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1、华东师大版八年级（下册）,第20章 平行四边形的判定,20.1 平行四边形的判定(第2课时),知识回顾,判定一个四边形是平行四边形已学过哪些方法?,定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。,定理2：一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形。,定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。,如图，在 中，P1、P2是对角线BD的三等分点。求证：四边形AP1CP2是平行四边形。,练习,平行四边形判定定理：,1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。, ABCD，ADBC（已知），四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。,数学语言表示为：,2. 两组对边分别相等的四
2、边形是平行四边形。,AB=CD，AD=BC（已知），四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。,数学语言表示为：,3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。, AB=CD，ABCD（已知），四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。,数学语言表示为：,学习了平行四边形后，小明回家用细木棒钉制了一个。第二天，小明拿着自己动手做的平行四边形向同学们展示。 小辉却问：你凭什么确定这四边形就是平行四边形呢？ 大家都困惑了,请你帮忙,小丽说：“我可以不用任何作图工具，只要两条细绳就能判断它是不是平行四边形。”,只见小丽用两条细绳做四边形的对角线，
3、并在两条对角线的交点处作了个记号。然后分别把两条对角线沿记号点对折，发现它们被记号点分成的两段线段都能重合，小丽高兴地说：“这的确是个平行四边形！”,从小丽的做法中，你能得出 怎样的结论？,O,猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形。,已知：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， 并且 AO=CO，BO=DO。,求证：四边形ABCD是平行四边形。,证明：在AOB和COD中,所以AOBCOD(SAS)。,所以AB=CD。,同理 AD=CB。,所以四 边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。,平行四边形判定定理 ：,4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
4、, A0=C0，B0=D0（已知）,四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。,数学语言表示为：,O,猜想：两组对角分别相等的四边形是平行四边形,已知：在四边形ABCD中， A= C，B= D，求证：四边形ABCD是平行四边形。,证明：因为A=C，B=D，又A+ B+ C+ D =360 ，所以 2A+ 2B=360 ，即A+ B=180 .所以 ADBC 。同理，可证ABCD。所以四边形ABCD是平行四边形。,试一试其他的方法,平行四边形判定定理 ：,5. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。, A=C，B=D （已知），四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等
5、的四边形是平行四边形）。,数学语言表示为：,1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。,平行四边形的判定方法,2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。,4、对角线互相平分的四边形是平行四边形。,3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。,5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形,例1： 已知：如图 ，E、F是平行四边形ABCD对角线AC 上的两点，并且 AE=CF。 求证：四边形BFDE是平行四边形。,证明：连接BD，交AC于点O。,因为四边形ABCD是平行四边形，,所以AO=CO，BO=DO。,因为AE=CF，,所以EO=FO。,因为BO=DO，,所以四边形BFDE是平行四边形 (对角线
6、互相平分的四边形是平行四边形),延长线,上的两点,且E.F是OA.OC的中点.,上的两点,且DEOA.BFOC.,小试牛刀,如图, AB=CD, 且DCA=BAC, 四边形ABCD是平行四边形吗？你有几种判别方法？,已知：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M、N、P、Q分别OA、OB、OC、OD的中点。求证四边形MNPQ是平行四边形。,证明：,因为ABCD是平行四边形，,所以OA=OC，OD = OB.,因为M、N、P、Q 分别OA、OB、OC、OD的中点，,所以OM=OP，OQ = ON。,所以四边形MNPQ是平行四边形。,拓展训练,已知：如图，在 中，E,F是对角线BD上的两
7、点，BAE=DCF.求证：四边形AECF是平行四边形。,例2,O,课内练习,1.如图：在 中，E,F是对角线AC上的两个点；G,H是对角线B,D上的两点.已知AE=CF,DG=BH,求证：四边形EHFG是平行四边形.,O,H,G,F,E,D,C,B,A,探究活动,任意画一个三角形和三角形一边上的中线。比较这条中线的二倍与三角形另外两边的和的大小，你发现了什么?再画几个三角形试一试，你发现的规律仍然成立吗?试证明你的发现。,发现：三角形一条边上的中线的2倍小于另两条边的和。,E,已知：如图，AD是ABC的中线，,求证：2ADAB+AC,证明：,如图，延长AD至E,使ED=AD.连接BE,EC.,因为BD=CD,所以四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。,所以AB=CE(平行四边形的两组对边分别相等)。,因为AC+CEAE,所以AB+AC2AD,即2ADAB+AC.,见中线延长一倍,数学周报 精彩不断 创意无限,再 见,配合数学周报使用 效果更佳,