最新[资料]名师点评高考数学温习+导数答疑优秀名师资料.doc

《最新[资料]名师点评高考数学温习+导数答疑优秀名师资料.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新[资料]名师点评高考数学温习+导数答疑优秀名师资料.doc（48页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、资料(名师点评)高考数学温习 导数答疑导数答疑1(本章的学习目标是什么, (1)掌握导数的定义，灵活运用导数的定义计算函数在某一点的导数( (2)掌握函数在某点的可导性与连续性的关系，即函数在某点可导必连续，连续不一定可导，不连续一定不可导( (3)掌握求导法则，尤其是复合函数的求导法则;能熟练地应用求导法则与基本公式求初等函数的导数;会求隐函数和参数方程所确定的函数的导数;并熟练地计算某些简单的初等函数的高阶导数( (4)理解中值定理特别是拉格朗日中值定理，初步具有应用中值定理论证问题的能力( (5)能熟练地运用洛必达法则准确地计算各种不定式的极限( (6)理解泰勒公式的意义，能熟练地写出泰

2、勒公式与马克劳林公式( 2(学好本章知识的关键是什么, 由于导数是从许多的实际问题中抽象出来的一个数学概念，所以要知道导数的构造性定义，正确理解导数概念;知道导数是一种特殊类型的极限，即函数f(x)在点处的函数的增量与相应的自变量的增量x，fx，,x,fx000fx，,x,fx，00的比值 ，x，,x,x,x,x,000,x当自变量的增量?x?0时的极限值( 复合函数的求导是本章的重点，同时也是难点，熟练掌握和运用复合函数的求导法则对学好本章的知识具有重要作用(复合函数求导的关键在于搞清复合函数的结构，明确复合次数，把一个初等函数由外向内分解成基本初等函数，以便利用导数公式(基本初等函数的导数

3、)(在求导过程中，比如，函数可看作y,f(u),，,y,f,gx几个基本初等函数复合而成，顺次先将最外层的f关于u求导，再将次外层的关于求,，,u,v,v,t,t,gx导，后将第三层的关于t求导，即逐次由外向内关于相应的中间变量求导，直至最内层的函数g关于自量x求导,为止，并把这些所求得的导数顺次相乘即得( 1(怎样理解导数概念, 在生产实践和科学实验中，常常需要研究函数相对于自变量的变化快慢程度(例如，要预报人造地球卫星飞过各大城市的时间，就需要知道卫星的飞行速度;要研究轴和梁的弯曲变形问题，就必须会求曲线的切线斜率等等(求速度和曲线的切线斜率问题，叫做求变化率问题，数学上称为求导数(下面，

4、我们将从几个实际问题入手，引入导数的概念( 引例1 求变速直线运动的瞬时速度( 解 设有一质点M在直线AB上自O点开始作直线运动(如图3-1)(经过时间t后，该质点离O点的距离是tt的函数s,s(t)(求质点M在时刻的瞬时速度( 0tt，,tss，,s设在到一段时间内距离从变到，在?t这段时间内质点M所走的距离为 0000，,s,st，,t,st, 00st，,t,st，,s00v,因此在?t时间内，质点M的平均速度为 .,t,tvvtv若质点作等速运动，平均速度就是质点M在时刻的瞬时速度(若质点M的运动是变速的，则一般不00会正好是的瞬时速度，但?t愈小，就愈接近的瞬时速度，所以当?t?0时

5、，就可较精确的表示出时刻vvttt000的瞬时速度( sttst，,，s00因此，我们用极限 vv，tlimvlimlim ,00,t0t0t0tt来定义质点M在时刻的瞬时速度( t0瞬时速度v反映了路程函数s(t)相对时间t变化的快慢程度，称为函数s(t)对于自变量t的变化率(引例2 切线的斜率( 解 如图3-2，求曲线y,f(x)在其上一点处的切线PT的斜率( ，Px,y00点P处的切线不是孤立的概念，它与已知的割线联系着(在曲线上任意另取一点Q，设它的坐标是，其中，则过点，与，的割线斜率x，,x,y，,y,x,0.,y,fx，,x,fxPx,yQx，,x,y，,y00000000,k(即

