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1、兴义市天赋中学数学必修二教案：7.2直线的方程(2)教学目的：1. 掌握直线方程的两点式、截距式以及它们之间的联系和转化，并能根据条件熟练地求出满足已知条 件的直线方程-2. 通过让学生经历直线方程的发现过程，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力，使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力-3. 在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神-教学重点：直线方程的两点式、截距式的推导 -教学难点：直线方程的两点式、截距式的推导及运用.授课
2、类型：新授课- 课时安排：1课时- 教 具：多媒体、实物投影仪- 内容分析：本小节所介绍的直线方程的几种形式中，两点式、截距式给出了根据常见的条件求直线方程的方法和 途径，直线方程的截距式、两点式都是由点斜式导出.讲解直线方程的两点式、截距式，着重于两点式的推导、应用以及斜率不存在的或为零时对两点式方程的讨论及变形-教学过程：一、复习引入：1.直线的点斜式方程-已知直线I经过点R(xi，yj，且斜率为k，直线的方程：y y! k(x xj 为直线方程的点斜式.直线的斜率k 0时，直线方程为y y,；当直线的斜率k不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为x x,.2 .直线的斜截式方程
3、一 已知直线I经过点P (0,b )，并且它的斜率为k，直线I的方程：y kx b为 斜截式斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便斜截式y kx b在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间只有当k 0时，斜截式方程才是一次函数的表达式.斜截式y kx b中，k , b的几何意义-应用直线方程的点斜式，求经过下列两点的直线方程： A (2,1 ), B(6,-3): A(0,5) B(5,0): A(-4,-5) B(0,0).设计意图：本环节从学生利用上节课学过的直线的方程的点斜式，求过两已知点的直线的方程出发， 让学生“悟”出学习两点式的必要性同时也“悟”也两点式的推导
4、方法，以此导入新课，目的在于学生 既加深学过知识的理解，又为学习新知识奠定良好的基础-二、讲解新课：3.直线方程的两点式已知直线上两点 A(x1, y1) , B ( x2, y2) (x1 x2)，求直线方程首先利用直线的斜率公式求出斜率，然后利用点斜式写出直线方程为：yyiH(x Xi)X2 X1由y yi X 比(x Xi)可以导出一匕X2 Xiy2 yi，这两者表示了直线的范围是不同的.后者表.所以采用示范围缩小了 但后者这个方程的形式比较对称和美观，体现了数学美，同时也便于记忆及应用 后者作为公式，由于这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线方程的两点式-所以，当XiX2，yiy2
5、时，经过A(Xi, yi)B(X2,y2)的直线的两点式方程可以写成:y yix &y2 yiX2 Xi探究i ：哪些直线不能用两点式表示？答：倾斜角是0或90的直线不能用两点式公式表示探究2：若要包含倾斜角为 00或900的直线，应把 两点式变成什么形式？答：应变为 (y yi)( X2 Xi) (x xj(y2 yi)的形式-探究3:我们推导两点式是通过点斜式推导出来的，还有没有其他的途径来进行推导呢？答：有，利用同一直线上三点中任意两点的斜率相等-4 直线方程的截距式定义：直线与x轴交于一点(a,0 )定义a为直线在x轴上的截距；直线与 y轴交于一点(0, b )定 义b为直线在y轴上的
6、截距.在例i (4)中，得到过 A( a ,0) B(0,b)( a , b均不为0)的直线方程为 y-x b，将其变a形为：y i -ab以上直线方程是由直线在 x轴和y轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的截距式有截距式画直线比较方便，因为可以直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标-探究4： a, b表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？答：不是，它们可以是正，也可以是负，也可以为0.探究5：有没有截距式不能表示的直线？答：有，当截距为零时.故使用截距式表示直线时，应注意单独考虑这几种情形，分类讨论，防止遗 漏- 三、讲解范例：例i求过下列两点的直线的两点式方程，再化为斜截式
