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1、原创2013中考数学试题分类汇编：等腰直角三角形2013中考全国100份试卷分类汇编等腰直角三角形 1、(2013衢州)将一个有45?角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上(另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30?角，如图，则三角板的最大边的长为( )A( B( C( D( 3cm 6cm cm cm 考点:含 30度角的直角三角形;等腰直角三角形( 分析:过另一个顶点 C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30?角所对的边等于斜边的一半，可求出有45?角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边( 解答:解:过点 C作CD?
2、AD，?CD=3， 在直角三角形ADC中， ?CAD=30?， ?AC=2CD=23=6， 又三角板是有45?角的三角板， ?AB=AC=6， 22222?BC=AB+AC=6+6=72， ?BC=6， 故选:D( 点评:此题考查的知识点是含 30?角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先由求得直角边，再由勾股定理求出最大边( 2、(2013内江)已知，如图，?ABC和?ECD都是等腰直角三角形，?ACD=?DCE=90?，D为AB边上一点(求证:BD=AE( 考点: 全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形( 专题:证明题( 分析:根据等腰直角三角形的性质可得 AC=BC，CD=CE，再根
3、据同角的余角相等求出?ACE=?BCD，然后利用“边角边”证明?ACE和?BCD全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明( 解答: 证明:?ABC和?ECD都是等腰直角三角形， ?AC=BC，CD=CE， ?ACD=?DCE=90?， ?ACE+?ACD=?BCD+?ACD， ?ACE=?BCD， 在?ACE和?BCD中， ?ACE?BCD(SAS)， ?BD=AE( 点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及等角的余角相等的性质，熟记各性质是解题的关键( 3、(2013常德压轴题)已知两个共一个顶点的等腰Rt?ABC，Rt?CEF，?ABC=?CEF=90?，连接
4、AF，M是AF的中点，连接MB、ME( (1)如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证:MB?CF; (2)如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长; ，当?BCE=45?时，求证:BM=ME( (3)如图2考点:三角形中位线定理;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形( 3718684 分析:( 1)证法一:如答图1a所示，延长AB交CF于点D，证明BM为?ADF的中位线即可; 证法二:如答图1b所示，延长BM交EF于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB?EF，再根据两直线平行，内错角相等可得?BAM=?DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证
5、明?ABM和?FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到?BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出?EBM=45?，从而得到?EBM=?ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明MB?CF即可， (2)解法一:如答图2a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线; 解法二:先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得EM?BD，求出?BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可; (3)证法一:如答图3a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线:BM=DF，ME=AG;然后证明?ACG
6、?DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME; 证法二:如答图3b所示，延长BM交CF于D，连接BE、DE，利用同旁内角互补，两直线平行求出AB?CF，再根据两直线平行，内错角相等求出?BAM=?DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明?ABM和?FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，BM=DM，再根据“边角边”证明?BCE和?DFE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE，全等三角形对应角相等可得?BEC=?DEF，然后求出?BED=?CEF=90?，再根据等腰直角三角形的性质证明即可( 解答: (1)证法一: 如答图1a，延长AB交CF于点D，则易知?