6、?y对?x的平均变化率)是 ，,fxxfx,y00,k,. ,xx,kk当?x变化时，即点Q在曲线上变化时，割线PQ的斜率也随之变化(当|?x|较小时，取割线PQ的斜率作为点P的切线斜率的近似值(当|?x|越小，这个近似程度也就越好(于是，当?x无限趋于0时，即点Q沿着曲,k线无限趋于P时，割线PQ的极限位置就是曲线过点P的切线，同时，割线PQ的斜率的极限k就是曲线过点Px的切线斜率(即y,f(x)在点处变化率) 0，,fxxfx,，y00即 , ktanlimlim.,x0x0,xx这样就把求曲线在点P处的斜率问题转化成求上面的极限问题( 引例3 求电流强度( t解 设电流通过导线的横截面的

7、电量是Q(t),它是时间t的函数，求任一时刻的电流强度( 0我们知道，在直流电路中，电流强度是单位时间内通过导线横截面的电量，即 电量电流强度,. 时间t在交流电路中，电流大小是随时间而改变的，不能直接按上述公式求时刻的电流强度(我们可通过以下方法0得到: 设在到一段时间内通过导线的电量是 ，tt，,t,t,0,Q,Qt，,t,Qt.0000Q 因此在这段时间内，平均电流强度I为I,.t易知，?t取得越小，就越接近时刻的电流强度I(若当?t?0时，的极限存在，则平均电流强度的极tIII0限就是时刻的电流强度(因此，我们定义: t0Qt，,t,Qt，,Q00I,limI,lim,lim( ,t,

8、0,t,0,t,0,t,t这样，我们又把求瞬时电流强度问题归结为求上面的极限问题( 通过以上三个实际问题，我们可以看到，虽然三个问题的实际意义完全不同，但解决实际问题的数学结构是完全相同的，即只从数学结构来考虑，它们可归结为(完全相同的数学结构)函数f(x)在某点处函数的增量x0与相应的自变量的增量?x(?x?0)的比值当自变量?x无限趋于0时的极限(即，,y,fx，,x,fx00fx，,x,fx,y，00( lim,lim,x0x0,x,x在实际问题中，还有许多其他的问题也可归结为上面的极限来解决(我们把这些问题中出现的共同的数学结构抽象出来，就是我们的导数的概念，即导数是从这些实际问题中抽

9、象出来的一个数学概念( 设函数y,f(x)在点的某邻域内有定义，当自变量有增量?x(?x?0)时(?x可正可负)函数有相应x0增量，( ,y,fx，,x,fx00fx，,x,fx,y，00若极限存在，则称函数f(x)在点可导，并称该极限值为函数f(x)在xlim,lim0,x0x0,x,x,点x(对x)的导数，记作f(x)， 00，,dydfx，fxxfx，00,yxx|,或.即 也可记作 ,，fxlim.,0xx00,x0dxdx,x,xx0x若上面的极限不存在，则称函数f(x)在点不可导( 0x，,x,x,x,xx,x有时，我们把记作x，于是，当?x?0时，有,则上面的极限可改为 000f

10、x,fx，0,，fx,lim. 0x,xx,x00导数定义的这两种表示法，在以后的应用中都要用到( t引入了导数概念之后，上面开始的三个引例都可用导数来描述，即要求质点在时刻的瞬时速度，只要求出路0，tPx,fxx程函数s(t)在的导数即可;要求曲线y,f(x)在点处的切线斜率，只要求出函数f(x)在点0000ttt处的导数即可;要求时刻的电流强度，只要求出电量函数Q(t)在的导数即为所求时刻的电流强度(000,y很明显，函数增量与自变量增量之比是函数在以和为端点的区间上的平均变化率，而导数xx，,x00,x,则是函数y,f(x)在点处的变化率，它反映了函数f(x)在点处随自变量的变化而变化的

