最新[原创]高考文（理）科数学热点函数解答题命题趋势预测优秀名师资料.doc

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1、一、 函数部分文科解答题2011年高考文科数学函数解答题命题趋势预测2011-4-20近几年来，广东高考文科数学函数解答题，第一问一般难度稍低，门槛低，入口宽，第二、三问设置层层关卡，多层次、多角度地对考生进行四种能力的考查，用以区分考生灵活地运用知识和方法去分析和解决问题的能力.解答题都具有一定的综合性，不是在某个单一知识点挖掘，而是注意多个知识点与方法的联系与有机结合，在知识、方法网络的交汇点上设计试题. 经常是将函数、数列、不等式、导数等有机地综合，有些题还有高等数学的背景和竞赛题的味道.示例一(1) 利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；考查函数与导函数图象之间的关系.(2) 考查

2、数形结合，分类讨论数学思想。题一：设函数关于y轴对称，函数（bR，c为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上。（1）求f(x)表达式（2）试求b的值；（3）若时，函数的图象恒在函数图象的下方，求正整数的值。1.解.（1）设x1、x2是函数的两个极值点，则x1、x2是方程=0的两个根，x1+x2=，又 A、O、B三点共线， =，=0，又x1x2，b= x1+x2=，b=0. -5分（2）时， -6分由得，可知在上单调递增，在上单调递减， . -9分由得的值为1或2.（为正整数） -11分时，记在上切线斜率为2的切点的横坐标为，则由得，依题意得，得与

3、矛盾.（或构造函数在上恒正）综上，所求的值为1或2. -14分示例二（1） 利用函数的观点和方法分析问题、解决问题，（2） 考查平面向量，解析法，导数等相关知识.题二：设定义在区间x1， x2上的函数y=f(x)的图象为C，M是C上的任意一点，O为坐标原点，设向量=，=(x，y)，当实数满足x= x1+(1) x2时，记向量=+(1)定义“函数y=f(x)在区间x1，x2上可在标准k下线性近似”是指 “k恒成立”，其中k是一个确定的正数（1）求证：A、B、N三点共线（2）设函数 f(x)=x2在区间0，1上可在标准k下线性近似，求k的取值范围；（3）求证：函数在区间上可在标准k=下线性近似（参

4、考数据：e=2.718，ln(e1)=0.541）2.【解】（1）由=+(1)得到=，所以B，N，A三点共线， 2分（2）由x= x1+(1) x2与向量=+(1)，得N与M的横坐标相同4分对于 0，1上的函数y=x2，A(0，0)，B(1，1)，则有，故；所以k的取值范围是 6分（3）对于上的函数，A()，B()， 则直线AB的方程，8分令，其中，于是， 10分来源:学+科+网列表如下：xem(em，em+1em)em+1em(em+1em，em+1)em+1+00增减0则，且在处取得最大值，又0.123，从而命题成立 14分示例三题三：设函数在上是增函数.（1）求正实数的取值范围；（2）设

5、，求证：3.解：（1）对恒成立，对恒成立又 为所求. -4分（2）取，一方面，由（1）知在上是增函数，来源:Z#xx#k.Com 即-8分另一方面，设函数 在上是增函数，又 当时， 即 综上所述，-14分示例四题四：已知b，c0，函数的图像与函数的图像相切（）设，求；（）设(其中x)在上是增函数，求c的最小值；（）是否存在常数c，使得函数在内有极值点？若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由解：【方法一】由，依题设可知，b，c0，即【方法二】依题设可知，即，为切点横坐标，于是，化简得同法一得（）依题设，在上是增函数，0在上恒成立，又x，c0，上式等价于0在上恒成立，即，而由（）可知，又函

6、数在上的最大值为2，2，解得c4，即c的最小值为4（）由，可得令，依题设欲使函数在内有极值点，来源:Zxxk.Com则须满足0，亦即0，解得或，又c0，0c或c故存在常数，使得函数在内有极值点（注：若0，则应扣1分）示例五题五：已知函数（）证明函数f(x)在上为单调增函数；（）证明方程f(x)=0没有负数根.5.解：（） 3分又a1， lna0当x1时， f(x)0 5分 f(x)在上为单调递增函数。6分（）假设存在x00（x01）满足f(x0)0 7分则， 8分解得，这与假设x00矛盾。 12分上假设不成立，即方程f(x)=0没有负数根。 14分示例六题六：对于定义域为的函数，若有常数M，使

