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1、整理高等数学定积分应用习题答案第六章 定积分的应用习题 6-2 (A) 1( 求下列函数与 x 轴所围部分的面积: 2 (1)y,x,6x，8,0,32 (2)y,2x,x,0,32( 求下列各图中阴影部分的面积: 1. -1图 6 3(求由下列各曲线围成的图形的面积: x,x (1)y,e,y,e与x,1;(2)y,lnx与x,0,y,lna,y,lnb(b,a,0); 2(3)y,2x,x与y,x,y,0; 22(4)y,2x,y,(x,1); 2(5)y,4(1,x)与y,2,x,y,0; 2(6)y,x与y,x,y,2x; (7)y,2sinx,y,sin2x(0,x,); 2x22(
2、8)y,x，y,8(两部分都要计算); 2,14( 求由曲线y,lnx与直线y,0,x,e,x,e所围成的图形的面积。25(求抛物线y,x，4x,3及其在点(0,3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。p26( 求抛物线y,2px及其在点(,p)处的法线所围成的图形的面积。27( 求曲线x，y,a与两坐标轴所围成的图形的面积。22yx8( 求椭圆，,1所围图形的面积。22ab9(求由摆线x,a(t,sint),y,a(1,cost)的一拱(0,t,2,)与横轴所围图形的面积。x10(求位于曲线y,e下方与由该曲线过原点的切线的左方及x轴之间的图形的面积。11(求由下列各方程表示的曲线围成的
3、图形的面积: (1),2asin,(a,0);(2),2a(2，cos,)(a,0);2 (3),2cos2,(双纽线);212.把抛物线y4ax及直线xx(x0)所围成的图形绕x轴旋转，计算所得旋转,00 抛物体的体积。313.由yx,x2,y0所围成的图形，分别绕x轴及y轴旋转，计算所得两个旋转, 体的体积。14(求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积: x (1)y,ach与x,0,x,a,y,0,绕x轴;a2x (2)y,sinx与y,绕x轴;,(3)y,sinx与y,cosx(0,x,),绕x轴; 2(4)y,lnx,与x,2,y,0绕y轴; 2(5)y,2x
4、,x与y,x,y,0绕y轴; 22(6)(x,5)，y,16,绕y轴; 215.求由抛物线y4(1x)及其在(0,2)处的切线和x轴所围的图形绕x轴旋转, 产生的旋转体的体积。222 16.求x，y,4,x,3y所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。22yx17.一立体以椭圆1为底，垂直于长轴的截面都是等边三角形(图62)，, 10025求其体积。18.求底面是半径为R的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积。19.计算曲线y,lnx上相应于3,x,8的一段弧的长度。x 20.计算曲线y,(3,x)上相应于1,x,3的一段弧(6,3)的长度。3a, 21.求对数螺线,e
5、相应于,0到,的一段弧长。34 22.求曲线,1相应于,到,的一段弧长。43x,arctant, 23.求曲线上自t,0到t,1的一段弧长。1,2y,ln(1，t),2,24.求摆线x,1,cost,y,t,sint上相应于0,t,2,的一拱的长度。习题 6-2 (B) 1(求由下列各组曲线围成的图形的公共部分的面积: (1),3a与,2acos,;(2),3cos,与,1，cos,;2 (3),2sin,与,cos2,;222.假设曲线L:y,1,x(0,x,1)与x轴和y轴所围区域被曲线L:y,ax分成面积相等12 的两部分(图6,4)，其中a是大于零的常数，试确定a的值。3.65,用积分
6、方法证明图中球缺的体积为H2,().V,HR,32x124.一铁铸件，其形状为两抛物线y,y,x，1与直线y,10围成的图形绕y轴旋转1010 3而成的旋转体，铁的密度是7.8(g/cm)，求铸件的质量。5.求y,x,y,2及x,0所围成的图形绕(1)x轴;(2)y轴;(3)直线y,2;(4)直线x,4 旋转而成的旋转体的体积。2226.求x，y,a,绕x,b(b,a,0)旋转所成旋转体的体积。 37.求第一象限内由曲线和轴围成的平面图形绕直线1旋转而成的旋转体x,y,yyy, 的体积。,8.求由摆线x,a(t,sint),y,a(1,cost)的一拱(0,t,2)与x轴所围图形绕直线y,2a
