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1、高一数学高中数学必修1知识点总结：第一章 集合与函数概念高中数学必修1知识点总结 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法 表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集. ,ZRNQNN，(3)集合与元素间的关系 对象与集合的关系是，或者，两者必居其一. MaaM,aM,(4)集合的表示法 ?自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ?列举法:把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ?描述法:|具有的性质，其中为集合的代表元素. xxx?图示法:用数轴或韦恩图来表
2、示集合. (5)集合的分类 ?含有有限个元素的集合叫做有限集.?含有无限个元素的集合叫做无限集.?不含有任何元素的集合叫做空集(). ,【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 A (1)A, A,B(或A中的任一元素都属(2) ,AA(B)子集 BA于B (3)若且，则 A,BBC,AC, B,A)或 (4)若且，则AB, A,BBA,AB (1)(A为非空子集) ,A,，且B中至少A,B真子集 BA有一元素不属于A (或BA) (2)若且，则 ,AB,BC,AC, A中的任一元素都属B (1)A,集合 A(B)于B，B中的任一元素AB,
3、(2)BA ,相等 都属于A nnnn221,21,(7)已知集合A22,有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空nn(1),真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图 (1)AAA,且|,xxA,(2) ABA,交集 AB (3) ABA, xB, ABB, (1)AAA,或|,xxA,(2) ABAA,并集 BA (3) ABA, xB, ABB, 2 1AAU(),AA(),UU|,xxUxA,且痧()()()ABAB, UUU A补集 U痧ABAB, ()()() UUU 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不
4、等式的解法 (1)含绝对值的不等式的解法 不等式 解集 |(0)xaa,|xaxa,或 |(0)xaa,xxa|,xa,看成一个整体，化成，把axb，|xa,|,|(0)axbcaxbcc，,，,型不等式来求解 |(0)xaa,(2)一元二次不等式的解法 判别式 ,0,0,02 ,bac4二次函数2yaxbxca,，,(0)O的图象 2一元二次方程,bbac4x,1,2b22axx, 无实根 axbxca，,0(0)122a(其中 xx,)的根 122baxbxca，,0(0)或xx, |xxx, |xx,R 212a的解集 2axbxca，,0(0) |xxxx, ,12的解集 1.2函数及
5、其表示 【1.2.1】函数的概念 (1)函数的概念 ABAB?设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数x，在集合中都有唯一确定f的数和它对应，那么这样的对应(包括集合，以及到的对应法则)叫做集合到的一个函数，ABABABfx()f( 记作fAB:,?函数的三要素:定义域、值域和对应法则( ?只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数( (2)区间的概念及表示法 ?设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做;满足的实数xxab,abab,axb,axb,的集合叫做开区间，记做;满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，x(,)ab,)abaxb,
6、axb,;满足的实数的集合分别记做( x(,abxaxaxbxb,),(,),(,(,)aabb，,，,注意:对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须 a(,)ab|xaxb,b( ab,(3)求函数的定义域时，一般遵循以下原则: ?是整式时，定义域是全体实数( fx()?是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数( fx()?是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合( fx()?对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1( ,?中，( yx,tanxkkZ,，,(),2?零(负)指数幂的底数不能为零( ?若是由有限个基本初等函数的四则
7、运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集( fx()?对于求复合函数定义域问题，一般步骤是:若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等fx(),abfgx()式解出( agxb,()?对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论( ?由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义( (4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的(事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值(因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同(求函数值域与最值的
8、常用方法: ?观察法:对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值( ?配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值( 2?判别式法:若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在xayxbyxcy()()()0，,yfx,()y2时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值( ,byaycy()4()()0ay()0,xy,?不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值( ?换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题( ?反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与
