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1、2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置
2、报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 吉林工业职业技术学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 王升文 2. 赵豪杰 3. 李志鹏 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 魏振义 日期： 2011 年 09 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：企业退休职工养老金制度的改革 摘要 本文通过给出养老金的计算方法，以及2010年山东
3、省职工历年平均工资统计表等相关资料。利用曲线拟合的数学方法处理数据、建立二阶函数、三阶函数、指数函数模型，最后通过比较和检验，选出最优模型。并且利用该模型预测山东省20112035年职工平均工资； 对于问题二，首先通过2009年山东省某企业各年龄段工资分布表求解出各年龄段职工缴费指数，通过缴费指数、养老金计算方法和养老金替代率计算方法列出养老金计算公式和养老金替代率计算公式 在求解问题时考虑到社会平均工资增长与个人账户记账利率比值=1和的两种情况，最后利用此公式分别计算出该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁、60岁、65岁）这六种情况的养老金替代率
4、。 问题三，首先计算职工从30岁始到退休所缴纳的全部养老金，其次假设职工退休后拿年的养老保险金能保证养老金的收支平衡。用含的表达式表达出退休后所拿的养老保险金。列出方程，求出。问题四，将可能影响替代率和收支平衡的因素单独拿出讨论，如： 缴费率替代比例、退休年龄、工资增长率和养老金增值率，从而得出哪些因素对替代率和收支平衡有影响。关键词：曲线拟合、最优模型、缴费指数、社会平均工资增长率一、问题重述：问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企
5、业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。问题三：假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。二、模型假设：1、 假设外界因素不发生变化，
6、山东省职工平均工资可以代表全国职工平均工资；2、 在计算职工从30岁缴纳养老保险金到退休时（55岁、60岁、65岁）不考虑 职工的重病和死亡；3、职工缴纳保险时，没有拖欠等情况；发放养老金也不存在拖欠等情况；3、 符号说明：Xi：年份（i=1978,19792010）Yi：每年的平均工资A：2024岁职工月平均收入B：2529岁职工月平均收入C：3034岁职工月平均收入D：3539岁职工月平均收入E：4044岁职工月平均收入F：4550岁职工月平均收入G：5055岁职工月平均收入H：5559岁职工月平均收入I：企业平均工资P:月基本养老金;W0 :社会平工资基数 ,即参保前 1年的上年度社平工
7、资; C:缴费工资指数; N:缴费年限; n:计发月数; q:社会平均工资增长率 ,为简化公式 ,将 1 + q记作 Q;r :个人账户记账利率 ,为简化公式 ,将 1 + r记作 R; （后续如果用到一些符号另加说明）四、模型的建立与求解：问题一：模型的建立：为了大致的分析Xi与Yi的关系，首先利用附件一的数据作出Y对Xi的散点图（如图）对于该问题，我们使用的是最小二乘法对离散的数据进行分析，阶数分别取2阶、3阶，建立指数函数模型和多项式模型。1、 多项式函数模型将年分，职工历年平均工资统计表数值分别构造成矩阵。a=566,632,745,755,769,789,985,1110,1313,
8、1428,1782,1920,2150,2292,2601,3149,4338,5145,5809,6241,6854,7656,8772,10007,11374,12567,14332,16614,19228,22844,26404,29688,32074；b=1978:2010； 下面调用Matlab中的多项式曲线拟合函数：polyfit( )调用格式：p=polyfit(x,y,n)p,s= polyfit(x,y,n)说明：x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向 量p。矩阵s用于生成预测值的误差估计。模型的求解： 模型所要求问题相对简单，各数据点是离散的数据
