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1、高三数学2012届高考考前60天冲刺-空间向量和立体几何理数2012届高考数学(理)考前60天冲刺【六大解答题】 空间向量与立体几何专练 1(如图，棱柱ABCDABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，1111，侧棱，棱AA与1底面所成的角为，点F为DC的中点. 1(I)证明:OF/平面; (II)求三棱锥的体积. PD,PABCD,ABCD2(如图，在四棱锥中，平面，四边形EPBABCDAC,6BD,63是菱形，是上任意一点( ACDE,(1) 求证:; PAB,AECEC,(2) 当面积的最小值是9时，证明平面( PEDC AB3(如图，在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形， PD?
2、平面ABCD，E、F分别是PB、AD的中点，PD=2( (1)求证:BC?PC; (2)求证:EF/平面PDC; (3)求三棱锥BAEF的体积。 4(如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。 (?)求该几何体的体积; (?)求证:EM?平面ABC; D E M ? 4 2 2 C 2 A B 左视图 俯视图 0BMAC,，,BAC305(如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，交 AC 于点 M，EA,FCEAABC平面，AC,4，EA,3，FC,1( (I)证明:EM?
3、BF; (II)求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值( 中，平面6(如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD,PD,ADBCABC?，,90?P，AD,1，( ABCDAB,3BC,4?求证:; PCBD,EEPAB(2)设点在棱上，若?平面，求的值. DEPC,PEPC,AD ABEC,2, BCABOAEBE,2,为的中点. ,EOABCD(?)求证:平面; DAEC(?)求点到面的距离( 9(在三棱锥P,ABC中，?PAC和?PBC都是边长为2的等边三角形，AB,2，O，D分别是AB，PB的中点( (1)求证:?平面; ODPAC(2)求证:PO?平面ABC; (3)求三棱
4、锥P,ABC的体积( ABCABC,ABACAA,2ABC,AACC11如图所示,三棱柱中,平面平面, 1111111B ACAC，,，,AACBAC60O又,与相交于点. 11111B1 BO,AACC(?)求证:平面; 11C O CABAACC(?)求与平面所成角的正弦值; A 1111 A1 FACDE,ABCBC12.如图所示，直角梯形与等腰直角所在平面互相垂直，为的中 AE，,，,:BACACD90CDDCACAE,22点，?，.BCDABC(?)求证:平面平面; ,AFBDE(?)求证:?平面; BCDE,(?)求四面体的体积. 13(如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观
5、图、左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。 (?)求该几何体的体积; (?)求证:EM?平面ABC; D E M ? 4 2 2 C 2 A B 左视图 俯视图 15(如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，PA?面ABCD，PA=2,过点A作AE?PB,AF?PC,连接EF( (1)求证:PC?面AEF; (2)若面AEF交侧棱PD于点G(图中未标出点G),求多面体PAEFG的体积。 DPABC,ABCACBC,PC16.如图，在三棱锥中，平面，为侧棱上一点，它的PA,正(主)视图和侧(左)视图如图所示(
6、 AD,PBC(1)证明:平面; DABC,(2)求三棱锥的体积; ABDPQ，ACBQPQ?(3)在的平分线上确定一点，使得平面，并求此时的长( P222D4222CA44侧(左)视图正(主)视图B 18. P222D4222CA44侧(左)视图正(主)视图B ,PADP,ABCDABCD17.已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，PADE,F,GPD,PC,BCABCD平面?平面，分别是的中点( PADEFG(I)求平面平面; ,MCDM,EFG(II)若是线段上一点，求三棱锥的体积( ABCD18.如图，在梯形中， F,ABCD/AD,DC,CB,2，CAB,30， MAC
