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1、应用三角函数的性质求解参数问题知识拓展1对称与周期(1) 正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 1个周期4(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期2奇偶性若 f(x) Asin( x )( A,0)则,(1)f(x)为偶函数的充要条件是 2kk( Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是 kk(Z) 3由 y sin x到 y sin( x )( 0, 0)的变换：向左平移 个单位长度而非 个单位长 度4函数 y A sin(x )的对称轴由 xk2,k Z 确定；对称中心由 x kk, Z 确定其横坐标题型分析(一 )
2、 与函数最值相关的问题【例 1】已知函数 f(x) 3 sin2x cos2 x m 2( 1)求函数 f (x) 的最小正周期与单调递增区间；532)若 x5 ,3时,函数 f (x)的最大值为 0,求实数 m的值24 412分析】( 1) f (x) 化为 sin(2 x ) m,可得周期 T,由6 2 2532k 2x 2k 可得单调递增区间； ( 2)因为 x ,所以2 6 2 24 42x,4 ,进而 f (x)的最大值为 1 m 1 0,解得 m 1.6 4 3 2 22sin 2xsinx m0在0,2 上有且只有两解，则实数 m 的取值范围答案】1,318解析】m 2t2t22
3、11t ,t sinx 1,148（ 2）因为 x5 3 4,所以 2x,则当 2x,x24 4 6 4 3 6 2时,函数取得最大3值 0,1即 1 m 110, 解得 m 22【点评】三角函数的最值问题 ,大多是含有三角函数的复合函数最值问题,常用的方法为：化为代数函数的最值 ,也可以通过三角恒等变形化为求yAsin（ x ）B 的最值；或化为关于 sinx（或 cosx）的二次函数式 ,再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的最 值.小 试 牛 刀 】【江 苏 省 启 东 中 学 2018 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 】 若 方 程12所以当 m或m 1,3 时
4、， y m 与 y 2t 2 t 只有一个交点，8当m 3时t 1，方程 2sin2 x sinx m 0只有一 解所以要使方程2sin2x sinx m 0在 0,2 上有且只有两解，实数 m的取值范围1,3（二 ） 根据函数单调性求参数取值范围如果解析式中含有参数 ,要求根据函数单调性求参数取值范围,通常先求出函数的单调区间然后利用集合间的关系求解或转化为使得某个等式或不等式（可以、恒 ）成立 ,通常分离参数 ,求出解析式的范围或最值 ,进而求出参数的范围即可 .例 2】已知 0,函数 f（x） sin x4 在 2， 上单调递减 ,则 的取值范围是 分析】根据 ysinx在 2，32上递
5、减 ,列出关于 的不等式组解得 1245.解析】 由2x0 得,2 4 x 4 0）的单调区间时 ,要视 “x ”为一个整体 ,通过解不等式求解但如果 0,b 0）,其中 ax2 y2 1（a b 0）,双曲线方程为 x2 y2aba1 ba1,半焦距为 c,于是 |PF1|PF2|2a,|PF1|PF2|2a1, 即|PF1|a a1,|PF 2| a a1,因为 F1PF2,由余弦定理： 4c2 （a a1）2 （aa1）22（a a1）（aa1）3即 4c2a23a12,即 （a）2 3（a1）2 4 c2 sin43令 a 2cos, 3a1 2sin cc所以 1 1 a a1 2c
6、os e e1 c c点评】合理使用三角代换 ,可以使得运算步骤 （特别是与求最值相关的运算 ）变得非常简洁小试牛刀】已知实数x,y 满足 x22y2 1,则1 xy1xy的最小值为3 答案】 34解析】由22 xy1,可设 x cos, y sin,则1 xy 1xy = 1111223.sin2 1sin21sin2244.xOy 中，函数y sin x ( 0,0) 的 图 像 与 x 轴 的交 点 A ，B ， C 满 足五、迁移运用 1 【江苏省常州 2018 届高三上学期期末】如图，在平面直角坐标系OA OC 2OB ，则 3 答案】 34解析】不妨设x0xB,xCx ，x2 ，