11、快慢程度(，fxxx000注:从导数的定义中可以看出，导数实质上就是一种特殊的极限值，即函数f(x)在点处函数的增量x0,y与相应的自变量的增量?t(?x?0)的比值，当自变量的增量?x无限趋于0时的极，,y,fx，,x,fx00,x,y限但极限值并不一定是导数，如( lim.limcosx,x,0,t,0,x若只讨论函数在点的左邻域(或右邻域)上的变化率，我们需引入单侧导数的概念( x0，,设函数y,fx在点x的某右邻域x,x，上有定义，若右极限000，fx，,x,fx,y00，lim,lim,0,x,. ，,x,x,00,x,x,存在，则称f(x)在点右可导，并称该极限为f(x)在点的右导

12、数，记作 ，xxfx.00，0,y若极限不存在，则称f(x)在点右不可导( xlim0，,x,0,xfx，,x,fx，00,，fx,lim,x,0.,0, ,x0,x右导数与左导数统称为单侧导数( 由左、右极限与极限的关系，我们很容易得到函数f(x)在点可导的充要条件是f(x)在点既是左可导xx00又是右可导且左、右导数相等(即 ,，fx存在,fx与fx都存在且相等. 0，0,0,，由导数的定义可知，要用定义求y,f(x)的导数fx，可以分为以下三个步骤: 0， (1)求增量:y,fx，x,fx.00fx，x,fx，y00(2)算比值:,.xx y,，(3)取极值:fx,lim.0x,0x,y

13、,y利用导数定义求导数的难点是有一些比值的解析式不便于取极限，还需将其变形或化简，使极限lim成,x,0,x,x为已知极限的形式，以便于计算( 2例1 求函数在点x,3的导数( y,x思路启迪 利用导数定义求函数的某点的导数时，应先求出当自变量在某点有增量?x(?x?0)时对应的函数的增量?y,然后计算?y与?x的比值的极限( 222规范解法 ，(1)求y在点x,3处的增量.取,x,0,y,3，,x,3,6,x，,x2,y6,x，,x，(2)算比值( ,6，,x.,x,x,y(3)取极限( ,，f3,lim,lim6，,x,6.,x,0,x,0,xy点评 求函数在某点处的导数，首先应判断函数在

14、点处是否可导，即极限是否存在且有限(若limxx00x,0x极限存在且有限，则函数在该点可导，此时，极限即为所求的导数;若极限不存在或极限为?则函数在该点不可导(例2 证明函数f(x),|x|在点x,0处不可导( 思路启迪 首先要求函数f(x)在点x,0处的左、右导数是否存在，若都存在且相等，则f(x)在x,0处的可导，若至少有一个单侧导数不存在，或两两个单侧导数都存在但不相等，则函数f(x)在点x,0处不可导(fx,f0，因为规范证法 x,0|x|,x1x,0,1x,0,，fx,f0,，？f0,lim，x,0x,0,lim1,1,，x,0，fx,f0,，f0,lim,x,0x,0，,lim,

15、1,x,0,1., ，因为f0,f0,所以fx在点x,0处不可导.，,点评 判别分段函数在分段点处的导数是否存在时，由于在分段点的两侧函数的表达式不相同，故函数的增量,y?y的结构在分段点的两侧也不相同，此时不能直接计算极限，而应首先分别判断f(x)在分段点的两个lim,x,0,x,y,y单侧导数是否存在，即首先判断极限与极限的存在性，并由此而确定函数在分断点的可导性(limlim，,x,0,x,0,x,xx，x,fx,x，f00,，证明:若fx存在，则lim,2fx.例3 00,x0xfx，,x,fx，00,，fxfx思路启迪 已知存在，也即是极限lim存在且等于，只要紧扣导数的定义，00,

16、x0,xx并把等式中的左端化成f(x)在点处的导数的结构，该题的证明将容易得到( 0规范证法 ，fx，,x,fx,x00lim,x,0,x，fx，,x,fx，fx,fx，,x.0000,lim,x,0 ,x，fx，,x,fxfx,x,fx0000,lim，lim,x,0,x,0,x,x,，,fx，fx,2fx.000fx，,x,fx，00点评 在导数的结构(定义)中，函数的增量与自变量的增量?x，fx，,x,fxlim00,x0,x是相应的，即自变量有增量?x时，相应的函数的增量是，而在上面第二个极限中，函数的增，fx，,x,fx00量所对应的自变量的增量是,?x(而非?x)，这一点是至关重要