7、ABC与?BCD均为等腰直角三角形， ?AB=BC=BD， ?点B为线段AD的中点， 又?点M为线段AF的中点， ?BM为?ADF的中位线， ?BM?CF( 证法二: 如答图1b，延长BM交EF于D， ?ABC=?CEF=90?，X Kb1. Co m ?AB?CE，EF?CE， ?AB?EF， ?BAM=?DFM， ?M是AF的中点， ?AM=MF， ?在?ABM和?FDM中， ， ?ABM?FDM(ASA)， ?AB=DF， ?BE=CE,BC，DE=EF,DF， ?BE=DE， ?BDE是等腰直角三角形， ?EBM=45?， ?在等腰直角?CEF中，?ECF=45?， ?EBM=?ECF
8、， ?MB?CF; (2)解法一: 如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知?BCD与?ABC为等腰直角三角形， ?AB=BC=BD=a，AC=AD=a， ?点B为AD中点，又点M为AF中点， ?BM=DF( 分别延长FE与CA交于点G，则易知?CEF与?CEG均为等腰直角三角形， ?CE=EF=GE=2a，CG=CF=a， ?点E为FG中点，又点M为AF中点， ?ME=AG( ?CG=CF=a，CA=CD=a， ?AG=DF=a， ?BM=ME=a=a( 解法二: ?CB=a，CE=2a， ?BE=CE,CB=2a,a=a， ?ABM?FDM， ?BM=DM， 又?BED是等腰直角三角形
9、， ?BEM是等腰直角三角形， ?BM=ME=BE=a; (3)证法一: 如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知?ABC与?BCD均为等腰直角三角形， ?AB=BC=BD，AC=CD，新 课 标 第 一 网 ?点B为AD中点，又点M为AF中点，?BM=DF( 延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知?CEF与?CEG均为等腰直角三角形， ?CE=EF=EG，CF=CG， ?点E为FG中点，又点M为AF中点，?ME=AG( 在?ACG与?DCF中， ， ?ACG?DCF(SAS)， ?DF=AG， ?BM=ME( 证法二: 如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE， ?BCE=
10、45?， ?ACD=45?2+45?=135? ?BAC+?ACF=45?+135?=180?， ?AB?CF， ?BAM=?DFM， ?M是AF的中点， ?AM=FM， 在?ABM和?FDM中， ?ABM?FDM(ASA)， ?AB=DF，BM=DM， ?AB=BC=DF， ?在?BCE和?DFE中， ， ?BCE?DFE(SAS)， ?BE=DE，?BEC=?DEF，新-课 -标- 第-一- 网 ?BED=?BEC+?CED=?DEF+?CED=?CEF=90?， ?BDE是等腰直角三角形， 又?BM=DM， ?BM=ME=BD， 故BM=ME( 点评: 本题考查了三角形中位线定理、全等三
11、角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点( 4、(2013湖州)一节数学课后，老师布置了一道课后练习题: 如图，已知在Rt?ABC中，AB=BC，?ABC=90?，BO?AC，于点O，点PD分别在AO和BC上，PB=PD，DE?AC于点E，求证:?BPO?PDE( (1)理清思路，完成解答(2)本题证明的思路可用下列框图表示: 根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程( (2)特殊位置，证明结论 若PB平分?ABO，其余条件不变(求证:AP=CD( (3)知识迁移，探索新知 若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P时
12、，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D，请直接写出CD与AP的数量关系(不必写解答过程) 考点:全等三角形的判定与性质( 分析:( 1)求出?3=?4，?BOP=?PED=90?，根据AAS证?BPO?PDE即可; (2)求出?ABP=?4，求出?ABP?CPD，即可得出答案; (3)设OP=CP=x，求出AP=3x，CD=x，即可得出答案( 解答: (1)证明:?PB=PD， ?2=?PBD， ?AB=BC，?ABC=90?， ?C=45?， ?BO?AC， ?1=45?， ?1=?C=45?， ?3=?PBO,?1，?4=?2,?C， ?3=?4， ?BO?AC，DE?AC， ?
13、BOP=?PED=90?， 在?BPO和?PDE中 ?BPO?PDE(AAS); (2)证明:由(1)可得:?3=?4， ?BP平分?ABO， ?ABP=?3， ?ABP=?4， 在?ABP和?CPD中 ?ABP?CPD(AAS)， ?AP=CD( (1) 弧长公式: 弧长 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。用字母i表示，即(3)解:CD与AP的数量关系是CD=AP( 2、探索并掌握20以内退位减法、100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;
14、初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。理由是:设OP=PC=x，则AO=OC=2x=BO， 第一章 直角三角形边的关系则AP=2x+x=3x， 由(2)知BO=PE， 应用题PE=2x，CE=2x,x=x， ?E=90?，?ECD=?ACB=45?， 平方关系：商数关系：(三)实践活动?DE=x，由勾股定理得:CD=x， 经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.三三角函数的计算即AP=3x，CD=x， 第一章 直角三角形边的关系?CD与AP的数量关系是CD=AP 点评: 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质等知识点的综合应用，主要考查学生的推理和计算能力( 新课标第一网系列资料