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1、特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项（一阶线性递推式） 设已知数列an的项满足a1 b,an 1 can d淇中c 0,c 1,求这个数列的通项公式。定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为x0 ,则当x0 a1时，an为常数列，即a1；当X。 a1时,an bn X。，其中bn是以c为公比的等比数列，即bn“cn1,6a1X0.证明：因为c0,1,由特征方程得x0bn1 an 1X0,dcan d -can1 cd1 cd 厂一.作换元bn cc(an X0) can X0,则cbn.当 X0 a1 时，b10 ,数列bn是以c为公比的等比数列，故bnb1cn当 X0 a1 时，b1
2、0, bn为0数列，故ana1,n N.(证毕)an满足：an 113an2, n N,a14,求 an.-，、-1斛：作方程X3w3x 2,则 X024时，a1 X0,b1 a13 112 21数列bn是以 -为公比的等比数列.31、n111/ 1、n13bn b1( -)( -) ,an-3232bn3 ”( 1)n1,n N.2 23例2.已知数列an满足递推关系:an 1（2an 3）i,n N,其中i为虚数单位。当a1取何值时，数列an是常数数列?6 3i6 3i斛：作万程x （2x 3）i,则 .要使an为常数，即则必须 a1x0 .55二、（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式
3、 an 2 pan 1 qan , a1,a2给出的数列 an ,方程2x px q 0 ,叫做数列an的特征万程。右X1,X2是特征万程的两个根， 当X1X2时,n 1n 1数列an的通项为an AX1BX2 ，其中A,B由a1,a2 决定（即把a1,a2, X1,X2和n 1,2 ,代入anAx； 1 Bx； 1,得到关于A、B的方程组）；当X1X2时，数列an的通项为an（A B）x；，其中A,B由a1, a2决定（即把a1,a2, x1, x2和n 1,2 ,代入an （A Bn）x； 1,得到关于 A、B的方程组）。例 3：已知数列 an 满足 a a,a2 b,3an 2 5an
4、1 2an 0（n 0,n N）,求数列an的通项公式。2一3且a2a1 ba。则数列an1 an是以ba为首项,2-为公比的等比数歹U,3an 1an(b2、n a）（a）31,2,3,n代入,得:a2 a1 ba,a3a2(b a)(I?,an an 1 (b2 n 2a)(R3解法一（待定系数、迭加法）由3an 2 5an 1 2an 。，得an 2 an 1把以上各式相加，得:ana1(b a)12 (-)33守2(l)n1321 -3(ba) n1(b a) aan 32 3(a b)(-)n33b2a。解法二（特征根法）：数列an3an2 5an2an0(n0,n N),a1a,a2 b的特征方程是：3x25x0。X11, X2anAx1n 1Bxn2 n 1B(3)又由a1a23b 2a故an3b2a2、n 13(a b)(-)33B3(a b)、（分式递推式定理3：如果数列an满足下列条件:已知a1的值且对于N ,都有anpan q ran h（其中p、q、r、h均为常数，且ph qr,r-h0,a1一），那么,r可作特征方程px q rx h（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若 a1，则an,n N;若