17、的(因此应该有(易知?x?0，fx,x,fx00时，,?x?0)( fx,x,fx，00lim,x,0,x ，x,x,fx00,，,lim,fx.0,x0,x,例4 证明:若函数f(x)与g(x)当x,0时等于零，并且存在导数，且则 ，g0,0,，fxf0lim. ,x,0,，gxg0fx,f0，fxfx,0fx,f0，x,0,思路启迪 由已知条件，我们有，又与存在且，f0g0gx,g0，g，xgx，,0gx,g，0x,0,x,0，故上面分式当时分子与分母的极限存在且分母的极限不为零(于是由极限的四则运算即可给出，g0,0证明( ,规范证法 由已知有 ，f0,g0,0,f0与g0存在且g0,0

18、.当x,0时fx,f0,，fx，f0lim,，fxfx,f0fxf0x,0,x,0x0,于是lim,. x,0，gx,g0gx,g0,，gxgx,g0gxg0limx,0,x0x,01,gxsinx,0,，,例5 设 ，fx,且已知g0,g0,0.求f0.x,0x,0.,1sin的有界性.思路启迪 直接利用导数的定义和正弦函数 x1gxsin，fx,fgx,g，001x规范解法 ？lim,lim,lim,sin.x,0x,0x,0x,x,x,x0001gx,g0，,又因为sin是有界量，lim,g0,0,，x,0xx,0 ，gx,g01,，所以lim,sin,0.于是，fx在点x,0可导且f0

19、,0.x,0x,0x,例6 设 ，fx,x,a,x,其中函数,x在x,a处是连续的，求fa.，,faxfa，,思路启迪 求，即是求极限即，注意到函数在x,a处是连续的，lim,a，,x，fa,xlim,x,0,x,0,x即，即可得出结果( ，lim,a，,x,a,x,0faxfa，,falim，规范解法 ,x,0x,xa，x,0，,limx,0x, ,lima，x.，x,0,，由于,x在x,a连续，故lim,a，x,a，于是fa,a.x,0例7 此函数在点a没有导数( ，fx,|x,a|,x,其中,x为连续函数及,a,0,证明:思路启迪 这里f(x)是一个分段函数，点a是f(x)的分段点，讨论

20、分段点的可导性，需要利用函数在某点的可导性与该点的两个单侧导数的存在性的关系( 规范证法 取?x?0， ，,a，,x,x,0,y|,x|，,a，,x,，,a，,x,x,0.,x,x, ，由于,x在点a连续,故有lim,a，,x,a.,x,0,y,于是fa,lim,lim,a，,x,a.，,x,0,x,0,x,y,，fa,lim,lima，,x,a. ，,x,0,x,0,x,，由于,a,0,故fa,fa因此fx在点a没有导数.,，2,xx,x,0fx,，例8 设为了使函数f(x)于点处连续而且可导，应当如何选取系数a和b,x,x,0,ax，bx,x.0,思路启迪 由于是分段函数f(x)的分段点，

21、要使分段函数在分段点处连续且可导，须考虑使如下等式x,x0成立: (1)fx,0,fx,fx，0.，000 ,，(2)fx,fx.,0，02规范解法 ， ？fx,x.0022fx,0,limfx,limx,x.，00,xxxx,00fx，0,limfx,limax，b,ax，b.，00，xxxx,002？当x,ax，b时，函数fx在x,x处连续.，00022 ，fx，x,fxx，x,x0000,，又fx,lim,lim,2x00,xxxxxx,0022，ax，x，b,xax，ax，b,x0000,，fx,lim,lim,a.0，xxxxxx,00？当a,2x时函数在点x处可导.00222从而得

