是偶数， 另一类是奇数。 现在按 一个数的约数多少的不同情况可以把非零自然数分成三类，即质数、合数和1。然后可以结合质数表和例 2提出问题， 让学生观察和思考。 如：是不是所有的质数都是奇数？是不是所 有的奇数都是质数？引导学生明确不是所有的质数都

13、是奇数，如2是质数，但它不是奇数，而是偶数；也不是所有的奇数都是质数，如35、 87 都是奇数，但都不是质数。另外也不是所有的偶数都是合数，如偶数2就不是合数。4 教学例3分解质因数时，可以先让学生观察并回答“观察”中的“ 1”和“ 2”。教学把6改写成几个比它本身小的质数相乘的形式时，为了使学生更容易理解，可提问：6可以改6A写成哪两个数的乘积？ (2X3)接着再提问：2和3是不是质数？启发学生说出 2和3都 是质数，不能再改写成比它们更小的数相乘的形式。学生回答后教师在 2和3的外面画上圆圈。最后在分解式的右面写出分解式的横式，说明用它来表示左边的分解式。教学把28进行质数分解时，可以提问

14、：28可以写成哪两个数的乘积？接着，教师写出分解28A式4 X7 ,并提问学生：这个分解式中相乘的两个数各是什么数？教师在学生回答后把7用圆圈圈起来。并说明这个分解式可以写成“ 28= 4X 7”。教师再进一步指出，4X7 中的428/ 4X/ 是合数，还能改写成 2X 2。接着写出 二J。然后再写出横式“ 28= 2X 2X 7”。把60进行质数分解，则可以适当放手，让学生自己写一写，并可让学生互相检验。教师行 间巡视，加以指导。订正时，教师再板书出分解式。这里，要使学生明确，分解成的两个数6和10都是合数，都能再分解成两个比它们小的数相乘的形式。并把原分解式改成：最后可以引导学生观察每个分

15、解式各个数都是什么数，还能不能再写成比它们更小的数相乘的形式。明确全部写成质数相乘的形式为止，就不能再改写了。在此基础上引出质因数概念，再说明把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。并给出分解质因数的一般写法。5 教学用短除法分解质因数之前，可以先介绍一下什么是短除法。指出短除法是把一般除法竖式中除的过程加以简化，除的时候每次把除数写在被除数的左边，把商写在被除数的下面。如：除数,2|28，,被除数第二次的除数,2|14,商，第二次的被除数7, 第二次的商（不是余数）这种除法适合做一位数除， 一般只要用口算求出商， 还可以继续除下去。 教学用短除的形式 分解质因数时， 要注意联系

16、上面分解质因数的过程， 强调一般先用小的质数开始除， 同时还 要明确书写格式。直到除得的商是质数为止。另外，学生对用短除法分解质因数熟悉以后， 遇到把较小的数分解质因数， 如果能直接看出分解的结果可省去短除过程， 直接写出连乘的 形式。对于第 62 页分解质因数计算法则的结语， 学生只要知道分解质因数的步骤， 会做就可以了， 不要求学生一字不差地背下来。6第 62 页下面方框中的“你知道吗？”只供学生阅读，教师不必讲解。 文中给出的最大质数只是到 1996 年 9 月时人们发现的最大质数，并不是说没有再比它大的质数，只是还没有 发现。7关于练习十三中一些习题的教学建议。做第 1 题时，可以让学

17、生用不同的颜色笔画掉应该画去的数，以便看清哪些数是 2 的倍数， 哪些数是 3的倍数，哪些数既是 2的倍数又是 3的倍数, 顺便还可以告诉学生， 古代的数 学家找质数就是用的这种方法。有兴趣的学生还可以找来课外书阅读。第 4 题是判断题，要让学生说一说错的判断错在什么地方。第 6 题，结合本题可以提问： 质因数与因数有什么相同与不同？使学生明确质因数不同于一般的因数。积的因数可以是质数， 也可以是合数。而质因数本身必须是质数。如52 = 13X 4,13 和 4都是 52的因数，同时 13 又是 52 的质因数，因为 13本身是质数， 而 4不是 52的质 因数，因为 4是合数。第10题，20

18、 = 2X 2X 5, 30 = 2X 3X 5,因此它们相同的质因数是2和5。第 11 题，在学生做完后，订正时要让学生联系质数、质因数的意义来回答。对学生发生混 淆的概念更要注意帮助弄清概念之间的区别。第 14题,学生做完后,可以问问他们是怎样用分解质因数的方法来找约数的。然后,教师 可结合具体例子说明怎样根据把一个数分解质因数的结果来求这个数所有的约数。说明每个数的约数（1除外）有的是它的质因数，有的是它的几个质因数的乘积。女口18 = 2X 3X 3,除了 2、3是18的约数外，还能得出 2X 3 （即6），和3X 3 （即9），也是18的约数，再 加上 1 和 18 本身,就得到 1

19、8的所有约数是 1、 2、 3、 6、 9、 18。第15题，第一问实际上是求面积的问题，解法是：0.6 X 0.2 X 2+ 0.5 X 0.2 X 2=0.44 （平方米）。第二问是求体积的,因为没有给出木板的厚度,所以可以不计算木板厚度,算出水 泥砖的体积是 0.6X0.5X0.2= 0.06（立方米）。第 17*题,用 1、 5、 6可以排列成下面这些三位数：156、 165、 516、 561、 615、 651。其中165 和 615 既含有质因数 3,又含有质因数 5。 156和 516中既含有质因数 2,又含有质因数3 。订正时要让学生说一说是怎么思考的。第 18*题,从 10

20、0 以内的质数表可以看到, 3、 5、 7三个质数相乘就超过 100了,所以,三 个不同的质数不能都大于 3。这样, 100 以内是 3 个不同质数的积的数有 2X3X5= 30, 2X3X7= 42, 2X3X11= 66, 2X5X 7=70, 2X3X13= 78,即 30、 42、 66、 70、 78这五 个数。第 65页最下面的思考题,可以这样考虑：和 1 个面相邻的有另外 4个面,从第一个图中看 到与 3相邻的有 1 和 2,从第二个图中看到与 3 相邻的有 4和 5,所以能推出 3的对面是数 字 6。同样,从第二和第三个图中可以看到,和 4相邻的 4个面的数字分别有 1、 3、 5、 6, 所以推出 4 的对面是数字 2。从第一个和第三个图中可以看到,和 1 相邻的 4个面的数字分别有 2、 3、 4、 6,所以推出 1 的对面是数字 5。