7、得对任意的，存在唯一的满足等式，则称M为函数f (x)的“均值”（1）判断0是否为函数的“均值”，请说明理由；（2）若函数为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；（3）已知函数是单调函数，且其值域为区间I试探究函数的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）6.解：（1）对任意的，有， 当且仅当时，有， 故存在唯一，满足， 所以0是函数的“均值” (另法：对任意的，有，令，则，且， 若，且，则有，可得，故存在唯一，满足， 所以0是函数的“均值”）（2）当时，存在“均值”，且“均值”为； 当时，由存在均值，可知对任意的，都有唯一的与之对应，从而有单调，故

8、有或，解得或或， 综上，a的取值范围是或（另法：分四种情形进行讨论）（3）当I 或时，函数存在唯一的“均值”这时函数的“均值”为； 当I为时，函数存在无数多个“均值”这时任意实数均为函数的“均值”； 当I 或或或或或时，函数不存在“均值” （另法：当且仅当I为开区间或闭区间时，函数存在唯一的“均值”这时函数的均值为区间I两端点的算术平均数； 当且仅当I为时，函数存在无数多个“均值”这时任意实数均为函数的“均值”； 当且仅当I为除去开区间、闭区间与之外的其它区间时，函数不存在“均值”）示例七题七：对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意D，当时，恒成立，则称函数为

9、区间D上的“平底型”函数（）判断函数和是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；（）若函数是区间上的“平底型”函数，求和的值7.解：（）对于函数，当时，当或时，恒成立，故是“平底型”函数对于函数，当时，；当时，,所以不存在闭区间，使当时，恒成立故不是“平底型”函数 （）因为函数是区间上的“平底型”函数，则存在区间和常数，使得恒成立所以恒成立，即解得或 当时，当时，当时，恒成立此时，是区间上的“平底型”函数 当时，当时，当时，此时，不是区间上的“平底型”函数 综上分析，m1，n1为所求 示例八命题走向：以函数为背景，以导数为工具，与不等式、解析几何知识交汇点设计试题，培养解决综合问题的能力。题八：

10、已知函数，（1）当时，判断在定义域上的单调性；（2）若在上的最小值为，求的值；（3）若在上恒成立，求的取值范围8.解析：（1）由题意：的定义域为，且，故在上是单调递增函数（2）由（1）可知： 若，则，即在上恒成立，此时在上为增函数，（舍去） 若，则，即在上恒成立，此时在上为减函数，（舍去） 若，令得。当时，在上为减函数；当时，在上为增函数。， 综上可知：（3） 又令，在上是减函数，即，在上也是减函数，令得，当在恒成立时，示例九9已知函数，其中（1）设函数，若在区间（0，3）上不单调，求的取值范围（2）设函数是否存在实数，对任意给定的非零实数存在唯一的非零实数()，使得成立？若存在，求的值；若不

11、存在，请说明理由.9.解：（1），.因为在(0，3)上不单调，所以在(0，3)上有实数解，且无重根.由，得. 令，则（1，7），记，则在（1，3上单调递减，在3，7）上单调递增.所以，6，10），于是k（5，2.而当时，在（0，3）上有两个相等的实根，故舍去.所以（5，2）.（2）由题意得，当时，；当时，.因为当时不合题意，所以0.下面讨论0的情形.50g (x)yxf (x)记，则（，+），（5，+），(i)当0时，在（0，+）上单调递增，所以要使成立，只能0，且.因此5；(ii)当0，且，因此5.综合(i)(ii)，得=5.当=5时，有.则对任意0，使得成立.因为在（0，+）上单调递增，所

12、以是惟一的.同理，对任意0，存在惟一的非零实数（），使得，成立.所以满足题意.示例十题十：已知函数(1)若，证明：(2)若证明：(3)对于任意的问以的值为边长的三条线段是否可构成三角形?并说明理由10.解析：(1)， 同理， 故得 (2) 由(1)知，由以上个式子相加得(3)设以的值为边长的线段可以构成三角形，事实上因为，所以显然当时，即在上是增函数，在处取得最小值，在处取得最大值不妨设，则，而因此以的值为边长的三条线段可以构成三角形示例十一1.知识考查函数，不等式，导数；2.能力考查分类讨论，综合应用知识解决问题能力。题十一：已知（1）求函数上的最小值；（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；