22、:x,2x，b,b,x.000 2故所求的系数为a,2x,b,x.002(函数f(x)的不可导点有哪些类型, (1)函数f(x)在不连续点不可导( 如，符号函数sgnx，在x,0点不连续，在x,0点不可导( (2)函数f(x)在连续点不可导有以下几种类型: ?左、右可导，但左、右导数不相等; 例如，函数f(x),|x|，在点x,0左、右可导，但左、右导数不相等( ?左、右两侧至少有一侧不可导; 1,xsinx,0, 例如,函数fx,，x,0x,0.,y1,右导数f0,lim,limsin不存在，即右不可导.，x,0x,0xx 0,，左导数f0,lim,0存在，即左可导.,x,0x?左、右导数至

23、少有一个是无限大( 3例如，fx,x在x,0时，3x1,右导数f0,lim,lim,，,;， ，2，x0x0,x3x，3x1,，左导数f0,lim,lim,，,.,2,x,0x,0x3，xxx3(函数f(x)在点可导，是否函数f(x)在点的某邻域内每一点都可导, 00，不一定,函数fx在点x可导是一个局部概念,它在点x的邻域内不一定可导.00 2,xx,当为有理数时,fx,例如函数，在点0可导，(当然在点0连续)，事实上 ,0x.当为无理数时,2,x,limlim0 当x为有理数时,fxf0fx，x,0x,0,x, ,f0limlim，,x,0x,0,x0x0,lim0 当x为无理数时.,x,

24、0x,显然，函数f(x)在任意点x?0都不连续，即除点0外，函数f(x)在任意点都不可导( 由此可见，一个函数可能仅仅在一点可导( 4(什么是导函数,导数与导函数有什么区别与联系,怎样求导函数, 如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，称函数f(x)在开区间(a,b)内可导，并称函数f(x)是,(a,b)内的可导函数(如果函数f(x)在闭区间a,b内可导，且与都存在，称函数f(x)在闭区间a，fafb，,b上可导，此时称f(x)为闭区间a，b上的可导函数( ,如果函数f(x)在区间I可导，此时对每一个点x?I，都有惟一一个导数与之对应，这样按照函数的定，fxdy,，作fx,y或.即义

25、，在I上定义了一个新的函数，称为函数f(x)在I上的导函数，记 dxfx，,x,fx，,，fx,lim,x,I ,x,0,x注意到，前面介绍的函数f(x)在点处的导数是一个值，这里给出的导函数是一个函数，这是二者的根本x0,区别(函数f(x)在点的导数与函数f(x)在I上的导函数的关系是:导数等于导函数，x,Ifxfxfx0000,，fx,fx|.在点处的函数值，即 ，fxx0x,x00,而前面导数的记号 y|正是利用这种关系来表示的. x,x0有时，在导函数与导数不至于发生混淆的情况下，导函数简称导数(例如，求某一函数的导数，而没有特别指明是某一点的导数，这时实际上是求导函数的( 从导函数的

26、结构我们可以看出，导函数的结构从形式上就是函数f(x)在任一点x处的导数(因此要求函数f(x)在区间I上的导函数，只需要求出f(x)在I上任一点x处的导数即可，而要求f(x)在点x处的导数，只fx，,x,fx，需把极限求出来即可 lim,x,0,x例1 求函数y,x的导数( 思路启迪 在本题中，实际上是求函数y,f(x)的导函数的，只须把函数f(x)在任一点x处的导数求出来即可( 规范解法 ?f(x),x, f(x，?x),x，?x,?x?0， ?y,f(x，?x),f(x),x，?x,x,?x( ,y,x,1.,x,x,y, ？y,lim,lim1,1.,x,0,x,0,x,，即x,1.3例

27、2 求函数 y,x的导数.xx思路启迪 这里是求导函数的，可先求出处的导数，再把换成x即为所求( 00规范解法 任取x,R,x,0.033fx,x,fx，,x,x，,x,，000033x，,x,x,y，2200,3x，3x,x，,x,，00,x,x ,y222,，y|,lim,lim3x，3x,x，,x,3x.,x,x0000,x,0,x,0,x,332，用x代x即得函数y,x的导数为x,3x.05.导数的几何意义是什么,它有哪些物理意义, 由引例2，我们知道，若函数f(x)在点可导，则曲线y,f(x)在点的切线存在，且切线的斜，Px,fxx000,率k就是函数f(x)在点处的导数,即 ，fx

