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1、教学2014届高考数学(文)二轮复习专题突破讲义专题四 立体几何 第1讲空间几何体第1讲 空间几何体 【高考考情解读】 高考对本节知识的考查主要有以下两个考向:1.三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、填空题的形式出现，一是考查相关的识图，由直观图判断三视图或由三视图想象直观图，二是以三视图为载体，考查面积、体积的计算等，均属低中档题.2.对于空间几何体的表面积与体积，由原来的简单公式套用渐渐变为三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，特别是已知空间几何体的三视图求表面积、体积是近两年高考考查的热点，题型一般为选择题或填空题(1( 四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、
2、长方体之间的关系( 2( 空间几何体的三视图 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形( (2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样;侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样( (3)画三视图的基本要求:正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高(看不到的线画虚线( 3( 直观图的斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是: (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45?(或135?)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直( (2)原图形中平行于坐标轴的线段，
3、直观图中仍分别平行于坐标轴(平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半(4( 空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式: ?S,ch(c为底面周长，h为高); 柱侧1?S,ch(c为底面周长，h为斜高); 锥侧21?S,(c，c)h(c，c分别为上下底面的周长，h为斜高);台侧2 2?S,4R(R为球的半径)( 球表(2)柱体、锥体和球的体积公式: ?V,Sh(S为底面面积，h为高); 柱体1?V,Sh(S为底面面积，h为高); 锥体31?V,(S，SS，S)h(不要求记忆); 台343?V,R. 球3考点一 三视图与直观图
4、的转化 例1 (1)已知三棱柱的正视图与俯视图如图，那么该三棱锥的侧视图可能为 (,) (2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(,)答案 (1)B (2)D 解析 (1)底面为正三角形一侧棱垂直于底面(由虚线知可 能有一侧棱看不见(由题知这个空间几何体的侧视图的底面边长是3故其侧视图只 可能是选项B中的图形( (2)如图所示点D的投影为C点D的投影为C点A的投影为B故选D.11 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图因此在分析空间几何体的三视图问题时先根据俯视图确定几何体的底面然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧
5、棱与侧面的特征调整实线和虚线所对应的棱、面的位置再确定几何体的形状即可得到结果( (1)(2013?课标全国?)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O,xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为 (,)(2)(2012?湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(,) 答案 (1)A (2)D 解析 (1)根据已知条件作出图形:四面体C,ADB标出各个点的坐标如图(1)所示11可以看出正视图为正方形如图(2)所示(故选A. (2)根据几何体的三视图知识求解(
6、由于该几何体的正视图和侧视图相同且上部分是一个矩形矩形中间无实线和虚线因此俯视图不可能是D. 考点二 几何体的表面积及体积 例2 (1)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是 (,) A(8 B(62 C(10 D(82 (2)(2013?浙江)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示，则此几何体的体积等于3_ cm. 答案 (1)C (2)24 解析 (1)由三视图可想象出如图所示的三棱锥SA?平面ABC?ABC 中?ABC,90?SA,AB,4BC,3因此图中四个面的三角形均为 直角三角形SB,42AC,5S,10S,8S,62?SACSABSBC S,6所以最大面积是1
7、0. ?ABC(2)由三视图可知其直观图为: AB,4AC,3?BAC,90? ?BC,5. 作AH?BC于H AB?AC12AH,. BC5作AM?BB于MAN?CC于N.连接MN. 11111121V,(53)，(34)2,24. 352(1)求几何体的表面积及体积问题可以多角度、多方位地考虑熟记公式是关键所在(求三棱锥的体积等体积转化是常用的方法转换原则是其高易求底面放在已知几何体的某一面上( (2)求不规则几何体的体积常用分割或补形的思想将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解( (1)(2013?江西)一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 (,)A(200，9 B(200，1
8、8 C(140，9 D(140，18 (2)(2012?辽宁)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_( 答案 (1)A (2)38 解析 (1)该几何体是由一个长方体与一个半圆柱构成( 12V,1045，32,200，9. 2(2)将三视图还原为直观图后求解( 根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱 所以S,2(4，3，12)，2,2,38. 考点三 多面体与球 例3 如图所示，平面四边形ABCD中，AB,AD,CD,1，BD,2，BD?CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD?平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为 (,) 32A.