7、FEACFE,ABCD四边形为矩形，平面平面， CF,3( EBC,ACFE(?)求证:平面; H MEF(?)设点为中点， B,AM,C求二面角的余弦值( C D0 ，,DEF9019.如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE/DF，( F (?)求证:BE/平面ADF; BA(第20题) 323(?)若矩形ABCD的一个边AB =，EF =，则另一边BC的长为 E 3何值时，三棱锥F-BDE的体积为, C D A B P 21. 已知正四棱锥P,ABCD中，底面是边长为2 的正方形，M 2高为(M为线段PC的中点( N (?) 求证:PA?平面MDB; C D (?) N为AP的中点，求
8、CN与平面MBD所成角的正切A B 值( (第20题) ABCD，DAB,120:ABCD,ABCD22(如图，已知直四棱柱，底面为菱形， 1111DC11EFBDCC为线段的中点，为线段的中点( 11A1BEFABCD(?)求证:?平面; 1DD1EDF,DEB(?)当的比值为多少时，平面， 1FAD并说明理由( DC AB EFDEBDBDEBEFDBF,面面,DFDEB,平面,( ？1111123.如图，棱柱ABC,ABC的侧面BCCB是菱形，BC?AB. 1111111(1)证明:平面ABC?平面ABC; 111(2)设D是AC上的点，且AB?平面BCD，求AD?DC的值( 11111
9、1PD,PABCD,ABCDABCDAC,624.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，EPBBD,63，是上任意一点。 ACDE,(1)求证:; ,AECBCGEG(2)当面积的最小值是9时，在线段上是否存在点，使与平面所PABBG成角的正切值为2,若存在,求出的值，若不存在，请说明理由 25.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，PD,PABCD,ABCDABCDAC,6，E是PB上任意一点。 BD,63(1)求证:; ACDE,(2)当面积的最小值是9时，在线段上是否存在点，使与平面PAB所,AECBCGEG成角的正切值为2,若存在,求出的值，若不存在，请说明理由 BG26. 如图:在矩
10、形ABCD中，AB,5，BC,3，沿对角线BD把?ABD折起，使A移到A点，过1点A作AO?平面BCD，垂足O恰好落在CD上. 11(1)求证:BC?AD; 1(2)求直线与平面所成角的正弦值. ABBCD1ACDACDACD27(如图的几何体中，平面，平面，?为等边三角形， AB,DE,CD，为的中点( ADDEAB,22FAF/BCE(1)求证:平面; B E BCE,CDE(2)求证:平面平面. A C D F 28一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示( (1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积; (2)证明:AC?平面ABC; 111(3)若D是棱CC的中点，在棱AB上取中点E，
11、判断DE是否平行于平面ABC，并证明111你的结论( 29.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示( (1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积; (2)证明:AC?平面ABC; 111(3)若D是棱CC的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面ABC，并证明111你的结论( AF,1ACEFCEABCDAB,230.如图，已知矩形的边与正方形所在平面垂直，MEF是线段的中点。 ABCM(1)求异面直线与直线所成的角的大小; EFABCD(2)求多面体的表面积。 如图，四棱锥P-ABCD中，PA?底面ABCD，AB?AD，点E在线段AD上，且CE?AB。 31.(1)求证:CE?平面
12、PAD; 2(2)若PA=AB=1，AD=3，CD=，?CDA=45?，求四棱锥P-ABCD的体积 32.如下图(图1)等腰梯形PBCD，A为PD上一点，且AB?PD，AB=BC，,60AD=2BC，沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为的二面角，连结PC、PD，在AD上取一点E使得3AE=ED，连结PE得到如下图(图2)的一个几何体( , (1)求证:平面PAB平面PCD; (2)求PE与平面PBC所成角的正弦值( PAPDADE图2 CBBC E，BAC,BCABC,ABCAC,AB,AA33.如图，在直三棱柱中，90?,是的1111中点. AEAC(?)求异面直线与所成的角; 1GCCEG