7、得2 ，由OA OC 2OB，得 3 22，解得342江苏省淮安市等四市2018 届 高 三 上 学 期 第 一 次 模 拟 】 若 函 数2，则实数的值为 633【答案】 4【解析】 T2362，所以4 。3设函数 fx2sin 2x (x R,60),若将 yf x 的图象向左平移 个单位6f x Asin x (A 0, 0)的图象与直线 y m 的三个相邻交点的横坐标分别是后,所得图象关于的最小值为y 轴对称 . 则答案】 164【江苏省常熟市 2018 届高三上学期期中】已知函数f x sin x，若对任意的实，都存在唯一的实数620,m ，使 f0 ，则实数 m 的最小值是答案】2
8、解析】函数x sin x ，若对任意的实数6则： f（）2 ， 0，由于使 f（）+f）=0，则：f（）0，23sin0，3，263 ，=2 ，所以：实数m 的最小值是 2故答案为：5【江苏省常熟中学 2018届高三 10月阶段性抽测】 已知函数cos在区间0,上的值域为1, 3 ，则 的取值范围为1, 2答案】解析】函数x cos当 x 0, 时 , f1, 230621 cos x3 ,画出图形如图所示62计算得出 561165,36443635即 的取值范围是 566【江苏省横林高级中学2018 届高三模拟】若函数 f x 2cos xm对任意的实数 t都有 f(t) ft且f3,则m=
9、 .999【答案】 1 或 5【解析】对任意的实数t都有 f(t)ft,说明函数图像的一条对称轴为x999f 3 ，则 2m3，m1 或 m5.97 【 江 苏 省 启 东中学2018届高三上学期第一次月考】已知函数f x sin x cos x0若函数 fx 的图象关于直线x 2对称，且在区间 , 上是单调函数，则 的取值集合为 答案】 1,5,4【解析】fx sin x6cosx3sin xx sin x21cos x sin x26Q x 2是一条对称轴，2+k ，得1 =+kkZ，6=232又 f x在区间 ，上单调，442 T 2 ，得 2 ，且 4 6 2 ，得 0 4 ，34 6
10、 21 5 4 1 5 4 = 1，5，4 ，集合表示为 1 ，5，4 。3 6 3 3 6 38.【2018 届】江苏省泰州高三 12 月月考】将 y sin2x 的图像向右平移 单位（ 0 ） 使得平移后的图像仍过点 ， 3 ,则 的最小值为 32答案】6解析】将 y sin2 x的图像向右平移单位（ 0 ）得到 y sin2 x,代入点9x4444332， 得：sin2 , 因为322333 的角 ,此时,故填 .2669.函数 y sinx(0） 的图象在40,所以当 22 = 时 ,第一个正弦值为330,2 上至少有三个最大值点 ,则 的最小值为答案】17（0） 的图象解析】 0 x
11、 2, x 2x,要使函数 y sin在 0,2 上至少有三个最大值点 , 由三角函数的图象可得9172x9,解得x17,即4 28f (x)63sin x的最小值为178,故答案为17810设常数 a 使方程 sin x 3cosxa 在闭区间 0,2上恰有三个解 x1,x2,x3 ,则x1 x2 x3解析】原方程可变为 a2sin( x),如图作出函数3y 2sin( x ),x 0,2 的图象 ,再作直线 y a ,从图象可知函数 y递减,在76 ,2 上递增 ,只有当 a2sin( x ),x 0,2 在 0, 上递增 , , 上3 6 6 63 时 ,直线 y a 与函数 y 2si
12、n( x ),x 0,2 的图象有三个交点,x1 0 ,x2, x3 2 ,所以 x1 x2 x3 73311.若函数 f(x) a sin x 在区间 ( , ) 上单调递增 ,则实数 a 的取值范围是 cosx 6 3【答案】 2, )解析】因为函数a sin x f (x) 在区间 ( , ) 上单调递增cosx6 3所以 f (x) 0在区间 ( , )恒成立 ,63cosx sin x (a sinx) ( sin x) asin x 1cos2 xcos2 x2 因为 cos2 x 0,所以 asinx 1 0在区间 ( , )恒成立所以 a 1因为 x1( , ),所以 16 3