9、B(3 C. D(2 23要求出球的体积就要求出球的半径需要根据已知数据和空间位置关系确定球心的位置由于?BCD是直角三角形根据直角三角形的性质:斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等只要再证明这个点到点A的距离等于这个点到BCD的距离即可确定球心进而求出球的半径根据体积公式求解即可(答案 A 解析 如图取BD的中点EBC的中点O 连接AEODEOAO. 由题意知AB,AD所以AE?BD. 由于平面ABD?平面BCDAE?BD 所以AE?平面BCD. 因为AB,AD,CD,1BD,2 213所以AE,EO,.所以OA,. 22213在Rt?BDC中OB,OC,OD,BC, 223所以四面体ABC
10、D的外接球的球心为O半径为. 24333所以该球的体积V,(),.故选A. 322多面体与球接、切问题求解策略 (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面把空间问题转化为平面问题再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系或只画内切、外接的几何体的直观图确定球心的位置弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系列方程(组)求解( (2)若球面上四点PABC构成的三条线段PAPBPC两两互相垂直且PA,a2222PB,bPC,c一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体则4R,a，b，c求解( (1)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是
11、腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是 (,) A(12 B(24 C(32 D(48 (2)一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是_( 答案 (1)D (2)16 解析 (1)由已知条件知该几何体的直观图如图所示PA?面ABCD?PAC、?PBC、?PCD均为直角三角形且斜边相同所以球心 12为PC中点OOA,PC,OB,OD,23.球的表面积为S,4(OA)2 ,48. (2)该几何体是一个正三棱柱底面边长为3高为2.设其外接球的球心为 O上、下底面中心分别为B、C则O为BC的中点如图所
12、示( 2则AB,3sin 60?,3BO,1 322?该棱柱的外接球半径为R,AB，BO,2 2?球的表面积是S,4R,16. 1( 空间几何体的面积有侧面积和表面积之分表面积就是全面积是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”(多面体的表面积就是其所有面的面积之和旋转体的表面积除了球之外都是其侧面积和底面面积之和( 2( 在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外)因此体积计算中的关键一环就是求出这个量(在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面( 3( 一些不规则的几何体求其体积多采用分割或补形的方法从而转化为规则
13、的几何体而补形又分为对称补形(即某些不规则的几何体若存在对称性则可考虑用对称的方法进行补形)、还原补形(即还台为锥)和联系补形(某些空间几何体虽然也是规则几何体不过几何量不易求解可根据其所具有的特征联系其他常见几何体作为这个规则几何体的一部分来求解)( 4( 长方体的外接球 222(1)长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体对角线长等于外接球的直径即a，b，c,2R, (2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径即3a,2R.1( 从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积的值为 (,) A(52 B(62 C(9 D(10
14、答案 C 解析 由三视图知其直观图为 棱锥A,BCDE. 2719V,27,3,9.故选C. 2322( 在三棱锥A,BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，?ABC，?ACD，?ABD的面积236分别为，则三棱锥A,BCD的外接球体积为 (,)222 A.6 B(26 C(36 D(46 答案 A 解析 如图以ABACAD为棱把该三棱锥扩充成长方体则该 长方体的外接球恰为三棱锥的外接球 ?三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长( AB?AC,2AB,2,AC,1据题意解得 AC?AD,3,AD,3AB?AD,6222，AC，?长方体的对角线长为ABAD,6 6?三棱锥外接球的半径为. 246
15、3?三棱锥外接球的体积为V,?(),6. 32(推荐时间:60分钟)一、选择题 1( 一梯形的直观图是一个如右图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为 2，则原梯形的面积为 (,) A(2 B.2 C(22 D(4 答案 D 1解析 直观图为等腰梯形则上底设为x高设为y则S,y(x，2y，x),2直观图2 1由直观图可知原梯形为直角梯形其面积S,?22y?(x，2y，x),222,4.2 2( (2013?湖南)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 (,)2，13A. B(1 C. D.2 22答案 D 解析 ?俯视图是面积为
16、1的正方形 ?此正方体水平放置 又侧视图是面积为2的矩形 ?正方体的对角面平行于投影面 此时正视图和侧视图相同面积为2. 3( (2013?课标全国?)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 (,) A(16，8 B(8，8 C(16，16 D(8，16 答案 A 解析 将三视图还原成直观图为: 上面是一个正四棱柱下面是半个圆柱体( 12所以V,224，24 2,16，8. 故选A. 4( 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 (,)3，8，3，8，2，3，6，3，9，2，A. B. C. D.6666 答案 A 解析 该几何体由底面半径为1的半圆锥与底面为边长等于2的正方形
17、的四棱锥组成1113432且高都为3因此该几何体的体积V,(1)3，(22)3,，323633，8，,故选A. 65( (2012?北京)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 (,) A(28，65 B(30，65 C(56，125 D(60，125 答案 B 解析 根据几何体的三视图画出其直观图利用直观图的图形特征求其表面积( 由几何体的三视图可知该三棱锥的直观图如图所示其中AE?平面BCDCD?BD且CD,4BD,5BE,2ED,3 AE,4. ?AE,4ED,3?AD,5. 又CD?BDCD?AE则CD?平面ABD 故CD?AD 所以AC,41且S,10. ?ACD在Rt?ABE