9、，属于非线性相关的点，我们取年份作为x轴，保障基金作为y轴。二阶多项式： p,s= polyfit(c,a,2);ai=linspace(1978,2010,32); z=polyval(p,ai);图像如下：三阶多项式： p,s= polyfit(c,a,3);ai=linspace(1978,2010,32); z=polyval(p,ai);图像如下：指数函数模型：., 越大则说明实际观察值与估计值越接近 曲线拟合的越好。 因此指数函数模型更接近于事实。 下面就利用指数函数模型预测山东省职工20112035年平均工资：2011年：=47220;2012年：；2035年：将年平均工资用列表
10、表示如下：年份2011201220132014201520162017平均工资47220538776147470141180031913151041902018201920202021202220232024118880135640154770176590201480229890262310202520262027202820292030299290341490389640444570507250578770203120322033203420356603807534908597209809401119200问题二：由于每年龄段职工收入不相同，我们采取平均值进行计算：A=（125074+175
11、0165+225026+275016+32501）同理可得：各年龄段职工缴费指数分别为：A1、B1、C1、D1、E1、F1、G1、H1列表如下：年龄段20-2425-2930-3435-3940-4445-4950-5455-59缴费指数 下面利用这些缴费指数计算该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁、60岁、65岁）各种情况的养老金替代率。替代率计算模型模型的建立：替代率（用X表示）：指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。P：职工刚退休时的养老金Z：退休前工资根据定义可知：养老金P=基础养老金P1+个人账户养老金P2 基础养老金的计算相对简单
12、,在我们的模型中把缴费指数和缴费年限作为独立变量 ,只要根据社平工资的增长率得出退休时的社会平均工资即可。个人账户养老金的计算相对复杂 ,因为个人账户是一个积累量 ,每年积累的量不一样 ,同时还需要考虑记账利息因素。在模型中 ,对个人账户的处理方法是逐年计算个人账户储存额 ,并同时考虑该金额到退休时的本金及利息 ,最后将所有年度的本息进行累加。养老金的计算模型：根据题目表述：养老金 = 基础养老金+个人账户养老金个人账户养老金=个人账户储存额计发月数基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）2缴费年限1%本人指数化月平均缴费工资=全省上年度在岗职工月平均工资本人平均
13、缴费指数由此我们可以建立基本养老金的计算公式：当m1时（社会平均工资增长率与个人账户记账利率不相等）：当m1时（社会平均工资增长率与个人账户记账利率相等）：符号说明: P:月基本养老金;W0 :社会平工资基数 ,即参保前 1年的上年度社平工资; C:缴费工资指数; N:缴费年限; n:计发月数; q:社会平均工资增长率 ,为简化公式 ,将 1 + q记作 Q; r :个人账户记账利率 ,为简化公式 ,将 1 + r记作 R; m: R与 Q的比值,即 m =R /Q模型的求解：企业职工从2000年起从30岁、40岁开始缴费到退休（55岁，60岁，65岁），因此存在6种情况：从30岁开始缴费到5
14、5岁；从30岁开始缴费到60岁；从30岁开始缴费到65岁；从40岁开始缴费到55岁；从40岁开始缴费到60岁；从40岁开始缴费到65岁；要计算基本养老金，首先得计算社会平均增长率通过对山东省职工历年平均工资统计表拟合的指数函数模型： 求导可得山东省职工历年工资增长率计算公式： 得到年平均社会增长率：12.35%第种情况： 替代率 同理可以求得： 问题三：首先计算职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，直到55岁退休，并领取养老金到75岁死亡这种情况下的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。：企业职工从30岁到55岁时缴费的总和；：企业职工从55岁退休时到75岁时拿到养老金的总和。=故