28、kfx.x,000,故函数y,f(x)在点处的导数的几何意义是:表示曲线y,f(x)在点处切线的斜率，即，fxx,fxx0000,( ，tan,fx0因此，若函数f(x)在点处可导，则曲线y,f(x)在点处的切线方程是:，Px,yy,fxx00000,1,(法线方程是 ，y,y,fxx,xy,y,x，,xf，x,0.000000,，fx0导数的物理意义，根据函数f(x)的物理意义不同而不同(如若当函数f(x)表示质点作变速直线运动的路程,时(x表示时间)，其导数表示质点在时刻x的瞬时速度;当函数f(x)表示质点的速度函数时，其导数，fxfx,表示质点的瞬时加速度;当函数f(x)表示电量函数时(

29、x表示时间)，其导数表示时刻x的瞬时电流强度(等，fx等( 3例1 求曲线在点(1，1)处的切线方程与法线方程( y,x3思路启迪 按照导数的几何意义，只要求出函数在点x,1处的导数即为该曲线在点(1，1)处的切线y,x斜率，再利用直线的点斜式方程即可求出切线与法线方程( ,规范解法 根据导数的几何意义可知，所求切线的斜率为ky|,1x,1.,322,，由于y,x,3x,因此k,y|,3x|,3. 1x,1x,1于是所求的切线方程为y,1,3(x,1),即3x,y,2,0( 1所求法线的斜率为k,.23 1，从而所求的法线方程为y,1,x,1,即x，3y,4,0.33例2 求曲线 y,x上哪些

30、点的切线平行于直线y,3x,3.思路启迪 根据导数的几何意义，求曲线y,f(x)上切线平行于已知直线的点，也即是求函数y,f(x)在哪些点的导数与已知直线的斜率相等(因此，只要找出函数y,f(x)与已知直线的斜率相等的点即可( 32,规范解法 已知直线y,3x,3的斜率k,3，函数y,x的导数y,3x.2设3x,3,得x,1,当x,1时,y,1; x,1时，y,1.故所求的点是(1，1)和(1，,1)( 点评 解决此题的关键是能正确理解并掌握导数的几何意义( 6(函数的可导性与连续性的关系是什么, y,， ，设函数y,fx在点x可导，即lim,fxx,0x,y由具有极限的函数与无穷小量的关系我

31、们知道，存在一个当?x?0时的无穷小量，,，使得,fx，,成立.,x,从而,y,fx,x，,x.，,，于是lim,y,limfx,x，,x,0.,x,0,x,0即函数y,f(x)在点x处连续(因此我们有: 若函数y,f(x)在点x可导，则函数y,f(x)在点x必连续( 反之，不一定成立，即若函数y,f(x)在点x处连续，但它在点x不一定可导( xx,0,fx,例 函数 ，,xx,0.,规范解法 如图3-3，f(x)在点x,0连续，事实上:f(0),0( limfx,limx,0,f0,即在点x,0右连续.，x,0x,0 ，limfx,lim,x,0,f0,即在点x,0左连续.,x,0x,0故f

32、(x)在点x,0连续( 但是，f(x)在点x,0不可导(见1中的例2)( 由上面的讨论可知，函数f(x)在点x连续是函数f(x)在点x可导的必要条件，但非充分条件(即函数f(x)在点x处可导必连续，连续不一定是可导，不连续一定不可导( 7(若函数f(x)与g(x)在点都不可导，它们的和H(x),f(x)+g(x)与积 x0G(x),f(x)?g(x)在点是否也不可导, x0不一定(例如，函数f(x),|x|与g(x),|x|( 2在x,0都不可导，但是，它们的和与积H(x),f(x)+g(x),0与，在x,0却都可导(Gx,fxgx,x8(求哪些函数个别点的导数或左、右导数应用导数的定义, (

