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1、上海第二工业大学姓名:、选择题：Sinx 业为xSinax3a x1、设不定积分、定积分学号:每小格3分,共30分f x的一个原函数,且 aC;Sinax 八(B)C ;a x0,测验试卷班级:成绩:那么些dx应等于(C)a sinaxaxC;Sin ax(D)xtsin tdt04、极限1归exC1,x 0 / 、x e c,(A)F(x)x；(B) F(x)xeC2,x 0e c 2,exx 0 / 、ex, x 0(C)F(x),x；(D) F(x)xe2,x 0e ,x 01,x0x、设f(x) 0,x0,F(x) o f(t)dt,那么( )1,x0(A)F(x)在 x0点不连续；(
2、B)F(x)在(,内连续,在x 0点/*导；(C)F(x)在(,内可导,且满足F xf (x);(D)F(x)在(,内可导,但不一定满足F (x) f(x)ex在(2、假设上不定积分是Fx那么 F(x)Cx3Ox00x 2t2dt0(A) 1;(B) 0;(C)1；5、设在区间a,b上 f (x) 0, f (x)0, f(x)(D) 2bf (x) dx, s2 af(b)(b a)1 r& 2【f(a)f(b)(b a),贝4 (A) S!S2S3 ；(B) S2S1S3；(C) S3SiS2 ；(D) S2S3Si、填空题:每小格3分,共30分1、设f(x)的一个原函数是e 2x,那么它
3、的一个导函数是 2、设:f(x)dx 1, f (2) 2,贝 U 1 xf (2 x) dx 3、 f (ex) xe x,且 f (1) 0 ,贝U f (x) .x14、 函数F(x) (2 十)dt(x 0)的单倜减少区间为 .15、 由曲线y x2与y jx所围平面图形的面积为 .三、计算题(第1, 2, 3, 4题各6分,第5, 6, 7题各8分,共48分)1、计算里、dx x(1 x )2、计算 xtan2 xdx5、1ln(1 x), r dx0(2 x)t)dt4、设 f (x)6、计算11 x2,xx e , x0,求031 f (x 2)dxx、x 1dx7、曲线C的方程
4、为y f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线1i,12分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为 (2, 4).设函数f(x)具有三队连续导数,计算定积分(x2x) f (x) dx.四、解做题(此题10分)1 一 一 f (x) 一 一设f (x)连织,(x)f(xt)dt,且lim A( A为常数),求 (x),并讨论 (x)0x 0 x在x 0处的连续性.五、应用题(此题6分)设曲线方程为y e x(x 0),把曲线y e x,x轴、y轴和直线x (0)所围平1面图形绕x轴旋转一周,得一旋转体.(1)旋转体体积V( )； (2)求满足V(a) 1 lim V() 的a值
5、.六、证实题(6分)babb设f (x)在a,b上连续且单倜增加,证实：不等式 xf(x)dx f(x)dx.不定积分、定积分测验卷答案.选择题：每小格3分,共30分1、Asin ax3a xC;2、(C) F(x)ex 2,x 03、B Fx在,内连续,在x 0点不可导;4、 C 1 ;5、 B S2 S1 S3 o二、填空题：每小格3分,共30分1、一个导函数是 f x 4e 2x.2、 o xf 2x dx ：._ 1、2- 1、.13、f x -ln x.4、单倜减少区间为,、.5、- o三、计算题第1, 2, 3, 4题各6分,第5, 6, 7题各8分,共48分1、解:(1 x)2d
6、x x x(1 x2)(x2 、,.)dx In x1 x2arctan x2、解:.一2.x tan xdx,2x(sec x 1)dx xd tan xxdxxtan x2 x tan xdx 一3、解:4、解:5、解:xtan xIn cosx被积函数x 0时,0时,原式31f(x1ln(10In 2f(t)原式1(12x2)dxx)dx (2 x)210(t,t,0x1(1t)dt；(1 x)2；t)dtx0(1t)dt12(1x)2.t 11f(t)dt10|n(1xd201(1L)xt2)dt1e tdt0ln(1x)21x0 (1 x)(2 x)dx-)dx xIn 2.36、解
7、：由于limx 1f (x),所以1为瑕点,因此该广义积分为混合型的.I1所以7、x ； x-1 dx2一1 dx1 x , x 1解:(0)3(x20 21.dx1 x . x 11dxx , x 1x 丁1dxt2I1按题意,直接可知I1 I22 2tdt1 (t2 1)t2arctan x2tdt(1 t2)t2arctan xf(0) 0, f (3) 0, f0 拐点的必要条件O从图中还可求f x在点0,0与3,2处的切线分别为2, f (3)2.x)f (x)dx30(2x 1)df (x)7 ( 2) 2 2 (2所以3 20 (x2 x)df (x)(2x 1)f (x)0)
8、20.2x, y2x8.于是(x2x)f (x) 0(x)(2x1)dxf (x)dx 7 f (3)f (0)2f(x) 0四、解做题此题10分0；解：由于lim 旦冷 A ,故lim f(x) 0 ,而f (x)连续,lim f (x) f (0) x 0 xx 0x 01由于 (x)0 f (xt)dt,令 u xt ,当 t :01 时,有 u: 0 x , du xdt ；1x 10 f (u)du当 x 0时,有 (x) f (xt)dt f(u)-du 00 xx1当 x .时,有 (0) o f (0) dt 0;x所以(x) Q,x 0. x0,x 0所以(x)02 x,x
9、0oA2,x 0又由于limx 0(x)xf(x)lim x 0x0 f(u)du2xxm0(f(x)xxxf(x) 0 f(u)dux0 f (u)du)当x 0时,有(x)xf(x) 0 f(u)du20时,lim(x)(0)x 0lim (x) x 00 f(u)du limn x 0x2lim四 x 0 2x所以lim (x)x 0一 A-(0)-,即(x)在x 0处连续.五、应用题(此题6分)解：(1) V( ) y2dx (e x)2dx (1 e2 )；2a112(2) V(a) -(1 e ),于是 V(a) 2 lim V( ) lim -(1 e2 )-；2.11故一(1e
10、2a) lim V()aln2.2242六、证实题(6分)x a x x证：设 F (x) tf (t)dt f (t)dt x a,ba2 a由于f(x)在a,b上连续,所以1 x a xF (x) xf (x) 2 a f(t)dt f(x)f(x)1 xf (t)dt2 a1 x-af(x) f(t)dtf(x) f (t) 0 ,所以 F (x) 0 ;由于 f(x)在a,b单调增加,0 t x, f (t) f (x)所以F(x)在a,b单调增加；又F (a) 0,所以F(b) F(a) 0 , babb_.,ba b b即 xf(x)dx f(x)dx 0,所以有 xf(x)dx f(x)dx.a2 aa2 a