18、中AE,4BE,2故AB,25. 在Rt?BCD中BD,5CD,4 故S,10且BC,41. ?BCD在?ABD中AE,4BD,5故S,10. ?ABD在?ABC中AB,25BC,AC,41 1则AB边上的高h,6故S,256,65. ?ABC2,30，65.因此该三棱锥的表面积为S 6( 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，该几何体的体积为 (,) 333A. B. C. D.3 362答案 A 解析 三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分然后把截面放在平面上底面22相对接的图形圆锥的底面半径为1母线长为2故圆锥的高为h,2,1,3.易11
19、322知该几何体的体积就是整个圆锥的体积即V,rh,13,.故选A.圆锥333 ( 已知正方形ABCD的边长为22，将?ABC沿对角线AC折起，使7 平面ABC?平面ACD，得到如右图所示的三棱锥B,ACD.若O为 AC边的中点，M，N分别为线段DC，BO上的动点(不包括端点)，且BN,CM.设BN,x，则三棱锥N,AMC的体积y,f(x)的函数图象大致是 (,) 答案 B 解析 由平面ABC?平面ACD且O为AC的中点可知BO?平面ACD易知BO,12故三棱锥N,AMC的高为ON,2,x?AMC的面积为?MC?AC?sin 45?,2x故2122三棱锥N,AMC的体积为y,f(x),?(2,
20、x)?2x,(,x，2x)(0x2)函数f(x)的图33象为开口向下的抛物线的一部分( 二、填空题 8( (2012?山东)如图，正方体ABCD,ABCD的棱长为1，E，F分1111 别为线段AA，BC上的点，则三棱锥D,EDF的体积为_(111 1答案 6解析 利用三棱锥的体积公式直接求解( 1VD,EDF,VF,DDE,S?DDE?AB 1113111,111,. 3269( (2013?江苏)如图，在三棱柱ABC,ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA的中点，1111设三棱锥F,ADE的体积为V，三棱柱ABC,ABC的体积为V，则V?V,_.1111212 答案 1?24 解析 设三
21、棱锥F,ADE的高为h 11,AD?AE?sin?DAEh,V231则, V12，2h，2AD，2AE，sin?DAE21,. 2410(已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把?ACD折起，则三棱锥D,ABC的外接球的表面积等于_( 答案 16 解析 设矩形的两邻边长度分别为ab则ab,8此时2a，2b?4ab,82当且,b,22时等号成立此时四边形ABCD为正方形其中心到四个顶点的距离仅当a相等均为2无论怎样折叠其四个顶点都在一个半径为2的球面上这个球的表面2积是42,16. 11(已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成的，俯视图由圆与
22、内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为_( 21答案 ， 66解析 据三视图可知该几何体是一个半球(下部)与一个四面体(上部)的组合体其直观图如图所示其中BABCBP两两垂直且BA,BC ,BP,1?(半)球的直径长为AC,2?该几何体的体积为14AC11213V,V，V,()，BA?BC?PB,，. 半球,PABC2323266三、解答题 12(2013?福建)如图，在四棱锥PABCD中，PD?平面ABCD，AB?DC， AB?AD，BC,5，DC,3，AD,4，?PAD,60?. ?(1)当正视方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥PABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过
23、程); (2)若M为PA的中点，求证:DM?平面PBC; (3)求三棱锥DPBC的体积( (1)解 在梯形ABCD中过点C作CE?AB垂足为E. 由已知得四边形ADCE为矩形AE,CD,3在Rt?BEC中由BC,5CE,4依据勾股定理得 BE,3从而AB,6. 又由PD?平面ABCD得PD?AD 从而在Rt?PDA中由AD,4?PAD,60? 得PD,43. 正视图如图所示: (2)证明 取PB中点N连接MNCN. 在?PAB中?M是 PA的中点 1?MN?ABMN,AB,3 2又CD?ABCD,3 ?MN?CDMN,CD ?四边形MNCD为平行四边形 ?DM?CN. 又DM?平面PBCCN?
24、平面PBC ?DM?平面PBC. 1(3)解 V,V,S?PD ?DPBCPDBCDBC3又S,6PD,43 ?DBC推论：平分一般弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。所以V,83. DPBC弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。13(如图，在Rt?ABC中，AB,BC,4，点E在线段AB上(过点E作EF?BC交AC于点F，将?AEF沿EF折起到?PEF的位置(点A与P重合)，使得?PEB,30?. (1)求证:EF?PB; (2)试问:当点E在何处时，四棱锥PEFCB的侧面PEB的面积最大,并求此时四棱(3)边与角之间的关系：锥PEFC
25、B的体积( 1.圆的定义：(1)证明 ?EF?BC且BC?AB ?EF?AB即EF?BEEF?PE.又BE?PE,E ?EF?平面PBE?EF?PB. 抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x0)。(2)解 设BE,xPE,y则x，y,4. 1?S,BE?PE?sin?PEB ?PEB2二次函数配方成则抛物线的x，y112,1.,xy? ,442(3)边与角之间的关系：当且仅当x,y,2时S的面积最大( ?PEB此时BE,PE,2. 由(1)知EF?平面PBE 3、第五单元“加与减(二)”，第六单元“加与减(三)” 在“加与减”的学习中，结合生活情境，学生将经历从具体情境中抽象出加减法算式的过程，进一步体会加减法的意义;探索并掌握100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)和连加、连减、加减混合的计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。?平面PBE?平面EFCB 定义：在RtABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，在平面PBE中作PO?BE于O则PO?平面EFCB. 即PO为四棱锥PEFCB的高( 同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。1又PO,PE?sin 30?,2,1. 21S,(2，4)2,6. EFCB21?V,6 1,2.PBCFE3