13、 2sin x3223312sin x所以 a 的取值范围是 2,)12已知f (x) sin( x0),f(6)f( ),且 f (x)在区间 ( , )有最小值 ,无最3 6 323当 x=0 时 ,函数取得最大值时 a 1 a2 ,无解故答案为：3大值 ,则答案】143a=在区 间0, 6 上是 单调函数 ,最大值 为 1 a2 ,则实数答案】 3【解析】函数 y sinx acosx 1 a sin(x ) 在区间 0, 上是单调函数 ,所以 6y sinx acosx在 x或x 0时取到最大值 ,当 y sinx acosx在 x 时取到最66大值时 ,(13 a)2 ( 1 a2)
14、2,解得 a32422ax1b21）求 a,b 的值；2）求 f x 在 0, 上的最大值和最小值 .4解析】（ 1） f x图象上相邻两个最高点之间的距离为a此时又b2）当x 的周期为22，2sin sin 22a2且a0，4x4b，的图象与 x 轴相切，2且b20，由（ 1）0,44x41；2；可得 f x2sin24x242 4x54 ，即4 时，有最大值为当 4x，即 x4216 时，有最小值为 0.15【江苏省常熟中学2018 届高三10 月阶段性抽测】已知函数sin的部分图象如图所示 .1）求函数 f x 的解析式，并求出 f x 的单调递增区间；14【江苏省常熟市 2018 届高
15、三上学期期中】 已知函数 f x sin 20,b 0 ）的图象与 x轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为0,3【解析】（1） 0 ，设函数 f2，x的周期为 T，由图可知 T2 ，3 6 2 ，T2，即fx sin2x2上式中代入,1 ，有 sin1，得2k ， kZ，6332即2k ，kZ6又，fxsin2x266令 2k2x2k kZ，解得kxkkZ，26236即 f x 的递增区间为k,kkZ；362）经过图象变换，得到函数g x 的解析式为 g x sinx ，2）将函数 f x 的图象上各个点的横坐标扩大到原来的2 倍，再将图象向右平移 个单6位，得到 g x 的图象，若存在
16、 x20,23 使得等式 3g x1 2 a g 2 x 成立，求实数 a 的取值范围于是问题即为 “存在 x0,23，使得等式 3sinx 12 a sin2x 成立 ”，即 2a2sin2 x 3sinx 1在 x20, 上有解，令 t sinx 0,1 ，4即2a 2t2 3t 1在t 0,1 上有解，其中 2t2 3t 1 2 t17 1,174 8 8171 17 2a 1,17 ，实数 a 的取值范围为 1,1782 1616已知函数 f x 3sin2x 2cos2x m.(1)若方程 f x 0在 x 0, 上有解,求 m的取值范围2(2) 在ABC 中 ,a,b,c 分别 是
17、 A,B,C 所 对 的 边 ,当 (1) 中 的m取最大值且fA1,bc2 时 , 求 a 的最小值 .【答案】(1)0,3;(2)1【解析】(1) f x =3sin2 x22cos xm=3sin2 xcos2x 1 m =2sin2x 1m,6因为 x0,所以2x7,2666则mfx3m,因为方程 f x 0 在 x 0, 上有解 ,2所以 m 0 3 m,则 0 m 3,故 m 的取值范围是 0,3 ;(2)由(1)可得 m 取最大值 3, f A2sin2A1,c 1,2 5则 2A,则 A6632由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc 当 b c 时 a 有最小值 1.17 【 2018 届 福 建 省 仙 游 金 石 中上学期期中】已知函数f x sin2 x 3sin xcos x （0）的最小正周期为）求 的值；）求函数 f x 在区间2 上的取值范围0，3答案】 （）1； （）0,32解析】（） f x1 cos2 x223 sin2 x23 sin2x 1 cos221 x2sin 2 x162因为函数 fx 的最小正周期为 , 且0,2所以 2 2,解得1