33、1)函数在个别点的函数值单独定义的，其余点的函数值用统一解析式定义的(函数在个别点连续)(例如，函数 1,xcos当x,0,1,0,， 在点x,0的导数要应用导数的定义( fx,x,0当x0.,(2)求分段函数在分段点的导数(例如，函数 xx,0,1，,2,xex0, fxgxx1xx0,1,，,0x,0;，1xx0,.,，,求函数f(x)在点x,0的左、右导数，函数g(x)在点x,0与x,1的左、右导数要应用导数的定义(9(导数有哪些基本公式和运算法则? 在导数的定义中，我们不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利用定义求函数的方法(但是，如果对每一个函数，都直接按定义去求它的导数，往往是极为复

34、杂和困难的，甚至是不可能的(因此，我们希望找到一些简单函数的导数(作为我们的基本公式)与运算法则，借助它们来简化导数的计算过程( , ，公式(1)C,0,C为常数.证明:设y,f(x),C， yy,fx，x,fx,C,C,0,0,，xy,？fx,C,lim,lim0,0.，x,0x,0xnn,1公式(2) x,nx,n为正整数.，n证明:设y,fx,x,，nn y,fx，x,fx,x，x,x，nn,12nn,1n,2，,nxx，xx，？，x,2,1，ynn,1n,1n,1n,2，,nx，xx，？，x,x2,1,ynn,1,，？fx,x,lim,nx.x,0x注:以后可以证明，当n取任意实数时，

35、这个公式仍然成立( ,9，x.例1 求 ,99,18，x,9x,9x.规范解法 ,，(3)sinx,cosx.公式 ,x,x,y,sinx，,x,sinx,2cosx，sin,，,22,x证明:设y,sinx, sin,y,x,2,cosx，,x,x2,2,xsin,y,x,2, ，？y,sinx,lim,limcosx，,lim,cosx.,x,0,x,0,x,0,x,x2,2,( ，公式(4)cosx,sinx.1, ，公式(5)logx,a,0,a,1.axlna证明:设 y,logx,ax,ylogxxlogxlog1,，,，,aax,1xxxyx1x,log1log1,，,， ,aa

36、xxxx,xxy1x11,，？y,logx,lim,limlog1，,loge,aaa,x0x0xxxxxlna,1xx(a),alna,(a,0)(lnx),特别，当a,e时，有 公式(6) 公式(7) x,x,ya1xx，xxxxxy,a.y,a,a,a(a,1),a,证明:设 ,xx,xa,1,t令，则 x,log(1，t),ax,a,t111又当?t?0时，有t?0，于是 lim,lim,lim,lna.1xxt,000,xlog(，t)loge1aatlog(，t)1ayxx？y,(a),lim,alna ,x0x特别，当a,e时，有 ,xx，公式(8)e,e. ,x，3.例2 求

37、,xx，3,3ln3.规范解法 法则(1) 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)(即 ,，u，v,u,v. ，证明:设y,ux,vx,ux、vx均可导. 当x有增量x时，有相应的增量u,v,y,y,ux，x,vx，x,ux,vx,u，v.，,yuv ,，.xxxyuv,，？u,v,lim,lim,lim,u,vx,0x,0x,0xxx用同样的方法可将此结果推广到有限个函数代数和的导数情形( 例3 求下面函数的导数 43x(1)y,x,x，sinx，e. 73(2)y,x，x,x，10.思路启迪 这两个函数都是由几个初等函数的代数和构成，求它们的导数只要利用和与差的求导法

38、则及前面的导数公式即可得出正确的答案( ,43x32x,规范解法 ，(1)y,x,x，sinx，e,4x,3x，cosx，e.,7362, ，(2)y,x，x,x，10,7x，3x,1.法则(2)两个函数乘积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函乘以第二个函数的,导数(即 ，uv,u,，uv.,v证明:设y,uv，u(x)、(x)均可导，当x取增量?x(?x?0)时，有相应的增量?u、?v、?y，于是在x处 ,y,ux，,xvx，,x,uxvx，,ux，,xvx，,x,uxvx，,x，uxvx，,x,uxvx，,uvx，,x，ux,v,，,y,u,v，,vx，,x，ux.,