13、,ACA,AG,E(?)若为上一点，且，求二面角的大111小. 解法一: AEAC (?)?异面直线与所成的角为1,. 6分 3A,AG,E,arctan5, (?) ?所求二面角为. 1PD,PABCD,ABCDABCDAC,634.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，EPBBD,63，是上任意一点。 ACDE,(1)求证:; ,AECBCGEG(2)当面积的最小值是9时，在线段上是否存在点，使与平面所PABBG成角的正切值为2,若存在,求出的值，若不存在，请说明理由 P 35.如图，PA?平面ABCD，ABCD是矩 AD,3形，PA=AB=1，,点F是PB的中点，点E在边BC 上移动。
14、?求三棱锥E-PAD的体积; ?当E点为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的 位置关系，并说明理由; F ?证明:无论点E在边BC的何处，都有PE?AF。 A D B C E 36(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P - ABCD中，平面PAD上平面ABCD，AB?DC，?PAD是等边三角形，45已知BD =2AD =8，AB =2DC =。 , (I)设M是PC上的一点，证明:平面MBD平面PAD; (?)求三棱锥CPAB的体积 答 案 1(如图，棱柱ABCDABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，1111侧棱，棱AA与底面所成的角为，点F为DC的中点. 11(I)证明:OF/平面; (
15、II)求三棱锥的体积. ACBDO,解:(I)四边形ABCD为菱形且， ？BD？O 是的中点 . .2分 ,DBCDC 又点F为的中点, 在中，？11OF/BC, .4分 1？OF,BC,BCCB 平面，平面111OF/BCCB , 平面BCCB.6分 ？1111(II)四边形ABCD为菱形, ？BD,？BD,ACAA , 又， 1AAACA,AAAC,ACCA且平面 , 1111？BD,ACCA 平面, 11？BD,ABCD 平面 , ABCD,ACCA 平面平面. .8？11分 ACAMACM,于AMABCD,平面A在平面内过作，则， 1111AA？，AAM是与底面所成的角，11，,AAM
16、60. .10分 1RtAAM,中,AMAA,sin6023在， 1111BCDCBCD,23故三棱锥 底面上的高为，又， SBCCD,sin6031,BCD211CBCD,所以，三棱锥的体积 . VSh,3232.1,BCD33PD,PABCD,ABCDABCDAC,62(如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，EPBBD,63，是上任意一点( ACDE,(1) 求证:; PPAB,AECEC,(2) 当面积的最小值是9时，证明平面( E D CBDBDFAC.解:(1)证明:连接，设与相交于点。 因ABCD为四边形是菱形， ABPD,ACBD,ABCDAC,所以。 又因为平面，平PDB面 E
17、PBDE,PBDACDE,为上任意一点，平面，所以- - 7分 EDPDBEF,PBDAC,ACEF,(2)连(由(I)，知平面，平面，所以( 1EFEFPB,ACE在面积最小时，最小，则( SACEF,ACE21EF,3，解得-10分 SEF,，,9,69,ACE2PBEF,PB,AEC,PBAC,PBEC,由且得平面则， PABPBAEE,EFAFFC,3ECAE,EC,又由 得，而，故平面-3(如图，在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形， PD?平面ABCD，E、F分别是PB、AD的中点，PD=2( (1)求证:BC?PC; (2)求证:EF/平面PDC; (3)求三棱锥BAEF
18、的体积。 解证:(?)?四边形ABCD是正方形 , ?BCDC ,又PD面ABCD, BC面ABCD ,?BCPD, 又PDDC=D ,面PDC 从而BCPC-,分 ?BC1(?)取PC的中点G，连结EG，GD，则 EG/BC，所以GE/DF.2?四边形EFGD是平行四边形。 ?EF/GD, EF,平面PDC，DG,平面PDC又 ?EF/平面PDC(-,分 (?)取BD中点O，连接EO，则,O/PD， EO,1 ?PD?平面ABCD， ?EO?底面ABCD， 1111221 -12分 V,V,S,OE,B,AEFE,ABF ABF33434(如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视
19、图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。 (?)求该几何体的体积; (?)求证:EM?平面ABC; , (?)?EA平面ABC,?EAAB,又ABAC, ?AB平面ACDE 6分 1?M为BD的中点， ?MG?CD且MG, CD,于是MG?AE,且MG,AE, 2所以四边形AGME为平行四边形,?EM?AG, ?EM?平面ABC 0BMAC,，,BAC30O 的直径，点 B 在圆 O 上，交 AC 于点 M，5(如图，AC 是圆 EA,FCEAABC平面，AC,4，EA,3，FC,1( (I)证明:EM?BF; (II)求平面 BEF