13、（3）证明：对一切，都有成立.11.解：（1），1分当单调递减，当单调递增 2分，没有最小值； 3分，即时， ； 4分，即时，上单调递增，；5分所以 6分（2），则，7分设，则， 单调递减， 单调递增，所以，对一切恒成立，所以；10分（3）问题等价于证明，11分由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到，设，则，易知，当且仅当时取到， 13分从而对一切，都有 成立 14分示例十二题十二：已知在区间上是增函数（I）求实数的取值范围；（II）记实数的取值范围为集合A，且设关于的方程的两个非零实根为。求的最大值；试问：是否存在实数m，使得不等式对及恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由12

14、.解：（1） 在上是增函数即，在恒成立 设 ，则由得 解得 所以，的取值范围为（2）由（1）可知由即得 是方程的两个非零实根 ，又由 于是要使对及恒成立即即对恒成立 设 ，则由得 解得或故存在实数满足题设条件示例十三题十三.已知函数处取得极值，在x=2处的切线平行于向量 （）求a，b的值；来源:学科网 （）求的单调区间； （）是否存在正整数m，使得方程在区间（m，m+1）内有且只有两个不等实根？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 13解：（） 4分（）由（）得由上单调递增. 由上单调递减 8分（）方程令则当是单调减函数；当是单调增函数；方程内分别有唯一实根. 12分存在正整数m=1，使得

15、方程在区间（1，2）上有且只有两个不相等的实数根. 14分示例十四题十四已知二次函数对于任意的实数，都有成立，且为偶函数（1）求的取值范围； （2）求函数在上的值域14.解：由为偶函数可得的图像关于直线对称，则，；对于任意的实数，都有成立，则= 因为，所以故 （2）,因为，所以当时，即时，函数的值域为；当时，函数的值域为；当时，函数的值域为示例十五题十五设（e为自然对数的底数） （I）求p与q的关系； （II）若在其定义域内为单调函数，求p的取值范围； （III）证明： ；（nN，n2）.15解：（I）由题意 （II）由（I）知：，令h(x)=px22x+p.要使g(x)在（0，+）为单调函数

16、，只需h(x)在（0，+）满足：来源:Zxxk.Comh(x)0或h(x)0恒成立.4分，g(x)在（0，+）单调递减，p=0适合题意.5分当p0时，h(x)=px22x+p图象为开口向上抛物线，称轴为x=（0，+）.h(x)min=p.只需p0，即p1时h(x)0，g(x) 0，g(x)在(0,+ )单调递增，p1适合题意.7分当p0时，h(x)=px22x+p图象为开口向下的抛物线，其对称轴为x=（0，+），只需h(0)0，即p0时h(0)（0,+ )恒成立.g(x)0 ，g(x)在（0,+ ）单调递减，p0)，设.当x（0，1）时，k(x)0，k(x)为单调递增函数；当x（1，）时，k(

17、x)0，结论成立.14分二、 函数部分理科解答题函数是高中数学中重要的基础知识，是高中数学的核心内容，也是学习高等数学的基础。函数的思想方法贯穿中学数学的始终，利用函数思想可以解决很多数学问题，是最能体现学生能力和水平的学习内容，为历年高考考查的重点。一套高考试卷中，一般会有有1道解答题以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，并与数学思想方法紧密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、有限与无限思想等进行较为深入的考查，体现能力立意的命题原则。尤其值得注意的是，凡涉及到函数、方程和不等式的问题，必须首先考虑定义域，这也是学生解决问题时容易忽略的地方。高考对导

18、数部分的要求一般有三个层次：第一个层次是导数的概念，求导的公式和求导的法则；第二个层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；第三个层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性的内容等有机地结合在一起，设计综合试题 。1已知函数，其中（1）设函数，若在区间（0，3）上不单调，求的取值范围；（2）设函数是否存在实数，对任意给定的非零实数存在唯一的非零实数()，使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.解：（1），.因为在(0，3)上不单调，所以在(0，3)上有实数解，且无重根.由，得. 令，则（1，7），记，则在（1，3

19、上单调递减，在3，7）上单调递增.所以，6，10），于是k（5，2.而当时，在（0，3）上有两个相等的实根，故舍去.所以（5，2）.（2）由题意得，当时，；当时，.因为当时不合题意，所以0.下面讨论0的情形.50g (x)yxf (x)记，则（，+），（5，+），(i)当0时，在（0，+）上单调递增，所以要使成立，只能0，且.因此5；(ii)当0，且，因此5.综合(i)(ii)，得=5.当=5时，有.则对任意0，使得成立.因为在（0，+）上单调递增，所以是惟一的.同理，对任意0，存在惟一的非零实数（），使得，成立.所以满足题意.2已知函数（1）求证：函数在上单调递增；（2）求证：；（3）若，且