15、缺口为假设企业职工退休拿退休金到年时刚好缺口为0，则可以根据题目列出关于的方程： 解方程可得：； 故职工从30岁开始缴费到55岁退休，只能拿5年半的退休金才不会导致缺口。也就是拿退休金到60岁半不会出现缺口情况。同理：可以求得职工从30岁开始缴费到60岁退休时拿年不会导致缺口，也 就是拿退休金到岁不会出现缺口情况； 职工从30岁缴费到65岁退休时拿年不会导致缺口，也就是拿退休 金到岁不会出现缺口情况。问题四： 既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡可以采取哪些措施？下面对各个养老保险平衡的影响因素分析：1、 缴费率缴费率表示缴费者的养老金缴费占缴费工资总额的比率。缴费率是平衡养老金收
16、支时应放在首位考虑的因素, 是决定养老金收支平衡的关键。缴费率的大小取决于缴费者即企业和职工的承受能力。缴费率较低, 缴费者承受负担轻, 有利于企业的积累。缴费率较高, 缴费者负担重, 不利于企业的积累和发展。企业的积累和发展受影响, 国民经济发展水平也就难以提高, 未来社会保障水平的提高也难以保证。确定缴费率高低时最主要的是要考虑企业的承受能力。因缴费率过高而影响企业和经济的发展, 这是得不偿失的。在养老金收支平衡条件的诸因素中, 缴费率主要与替代比例、退休年龄相关。缴费率与替代比例的关系是: 替代比例高、平均养老金占职工平均工资的比重就大, 缴费率自然就高; 反之, 替代比例低时, 缴费率
17、也低。缴费率与退休年龄的关系是: 退休年龄早, 全部就业年龄以上人口中在职职工即缴费者人数减少, 退休职工人数增大, 抚养比增大, 缴费率就较高; 反之, 延迟退休年龄可使扶养比减小, 缴费率降低。因此, 替代比例和退休年龄的确定要使缴费者能够承受缴费负担。如果缴费者负担过重, 应采取切实措施调整替代比例和退休年龄, 使缴费率降下来。目前我国养老保险缴费率应控制在26 28%以下, 其中企业缴费部分的缴费率应控制在18 20%以下。 2、 替代比例替代比例表示退休职工平均养老金占职工平均工资的比率。替代比例是影响缴费率高低, 从而影响养老金收支平衡的重要因素。目前按我国1978 年退休制度的规
18、定, 退休工资相当于本人退休前工资的80%以上, 根据推算, 替代比例即平均退休金相当于职工平均工资的比率在100%以上, 根据表1 所列数据, 当退休年龄为57 62 岁时, 根据100%替代比例计算所得的目标期间缴费率为43 29%。这样高的缴费率是缴费者难以承受的。只有当退休年龄在63 岁以上时, 缴费率才能降到27%以下。因此必须把过高的替代比例降下来, 降到只保证基本养老生活水平需要。从表1 中可以看出, 以57 岁退休年龄为例, 替代比例从100%降到75%时, 缴费率可以从4314%降到3215% , 即替代比例每降低5 个百分点, 缴费率可降低212 个百分点。替代比例的降低可
19、通过养老金计发办法改革的合理设计来逐步实现。可是, 替代比例的降低受以下三个因素影响也有一定难度。一是恩格尔系数的影响。当恩格尔系数较高时, 替代比例过低会使退休职工的养老金收入不能维持基本生活需要。因此, 在国民收入水平较低时, 应保持一定水平的替代比例。以后随着国民收入水平的提高和恩格尔系数的下降, 可逐步将替代比例降下来。二是养老金刚性的影响。从长远看如条件允许还可再略为降低。 3、退休年龄假定开始就业年龄为一定, 退休年龄的规定关系到就业年龄以上人口中在职职工人口和退休职工人口的比重, 从而影响扶养比的大小。退休年龄规定较早, 则在职职工人口比重减小, 退休职工人口比重增大, 抚养比增
20、大, 养老负担增大。退休年龄规定较晚, 则抚养比减小, 养老负担减轻。根据我国1978 年的规定, 我国企业职工平均退休年龄约为56 57 岁, 就以略为放宽的57 岁进行计算, 根据表 1 的数据, 19902100 年目标期间内按70 100%替代比例计算的缴费率为30 43%。可见, 退休年龄过早正是我国养老负担沉重的重要原因。因此, 从长远看, 为了减轻社会养老负担, 退休年龄的延迟势在必行。 根据表1 中80%替代比例的数据, 退休年龄从57 岁延迟到65 岁, 缴费率可以从3417%降到1719% , 即降去近一半。退休年龄平均每延迟一年, 缴费率平均可降低211 个百分点。但是延