39、x,x,x由于vx在点x可导，从而连续，于是当x,0时，vx，x,vx,于是，y,uvlim,，x,0x uv，,lim,limvx，x，uxlimx,0x,0x,0xx,uv，uv.特别v,CC是常数时，,，Cu,Cu，Cu,0，Cu,Cu.,，也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数乘以函数的导数.即Cu,Cu. 对于有限个函数的乘积的导数可类推(例如三个可导的函数u(x)，和，的乘积的导数是:vxwx, ，uvw,uvw，uvw，uvw3,例4 求函数 y,xcosx的导数y.33xx思路启迪 该函数是由两个基本初等函数与cosx的积所构成，而与cosx的导数(公式)我们知道，两3x个函

40、数的积的求导法法则我们学过，因此只要能正确运用两个函数的积的求导法则与和cosx的求导公式，该题将迎刃而解( 规范解法 由两个函数和积的求导法则得 ,333,y,xcosx,xcosx，xcosx， 23,3xcosx,xsinx.3例5 设, y,xsinxlnx,求y.思路启迪 本例与上例基本相同，所不同的是本函数是由三个函数的积所构成，因此只要正确运用积的求导法则及公式即可( ,3,y,xsinxlnx，,333,，xsinxlnx，xsinxlnx，xsinxlnx， 232,3xsinxlnx，xcosxlnx，xsinx2，,x3sinxlnx，xcosxlnx，sinx.3p、q

41、满足何条件时，三次抛物线y,x，px，q与Ox轴相切.例6 当 思路启迪 要使抛物线 3,y,x，px，q在某点与Ox轴相切，须使该点满足:y,y,0. 32,规范解法 由方程y,x，px，q,求得y,3x，p.2,3x，p,0,(1), 要使此曲线与Ox轴相切，必须满足,3,x，px，q,0.(2),2由(2)式得xx，p,q,两端平方，则，2222xx，p,q(3)， 2pp,2将(1)式代入(3)式得:,，p,q.,33,32pq,即，,0,即为所求的条件. ,32,法则(3)两个可导函数之商的导数仍是一个商，这个商的分子等于原来的商的分子的导数乘以分母，再减去分子乘以分母的导数;它的分

42、母是原来的商的分母的平方(即: ,uuv,uv,，,v,0. ,2vv,u，x证明:设y,vx，,0,ux,vx在x可导。，vx，ux，x,ux,u,vx，x,vx,v.，ux，xuxux，uuxu,vx,uxvy,. ，uxxvxvxvvx,uxvvx，因为ux,vx在点x可导，从而连续，于是:uv，lim,vx,uxlim,，,yuxvxuxvxx0x0,xx,y,lim,.2x0,，,xvxlimvv(x)，,vxx0,例7 设 y,tanx,求y.思路启迪 注意到正切函数tanx是由正弦函数sinx与余弦函数cosx的商所构成，商的求导法则我们学过，而正弦函数与余弦函数的导数(公式)我

43、们知道，因此若能正确地运用求导法则及求导公式，该函数的导数也就解决了( sinx规范解法 tanx,cosx,sinx,，？y,tanx,cosx,，sinxcosx,sinxcosx ,2，cosx22，1cosxsinx2,secx.22cosxcosx,22从而得 类似可得 ，公式(9)tanx,secx.公式(10)cotx,cscx.,例8 设 y,secx,求y.1,思路启迪 利用三角函数的关系，将secx写成，再利用商的求导法则及cosx的导数公式即可求出，secx.cosx1由于secx,由法则3得规范解法 cosx,cosx,cosx，111,y,2cosxcosx，, sinx,secxtanx.2，cosx,由上例得 类似地可得 ，公式(11)secx,secxtanx.公式(12)cscx,cscxcotx.,例9 设 y,sin2x,求y.规范解法 y,sin2x,2sinxcosx(由法则2得 ,y,，sin2x,2sinxcosx