20、.求证：；解：（1），在上单调递增；（2），当时，；来源:Zxxk.Com当时,令,则,故在上单调递增,即有,即；当时，同理可证；来源:学|科|网；（3）由条件知：.故又,=；3.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围；（3）求证：解：（） , 当时， 的单调增区间为，减区间为； 当时，的单调增区间为，减区间为； 当时，不是单调函数-（）得， ，- 在区间上总不是单调函数， 且 - 由题意知：对于任意的，恒成立， 所以，（）令此时，所以， 由（）知在上单调递增， 当时， 即，对一切成立， ，则有， 4.如图

21、，某地有三家工厂，分别位于矩形的顶点 及的中点处，已知，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形的区域上（含边界），且与等距离的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，设排污管道的总长为 （1）按下列要求建立函数关系式： 设，将表示为的函数；设，将表示为的函数关（2）请你选用（1）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短参考答案：（1） （2）当污水处理厂建在矩形区域内且到两点的距离均为时，铺设的排污管道的总长度最短。解析：（1）如图，延长交于点，由条件知垂直平分，若，则，故 又，所以所求函数关系式为若，则，所以所求函数关系式为（2）选择函数模型 方法一：（使用

22、导数的方法）令得 ， ，当时，是的减函数；当时，是的增函数所以函数在处取得极小值，这个极小值就是函数在的最小值，当时，因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到两点的距离均为时，铺设的排污管道的总长度最短方法二：（传统的方法），记 ，则，化为，其中，由正弦函数的有界性知，解得或，又当时，故，即的最小值为，当时，由此知可以取，此时，即当时，函数有最小值（下同方法一）方法三：（从几何意义上考虑）同方法二，则可以看作是平面上的定点，与动点上连点的斜率，而动点是单位圆在第二象限的后半区的一段弧，设过点的直线方程为，由于圆心到直线的距离不大于圆的半径，则(下面的分析类似解法一)选用函数模型： 方法一：（导数的

23、方法），令则，平方得，解得，由于，故，并且可以判断这个是函数的最小值点，此时，（下面对实际问题的解释类似上面的解法）方法二：（判别式的方法）将函数看作常数，移项，平方，整理得，由于是实数，故，即，解得，或，由于，舍掉这个解， 故函数的最小值是，当时，方程有两个相等的实数根（下面对实际问题的解释类似于上面的解法）5.已知函数，（1）当时，判断在定义域上的单调性；（2）若在上的最小值为，求的值；（3）若在上恒成立，求的取值范围解析：（1）由题意：的定义域为，且，故在上是单调递增函数（2）由（1）可知： 若，则，即在上恒成立，此时在上为增函数，（舍去） 若，则，即在上恒成立，此时在上为减函数，（舍去

24、） 若，令得。当时，在上为减函数；当时，在上为增函数。， 综上可知：（3） 又令，在上是减函数，即，在上也是减函数，令得，当在恒成立时，6.已知函数(1)若，证明：(2)若证明：(3)对于任意的问以的值为边长的三条线段是否可构成三角形?并说明理由解析：(1)， 同理， 故得 (2) 由(1)知，由以上个式子相加得(3)设以的值为边长的线段可以构成三角形，事实上因为，所以显然当时，即在上是增函数，在处取得最小值，在处取得最大值不妨设，则，来源:学#科#网Z#X#X#K而因此以的值为边长的三条线段可以构成三角形7.设函数。（）若在定义域内存在，而使得不等式能成立，求实数的最小值；（）若函数在区间上

25、恰有两个不同的零点，求实数的取值范围。7.【解析】()要使得不等式能成立，只需。 求导得：， 3分函数的定义域为，当时，函数在区间上是减函数； 当时，函数在区间(0，+)上是增函数。 ， 。故实数的最小值为。 6分()由得：由题设可得：方程在区间上恰有两个相异实根。8分 设。，列表如下：0减函数增函数，。来源:Zxxk.Com从而有， 11分画出函数在区间上的草图（见右下），易知要使方程在区间上恰有两个相异实根，只需：，即：。 13分来源:Zxxk.Com 8.已知函数在处取得极值，且在处的切线的斜率为1.（）求的值及的单调减区间；（）设0，0，求证：在（0，1）上递增，0， 10分 当，即1

