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1、资料2012年高考数学文科一轮温习 精品教材 17.3 数学回结法 新人教a版第3讲 数学归纳法 ?知识梳理? 1.运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基(或递推基础),第二步是归纳递推(或归纳假设),两步缺一不可 式、数列通2.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等项公式、整除性问题、几何问题等 ?重难点突破? 重点:领会两个步骤的作用，运用数学归纳法证明一些简单的数学命题 难点:对不同类型的数学命题，完成从k到k+1的递推 重难点:了解数学归纳法的原理、正确运用数学归纳法 1.没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法 11111，,问题1用数学归纳法证明
2、:？ 2n244433,41错证:(1)当n=1时，左=右=1，等式成立 4(2)假设当n=k时等式成立， 111k，1,()1111144那么当n=k+1时，, ？212k，144433,41,4综合(1)(2)，等式对所有正整数都成立 点拨:错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中，没有运用归纳假设 2.归纳起点未必是1 n02n,3n问题2:用数学归纳法证明:凸n边形的对角线条数为 2点拔:本题的归纳起点n,3 03.“归纳猜想证明”是一种重要的思维模式 13ana,a,aa问题3:在数列中，求数列的通项公式 1n，1nn2a，3n点拨:本题有多种求法，“
3、归纳猜想证明”是其中之一 133333a,a,a,a,a,解析:猜想 1232nn，58926731a,下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时，猜想成立 1152，33,3a3kk，5(2)假设当n=k时猜想成立，则 a,k，13a，3(k，1)，5k，3k，5当n=k+1时猜想也成立 ,综合(1)(2)，对猜想都成立 n,N?热点考点题型探析? 考点1 数学归纳法 题型:对数学归纳法的两个步骤的认识 k,2例1 已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k(且为偶数)时命题为真，则还需证明( ) A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立 C. n=2k+2时命题成立 D.
4、n=2(k+2)时命题成立 解析 因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选B【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面:(1)n的范围以及递推的起点(2)(3)从和的差观察首末两项的次数(或其它)，确定n=k时命题的形式f(k)f(k，1)f(k)异，寻找由k到k+1递推中，左边要加(乘)上的式子 【新题导练】 n，21,a2n,1，a，a，？，a,(a,1,n,N)1. (2011惠州调研二理)用数学归纳法证明，在1,a验证n=1时，左边计算所得的式子是( ) 2241，a1，a，a1，a，a，aA. 1 B. C. D. 1，a解析 n=1时，左边
5、的最高次数为1，即最后一项为，左边是，故选B a11113，？，,2.用数学归纳法证明不等式的过程中，由k推导到k+1时，n，1n，2n，n24不等式左边增加的式子是 解析求即可 f(k，1),f(k)111,，？，当 n=k时，左边， k，1k，2k，k111,，？，n=k+1时，左边, k，2k，3(k，1)，(k，1)1111，,故左边增加的式子是，即 2k，12k，2k，1(2k，1)(2k，2)考点2 数学归纳法的应用 题型1:用数学归纳法证明数学命题(恒等式、不等式、整除性问题等) 12例2 用数学归纳法证明不等式 1,2，2,3，？，n(n，1),(n，1)2解析(1)当n=1时
6、，左=，右=2，不等式成立 212(2)假设当n=k时等式成立，即 1,2，2,3，？，k(k，1),(k，1)212则1,2，2,3，？，k(k，1)，(k，1)(k，2),(k，1)，(k，1)(k，2)221(k，2)(k，1)，(k，2)2 ？(k，1)，(k，1)(k，2),(k，1)(k，2),022212？1,2，2,3，？，k(k，1)，(k，1)(k，2),(k，1)，1 2当n=k+1时， 不等式也成立 ？综合(1)(2)，等式对所有正整数都成立 【名师指引】(1)数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行; (2)归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形;(3)
7、由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如:比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面 【新题导练】 111111111,，,，？，,，？，3. 用数学归纳法证明等式:2342n,12nn，1n，22n 111,解析 (1)当n=1时，左=右，等式成立 22111111111,，,，？，,，？，(2)假设当n=k时等式成立，即2342k,12kk，1k，22k则1111111111111,，,，？，,，(,),，？，(,)2342k,12k2k，12k，2k，1k，22k2k，12k，21111 ,，？，k，22k2k，12k，2当n=k+1时，等式也成立 ？综合(1)(2)，
8、等式对所有正整数都成立 25a,na,a,a4.数列a,2(n,N)中，用数学归纳法证明:(n,N)nnn，1122(a,1)n 5解析(1) 当n=1时, ,不等式成立 a,212,(2)假设当n=k时等式成立，即， a,2(k,N)k22aa(,2)kk则， a？a,2,0,2,2k，1k，1aa2(,1)2(,1)kk当n=k+1时， 不等式也成立 ？综合(1)(2)，不等式对所有正整数都成立 题型2 用“归纳猜想证明”解决数学问题 n(n，1)2222例3 是否存在常数a、b、c，使等式1,2，2,3，？，n(n，1),(an，bn，c)12对一切正整数n都成立,证明你的结论 （4）二
9、次函数的图象：是以直线为对称轴，顶点坐标为（，）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）【解题思路】从特殊入手，探求a、b、c的值，考虑到有3个未知数，先取n=1,2,3,列方程,组求得，然后用数学归纳法对一切，等式都成立 n,Na，b，c,24,a,3,4a，2b，c,44 解析 把n=1,2,3代入得方程组，解得， ,b,11,9a，3b，c,70c,10,圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.n(n，1)2222,1,2，2,3，？，n(n，1),(3n，11n，10)n,N猜想:等式对一切都成立12(1) 弧长公式: 弧长 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)下面用数学归纳法证明
10、:(1)当n=1时，由上面的探求可知等式成立 弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。k(k，1)22221,2，2,3，？，k(k，1),(3k，11k，10)(2)假设n=k时等式成立，即则12115.75.13加与减（二）2 P61-63 数学好玩2 P64-67k(k，1)2222221,2，2,3，？，k(k，1)，(k，1)(k，2),(3k，11k，10)，(k，1)(k，2)12k(k，1)(k，1)(k，2)2,(3k，5)(k，2)，(k，1)(k，2),k(3k，5)，12(k，2)1212(k，1)(k，2)2,3(k，1)，11(k
11、，1)，10 12所以当n=k+1时，等式也成立 ,n,N综合(1)(2)，对等式都成立 【名师指引】这是一个探索性命题，“归纳猜想证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式 8、加强作业指导、抓质量。【新题导练】 1，ana,tanx,a,a5. 在数列中， n1，1n1,an九年级数学下册知识点归纳(1)写出;(2)求数列的通项公式 aaa,a,3n12,解析 ，猜想a,tan(，x)a,tan(，x)a,tan(n,1)，xa,tanx,22n1424 下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时，由上面的探求可知猜想成立 ,(2)假设n=k时猜想成立，即 a,tan(k,1)，xk4=0 抛物线与x轴有1个交点；,1tan(k1)x，,，1a，,k4则a tank,，x,k，1,41a,k1tan(k1)x,，4圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。所以当n=k+1时，猜想也成立 5、多一份关心、帮助，努力发现他们的闪光点，多鼓励、表扬他们，使其体验成功、努力学习。,综合(1)(2)，对猜想都成立 n,N