21、迟退休年龄的主要障碍是我国近二、三十年内就业压力过大。根据我国人口发展预测, 2020 年以前我国1859 岁就业年龄人口仍处于增长阶段, 延迟退休年龄等于是挤掉年轻人的就业机会。因此, 2020 年以前可维持现有退休年龄规定。2020 年以后, 就业年龄人口开始减少, 就业压力减轻, 此时可适当延长退休年龄以减轻缴费者负担。假定退休年龄延迟采取从2020 年起延迟到60 岁和从2050 年起延迟到65 岁的分步延迟办法, 可计算出 19902100 年目标期间在 70 80%替代比例下的缴费率为 21152416%。这个缴费率负担对缴费者来说是比较适中的。 4、工资增长率和养老金增值率工资增
22、长率和养老金增值率也是影响养老金收支平衡的重要因素。当人口状态趋于老龄化时, 养老保险平衡的实质是拿养老金收大于支时期的结余来弥补养老金收不抵支时期的缺口, 从而实现整个目标期间的养老金收支平衡。工资增长率关系到收不抵支时期的资金缺口的大小。当工资增长率较高时, 平均养老金水平也相应提高, 收不抵支时期的资金缺口的数额也就越大; 反之, 当工资增长率较低时, 资金缺口的数额也就较小。养老金增值率关系到收大于支时期的养老金结余的增值速度。养老金增值率较高, 养老金增值较快, 养老金积累的数额就越大, 越有利于弥补未来收不抵支时期的资金缺口; 反之, 养老金增值率低, 养老金积累数额就较小, 难以
23、弥补收不抵支时期的资金缺口。根据养老金平衡条件式 (5) , 当工资增长率与养老金增值率相等时, 养老金收支平衡与工资增长率、养老金增值率无关。这也就是说, 养老金增值的速度正好能弥补缺口资金扩张的速度, 从而缴费率与工资增长率和养老金增值率无关。当工资增长率大于养老金增值率时, 养老金结余增值的速度赶不上工资增长即养老金缺口扩张的速度, 养老金会发生收小于支的失衡, 为了维持平衡, 必须调高缴费率。当工资增长率小于养老金增值率时, 则会发生相反的结果, 出现养老金收大于支的盈余, 有利于养老负担的减轻或替代比例的提高。 因此, 为使工资增长率与养老金增值率的不等对养老金收支平衡的影响尽量减小
24、, 应使养老金增值率接近或等于工资增长率。 综上所述：既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，可以适当 的提高缴费率；退休年龄适当延迟；工资增长率和养老金增值率。参考文献： 1 周渭兵 社会养老保险精算研究现状及需多进步研究的课 题 J .统计 究 ， 2 0 0 0， 1 2： 4 6 4 9 2 王晓军中国养老金制度及其精算评 价 M .北 经济管理出版社 ，2 0 00 3 王鉴刚社会养老保险平衡测算 M.北求:经济管理出版社,1 9 9 9 4 姜启源 谢金星 数学建模 高等教育出版社 2003 5 刘卫国 MATLAB程序设计与应用 2007附表一：年份平均工资197856
25、6 1979632 1980745 1981755 1982769 1983789 1984985 19851110 19861313 19871428 19881782 19891920 19902150 19912292 19922601 19933149 19944338 19955145 19965809 19976241 19986854 19997656 20008772 200110007 200211374 200312567 200414332 200516614 200619228 200722844 200826404 200929688 201032074 附件2：2009年山东省某企业各年龄段工资分布表年龄段月收入范围（元）1000-14991500-19992000-24992500-29993000-34993500-39994000-49995000-800020-24岁职工数741652616100025-29岁职工数36829442630030-34岁职工数03283952462035-39岁职工数011748336164240-44岁职工数004386552113345-49岁职工数033232644118450-54岁职工数07232944218355-59岁职工数06172737770