26、时，0，即0在（1，）上递减，0， 11分 当，即1时，0综合知即 即 12分又 综上可得 13分9.已知直线与曲线相切.（1）求b的值（2）若方程在（0，上有两个解.求：m的取值范围 比较与的大小所求的范围是：. 由知，方程在上有两个解，满足，10.已知关于x的函数f(x)bx2cxbc,其导函数为f+(x).令g(x)f(x) ,记函数g(x)在区间-1、1上的最大值为M. () 若b1,证明对任意的c,都有M2； （）若MK对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。 10.（I）证法1：当时，函数的对称轴位于区间之外。在上的最值在两端点处取得故应是和中较大的一个即证法2（反证法）：因为，所以

27、函数的对称轴位于区间之外，在上的最值在两端点处取得。故应是和中较大的一个假设，则 w.w.w.zxxk.c.o.m 将上述两式相加得：，导致矛盾，（）解法1：（1）当时，由（）可知；（2）当时，函数）的对称轴位于区间内，w.w.w.zxxk.c.o.m 此时由有若则，于是若，则于是综上，对任意的、都有而当时，在区间上的最大值故对任意的、恒成立的的最大值为。解法2：（1）当时，由（）可知；w.w.w.zxxk.c.o.m （2）当时，函数的对称轴位于区间内，此时 w.w.w.zxxk.c.o.m ，即下同解法111.已知函数，。（）求在区间的最小值；（）求证：若，则不等式对于任意的恒成立；（）求

28、证：若，则不等式对于任意的恒成立。解(): 若，则，即。 在区间是增函数，故在区间的最小值是。 若令，得.又当时，；当时，在区间的最小值是综上，当时，在区间的最小值是，当时，在区间的最小值是。（）证明:当时，则， ,当时，有，在内是增函数，在内是增函数，对于任意的，恒成立。()证明: ,令则当时, ,令,则,当时, ；当时，；当时，则在是减函数，在是增函数，即不等式对于任意的恒成立。12.已知（）当，时，问分别取何值时，函数取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值；（）若在R上恒为增函数，试求的取值范围;（）已知常数，数列满足,试探求的值，使得数列成等差数列解：（）当时， （1）时，当时

29、，；当时， (5）切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.（2）当时，当时，；当时， 综上所述，当或4时，；当时， （） 在上恒为增函数的充要条件是，解得 (4)直线与圆的位置关系的数量特征:（）， 当时，即 （1）当n=1时，；当n2时， （2）（1）（2）得，n2时，即 又为等差数列， 此时 tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与邻边的比；当时 ，即 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:若时，则（3），将（3）代入（1）得，对一切都成立另一方面，当且仅当时成立，矛盾(一)教学重点不符合题意，舍去. 7.同角的三角函数间的关系

30、：综合知，要使数列成等差数列，则 13.已知在区间上是增函数（I）求实数的取值范围；（II）记实数的取值范围为集合A，且设关于的方程的两个非零实根为。周 次日 期教 学 内 容求的最大值；试问：是否存在实数m，使得不等式对及恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由(二)教学难点13.解：（1） 在上是增函数二特殊角的三角函数值即，在恒成立 设 ，则由得 解得 所以，的取值范围为（2）由（1）可知点在圆外 dr.由即得 是方程的两个非零实根 ，又由 于是要使对及恒成立即即对恒成立 设 ，则由得 解得或故存在实数满足题设条件14.已知二次函数.（1）若，试判断函数零点个数；(2) 若对

31、且，证明方程必有一个实数根属于。(3)是否存在，使同时满足以下条件当时， 函数有最小值0；对,都有。若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。14.（1） -2分当时，函数有一个零点；-3分当时，函数有两个零点。-4分（2）令，则 ，在内必有一个实根。即方程必有一个实数根属于。-8分(3)假设存在，由得 由知对,都有令得由得， 当时，其顶点为（1，0）满足条件，又对,都有，满足条件。存在，使同时满足条件、。-1415.已知函数，是常数讨论的单调性；求时零点的个数；求证：（，为自然对数的底数）15.解：，若，则，在定义域内单调递增；若，则在定义域内单调递减；若，由解得，直接讨论知，在和单调递减，在单调递增观察得，时，由得在单调递减，所以在上有且只有一个零点；，计算得，且在区间单调递增，所以在上有且只有一个零点；根据对数函数与幂函数单调性比较知，存在充分大的，使，且在区间单调递减，所以在上从而在上有且只有一个零点。综上所述，时，有3个零点取，由得单调递减，所以，从而，由单调递增得