7、旋转 而成的旋转体的体积。9.0axb,0yf(x)y证明由平面图形,绕轴旋转而成的旋转体的体积为b 2,xf(x)dx.,a10.在摆线x,a(t,sint),y,a(1,cost)上求分摆线第一拱的弧段长为1:3的分点坐标。1222 11.求抛物线y,x被圆x，y,3所截下的有限部分的弧长。22x232 12.计算半立方抛物线(1)被抛物线截得的一段弧的长度。y,x,y,3322 13.证明曲线y,sinx(0,x,2,)的弧长等于椭圆x，2y,2的周长。2223314.求由星形线(或cos，sin,0)333x，y,ax,aty,ata,(1)所围成的图形的面积; (2)所围成的图形的绕
8、轴旋转而成的旋转体体积;x(3)整个弧长。15.利用元素法证明由xoy平面上一段曲线弧y,f(x),(f(x),0,0,x,b)绕x轴旋转一周产生的曲面(称为旋转曲面)的表面积(或称为旋转体的侧面积)为b 2,2f(x)1，f(x)dx.,a2并利用此公式证明半径为R的球体的表面积为4,R.习题 6-3 (A) 1.由实验知道，弹簧拉伸过程中，需要的力F(单位:N)与伸长量s(单位:cm)成正比， 即F,ks(k是比例系数)，计算把弹簧拉伸6(cm)所作的功。22.直径为20()，高为80()的圆柱体内充满压强为10(/)的蒸汽，设温度保持不变，cmcmNcm 要使蒸汽体积缩小一半，问需作多少
9、功。33.一物体按规律x,ct作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由x,0移至x,a时，克服阻力所作的功。4.用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板1(cm);如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问锤击第二次时，铁钉又击入多少,5.半径为R(m)的半球形水池，其中充满了水，问把池内的水完全吸尽，至少做多少功, 6.设一正圆锥形贮水池，深15(m)，口径20(m)，水面离池口有1(m)，若要将水从池口全部 吸尽，需要做多少功,37.设沙的比重为2(/)，现要堆成一个半径为()，高为()的圆锥形沙堆，gkNmRmhm 问至少做
10、多少功,8.一底为8(cm)，高为6(cm)的三角形薄片，垂直沉没在水中，顶在上离水面3(cm)，底在下 且底边与水面平行，试求它每面所受水压力的大小。9.水坝中有一直立的矩形闸门，阔10(m)，高6(cm)，闸门上边平行于水面;(1)求水面在闸门顶上8(m)时，闸门所受的水压力; (2)欲使闸门所受的压力加倍，水面应升高多少,一根长为l，线密度为的均匀细直棒，在棒的一端垂直距离为a单位处有一质量10.,为m的质点M，试求这细棒对质点M的引力。习题 6-3 (B) 1.半径为R(m)的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同，现将球从水中 取出，需做多少功,若球的比重是水的两倍，问所做
11、的功是多少,23,2.设有一个由抛物线yx绕其对称轴旋转而成的容器，容积为72(cm)，盛满了水，, 3现在要将水抽出64,(cm)，问需做多少功,3.等腰三角形薄片垂直沉没在水中，其底与水面相齐，薄板的高为h,底为a,水比重为1(1)计算薄板一侧所受的水压力; (2)若倒转薄板，使顶点与水面相齐，而底平行于水面，则水对薄板一侧的压力增加多少,有两根匀质细杆，长度均为，位于同一直线上，相间距离为，杆密度为，杆密度4.laAB 为,，求两细杆之间的引力。习题 6-4 1.某产品的边际成本P为产量x的函数P(x),100，0.002x 求产量从1000到2000时成本的增加量。2.某产品生产x个单
12、位时，总收入R的变化率(边际收入)为x,R(x),200,，(x,0) 100(1)求生产50个单位时的总收入;(2)若已经生产了100个单位，则求再生产100个单位时的总收入。,3.已知某产品的边际收益是(),25,2，边际成本是(),13,4，固定成本是RxxCxx,10，求当,5时的毛利和净利。 Cx0提示:净利,毛利,固定成本4.设某种产品每天生产x单位的固定成本为20元，边际成本函数为,C(x),0.4x，2(元/单位)，求总成本函数C(x); 如果这种产品规定的销售单价为18元，且产品可以全部售出，求总利润函数L(x)，并问每天生产多少单位时才能获得最大利润。x,5.设某产品的边际
13、收益是R(x),8,x(万元/百台)，边际成本是C(x),4，(万元/百台)，4求(1)产量从1百台增加到5百台的与总收入与总成本的增量;(2)产量为多少时，总利润最大,(3)已知不变成本C(0),1(万元)，求总成本、总利润与产量x的函数关系式;(4)利润最大时的总成本与总收入。13,6.已知某石油公司的收入率(以每年亿元为单位)为()9(时间以年为单位)Rt,tt13, 相应的成本率为()13,试判断该石油公司应连续开发多少年,并问在停止Ct,，t开发时，该公司所获总利润为多少,7.某商品的需求量Q为价格p的函数，假设该商品的最大需求量为1000，已知需求量的p 1,变化率(边际需求)为Q