7、方程(i) A( 2,i ), B ( 0, 3); (2) A (-4, - 5), B ( 0,0 )(3) A ( 0,5 ) , B(5,0) ; (4) A( a ,0) B(0, b) ( a , b均不为 0)设计意图：为更好地揭示直线方程两点式公式的内涵，加深学生对公式的理解，本环节通过创设不同角度的四个问题，供学生思考、分析，让学生体会数学的“对称美”，同时又培养了学生严密的逻辑思维能力，渗透了分类讨论的数学思想。另外，通过学生完成练习，既巩固了两点式的应用，又产自然地引 导出下一环节讲解的截距式-例2说出下列直线的方程，并画出图形.倾斜角为45，在y轴上的截距为0；在x轴上
8、的截距为5，在y轴上的截距为6;在x轴上截距是3,与y轴平行；在y轴上的截距是4,与x轴平行设计意图：在讲完两点式后，紧接着讲解截距式，有利于比较两种形式的方程，从而有助于学生理解两者之间的内在的联系和区别，在具体应用截距式时能考虑到截距为0与不为0的两种情况，并建立完善的知识的结构-四、课堂练习：(1)过点P(2 , 1)作直线I交x,y正半轴于AB两点，当| PA | | PB |取到最小值时，求直线I的方程解：设直线I的方程为：y 1 k(x 2), (k 0)1令y = 0解得x 2 ；令x = 0,解得y 1 2kk1二A ( 2 , 0), B (0, 1 2k),kI 12 -
9、I PA | |PB | = J(1 古)(4 k2).84(k2)84 24k当且仅当k21即k 1时，| PA | | PB |取到最小值.又根据题意k 0, k 1所以直线l的方程为：x y 30 -评述：此题在求解过程中运用了基本不等式，同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除k = 1的情形-(2)一直线被两直线h : 4x y 60 , l2 : 3x 5y 60截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.解：设所求直线与丨1 J的交点分别是 A B,设A(X0,y。),贝U B点坐标为(x。，y。)-4xo yo 603x0 5y06 0 +得：X。 6y0，即点A在直线x
10、6y 0上，又直线x 6y 0过原点，所以直线1的方因为A、B分别在l1 , l2上，所以程为x 6y 0.,3x y 3 3的倾斜角的(3)直线Ax By 1 0在y轴上的截距是1,而且它的倾斜角是直线2倍，则()A. A= ；3 , B= 1B.A=-?3 , B= 1C. A= 3 , B= 1D.A= 3 ,B= 1解：将直线方程化成斜截式A yx1BB因为丄=1 , B= 1,故否定A、D.B又直线,3xy3.3的倾斜角=,3直线AxBy210的倾斜角为2=3A斜率-tan2 =-、3 ,B3 A= 一/3 ,B=1，故选B(4)若直线Ax By C 0通过第二、三、四象限，则系数
11、A B、C需满足条件()A.A、B C同号B.ACk 0, BCk 0 C. C= 0, AB 0,且一0BB即A、B同号，B C同号. A、BC同号，故选A-解法二：(用排除法)若C= 0, AB 0,则原方程化为yA xCA xA由 AB 0.BBBB此时直线经过原点，位于第一、三象限，故排除C.Cc若A= 0, BCk 0,则原方程化为 y.由BCk 0,得 0.BB此时直线与x轴平行，位于x轴上方，经过一、二象限.故排除D.若A(k 0, BC 0.此时直线经过第一、二、四象限，故排除B.故A、B、C同号，应选 A(5)直线y ax b ( a b = 0 )的图象是()yy.y-1
12、Ox ToxOO 1AB卜、CD解法一：由已知，直线 y ax b的斜率为a,在y轴上的截距为b -又因为a b = 0. a与b互为相反数，即直线的斜率及其在y轴上的截距互为相反数-图 A 中，a 0, b 0;图 B中，a 0, b 0, b = 0 故排除A B、C.选D.解法二：由于所给直线方程是斜截式，所以其斜率a工0,于是令y = 0，解得x -.又因为aac ,.b *0,a b，x1a直线在x轴上的截距为1,由此可排除 A B、C,故选D -五、小结：通过列表从名称、形式、已知条件、使用范围、示意图等方面对所学的直线方程的四种形式 斜式、斜截式、两点式、截距式)进行填表比较：直线名称已知条件直线方程使用范围示意图点斜式卩1区，丫1), ky y1k(x xjk存在斜截式k, by kx bk存在两点式(X1, yj(X2, y2)y y1x 洛捲X2,y1y2y2y1X2为截距式a, b上1a ba 0,b0设计意图：为帮助学生用联系的观点来学习知识，又能把四种形式的直线方程加以区别，以便更好地运用 它们，本环节主要采用比较法的形式小结一六、课后作业：七、板书设计(略)八、课后记：