9、值域的互逆关系确定函数的值域或最值( ?数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值( ?函数的单调性法( 【1.2.2】函数的表示法 (5)函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种( 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系(列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系(图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系( (6)映射的概念 ?设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它ABABf对应，那么这样的对应(包括集合，以及到的对应法则)叫做集合到的映射，记作( ABABABffAB:,?给定一个
10、集合到集合的映射，且(如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，ABaaaAbB,bb元素叫做元素的原象( ab1.3函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值 (1)函数的单调性 ?定义及判定方法 函数的 定义 图象 判定方法 性 质 如果对于属于定义域I内某(1)利用定义 个区间上的任意两个自变量(2)利用已知函数的yy=f(X)的值x、x,当x x时，都1212f(x )(2单调性 (有f(x)f(x)，那么就说12(3)利用函数图象(在(f(x )1f(x)在这个区间上是增函数( 某个区间图 (o 象上升为增) xxx12 (4)利用复合函数 函数的 单调性 (1)利用定
11、义 如果对于属于定义域I内某(2)利用已知函数的yy=f(X)个区间上的任意两个自变量单调性 f(x )1的值x、x，当xf(x)，那么就说12(某个区间图 (f(x)在这个区间上是减函数( ox象下降为减) (xx12 (4)利用复合函数 ?在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数( ?对于复合函数，令，若为增，为增，则为增;若yfgx,()ugx,()yfu,()ugx,()yfgx,()为减，为减，则为增;若为增，为减，则为yfu,()ugx,()yfgx,()yfu,()ugx,()yfgx,()减;若为
12、减，为增，则为减( yfu,()ugx,()yfgx,()y a(2)打“?”函数的图象与性质 fxxa()(0),，,x分别在、上为增函数，分别在、上为减函数( fx()(,a,)a，,0),a(0,a(3)最大(小)值定义 x o ?一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足:(1)对于任意的，都有IMyfx,()xI,; fxM(),(2)存在，使得(那么，我们称是函数 的MxI,fxM(),fx()最大值，记00作( fxM(),max?一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足:(1)对于任意的，都有;(2)Imyfx,()xI,fxm(),存在，使得(那么，我们称是函数的最小值，记
13、作( xI,mfxm(),fx()fxm(),00max【1.3.2】奇偶性 (4)函数的奇偶性 ?定义及判定方法 函数的 定义 图象 判定方法 性 质 如果对于函数f(x)定义域内(1)利用定义(要先任意一个x，都有f(,x)=,判断定义域是否关于(f(x),那么函数f(x)叫做奇函原点对称) (数( (2)利用图象(图象(关于原点对称) 函数的 奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内(1)利用定义(要先任意一个x，都有f(,x)=f(x),判断定义域是否关于(那么函数f(x)叫做偶函数( 原点对称) (2)利用图象(图象关于y轴对称) 八、教学进度表?若函数为奇函数，且在处有定义，则( fx
14、()x,0f(0)0,?奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反( yy?在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或sin商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数( 1.正切：补充知识函数的图象 |a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。(1)作图 利用描点法作图: (6）三角形的内切圆、内心.?确定函数的定义域; ?化解函数解析式; （7）二次函数的性质：?讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ?画出函数的图象( 利用基本函数图象的变换作图:
15、 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象( ?平移变换hh,0,左移个单位kk,0,上移个单位 yfxyfxh,，()()yfxyfxk,，()()hh,0,|右移|个单位kk,0,|下移|个单位?伸缩变换 01,伸 yfxyfx,()(),1,缩,01,A缩 yfxyAfx,()()A,1,伸?对称变换 y轴x轴 yfxyfx,()()yfxyfx,()()直线yx,原点,1 yfxyfx,()()yfxyfx,()()扇形的面积S扇形=LR2去掉轴左边图象y yfxyfx,()(|)保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象yy84.164.22有趣的图形1 整理复习2保留轴上方图象x yfxyfx,()|()|将轴下方图象翻折上去x设O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；dr 直线L和O相交.(2)识图 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系( (1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(3)用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具(要重视数形结合解题的思想方法(