14、p，求需求量Q与价格p的函数关系。(),1000ln3,3,p8.已知某商品的需求量Q对价格p的弹性,，而市场对该商品的最大需求量为,4,p 400，试求需求函数和总收入函数。总习题六 一、选择题 1.曲线y,f(x)与x,a,x,b所围成的图形的面积A,().bb(A)f(x)dx;(B)f(x)dx; ,aabba(C)f(x)dx;(D)f(x)dx,f(x)dx.,a002.y,f(x),y,f(x)x,a,x,bxV,().连续曲线与所围图形绕旋转所得旋转体的体积12bb2222,(A)f(x),f(x)dx;(B)f(x),f(x)dx; 2122,aabb222(C),f(x),
15、f(x)dx;(D),f(x),f(x)dx.2122,aa22222,双纽线，,所围成的面积,3.(xy)xy(cos2)A().,24, (A)2cos2d;(B)2cos2d;,00,1244(C)2cos,2,d;(D)(cos2,)d,.,0024.SHh横截面为，深为的水池装满水，把水全部抽到离池口高为的水塔上，W,().则所作功Hh (A)S(h，H,y)dy;(B)S(h，H,y)dy;,00HH，h(C)S(h,y)dy;(D)S(h，H,y)dy.,00,5.xlm轴上有一线密度为常数长度为的细杆，有质量为的质点位于杆的延长线上ak().且到右端的距离为，已知引力系数为，则
16、质点和细杆之间的引力大小为0l,kmkm(A)dx;(B)dx; ,22,0l,(ax)(ax)l0kmkm,2(C)2dx;(D)2dx.l,2,2,0，(ax)(ax)2二、填空题 1 1.曲线y,x，,x,2及y,2所围成的平面图形的面积为_.x1、20以内退位减法。32 2.曲线y,sinx(0,x,)与x轴围成的图形绕x轴旋转所成旋转体的体积为_.,23.质点以速度sin(米/秒)作直线运动，则从时刻秒到秒内质点ttt,t,12 2经过的路程为_米。2x13 4.函数y,在区间,上的平均值为_.2221,x弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。三
17、、计算题 2、探索并掌握20以内退位减法、100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。2 1.求曲线y,x，x,2与x轴所围部分的面积。4.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。2.求曲线y,x的一条切线l,使该曲线与切线l及直线x,0,x,2所围成图形面积为最小。抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x0)。2考虑函数y,x,0,x,1,问3( |a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。(
18、1)t为何值时，图中(图6,7)中阴影部分的面积S与S之和S,S，S最小,1212 (2)t为何值时，面积S,S，S最大,1224.求曲线yx2x,y0,x1,x3所围成的平面图形的面积S，并求该平面, 图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积V。tanA是一个完整的符号，它表示A的正切，记号里习惯省去角的符号“”；x求曲线ye与x轴之间位于第二象限的平面图形的面积及此图形绕y轴旋转所成的5., 旋转体的体积。7、课堂上多设计一些力所能及的问题，让他们回答，并逐步提高要求。26.设抛物线yaxbxc过原点，当0x1,y0，又已知该抛物线与x轴及直线,，,（1）理解确定一个圆必备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.1x1所围图形的面积为,试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积V ,3为最小。推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等。7.求心形线,a(1，cos,)(a,0)的全长。8.已知某产品的边际成本函数和边际收入函数分别为2()45,()202，求,Cx,x,x，Rx,x (1)使总利润最大时的产量;(2)当产量由4减到2时，总收入和总成本各减少多少,