20、 与平面ABC 所成的二面角的余弦值( ？，,:EMF90，即(也可由勾股定理证得)( EMMF,MBF， 平面( MFBMM,？,EMMBF而平面， BF,( 6分 ？,EMBFFHACGBGCCHBG,(2)延长交于，连，过作，连结( EFFC,ABCBG,ABC由(1)知平面，平面， ？,FCBG( FCCHC,？,BGFCH而，平面( FCH平面， FH,？,FHBG， BEF？，FHCABC为平面与平面所成的 二面角的平面角( 8分 RtABC,，,:BAC30AC,4在中， ？,BMABsin303( FCGC1GC,2由，得( ,EAGA3GCBM,，23GCCH，则( CH,1
21、？,BGBMBG23？,FCH，,FHC45是等腰直角三角形，( 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为( ？BEFABC226(如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面PABCD,ADBCABC?，,90?PD,P，( AD,1AB,3ABCDBC,4?求证:; PCBD,EE(2)设点在棱上，若?平面PAB，求的值. DEPC,PEPC,AD 222BC(1)证明:由题意知 则 DC,23,BCDBDCBDDC=，？,，PDABCDBDPDPDCDD,？,面而， - 6分 ？,？,BDPDCPCPDCBDPC面在面内，.DDFABFEF(2) 过作/交于， 连结BC DFABDFPAB ?，?平
22、面. DEPABDEFPABEFAB又?平面，?平面?平面，?. 又?ADBCBF,1,4,1, PEBF111.?，即,- PEPC, 44PCBC47(图，棱柱ABCDABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，1111侧棱，棱AA与底面所成的角为，点F为DC的中点. 11(I)证明:OF/平面; (II)求三棱锥的体积. ACBDO,解:(I)四边形ABCD为菱形且， ？BD？O 是的中点 . .2分 ,DBC 又点F为DC的中点, 在中，？11OF/BC, .4分 1？OF,BC,BCCB 平面，平面111OF/BCCBBCCB. , 平面.6分 ？1111(II)四边形ABCD为菱形,
23、？BD,？BD,ACAA , 又， 1AAACA,AAAC,ACCA且平面 , 1111？BD,ACCA 平面, 11？BD,ABCD 平面 , ABCD,ACCA 平面平面. .8？11分 ACAMACM,于AMABCD,平面A在平面内过作，则， 1111AA？，AAM是与底面所成的角，11，,AAM60. .10分 1RtAAM,中,AMAA,sin6023在， 1111BCDCBCD,23故三棱锥 底面上的高为，又， SBCCD,sin6031,BCD2所以，三棱锥的体积 11CBCD,1VSh,3232.,BCD33oABEC,2,EABCD,，,ABC608.已知四棱锥的底面为菱形，
24、且， ABOAEBE,2,为的中点. ,EOABCD(?)求证:平面; DAEC(?)求点到面的距离( CO(I)证明:连接 QAEEBAB,2,2 ？VAEB 为等腰直角三角形 ABO为的中点 Q？,EOABEO,1 2分 oQABBCABC,，,60 又 ？VACB 是等边三角形 ？,CO3 ，4分 EC,2, 又222？,EOCO？,，ECEOCO ，即 ？,EOABCD平面 6分 DAECh(II)设点到面的距离为 7QAEACEC,2,2 8分 S,？VAEC2EACBEO,1S,3 ,到面的距离 QVADCQVV, DAECEADC,ShSEO, 10分 ？VVAECADC221
25、？,h7221DAEC 点到面的距离为 ？79(在三棱锥P,ABC中，?PAC和?PBC都是边长为2的等边三角形，AB,2，O，D分别是AB，PB的中点( (1)求证:OD?平面PAC; (2)求证:?平面; POABC(3)求三棱锥P,ABC的体积( PAOD,ABPB,OD(1)分别为的中点，? PA,PACOD,PAC又平面，平面 ODPAC?平面(4分 OC(2)如图，连结 ABAB,2OACCB,2，为中点，, ABOCOC,1 ?，( ABPOPO,1同理, ?，(6分 222，,POC90PCOCPO,，,2PC,2又,?,?( ABABOCO,POOCPOOCPO?(?,?，,
26、 ？POABC?平面(8分 OPABC(3)由(2)可知垂直平面 OPPABC,OP,1?为三棱锥的高，且 1111VSOP,，,( 211PABCABC,3323ABCABC,ABACAA,2ABC,AACC11如图所示,三棱柱中,平面平面, 1111111ACACO，,，,AACBAC60又,与相交于点. 11111AACCBO,(?)求证:平面; 11ABAACC(?)求与平面所成角的正弦值; 111ACAA,2，,AAC60【解】(?)由题知, 111,AACAC,2所以为正三角形,所以,1分 111，,BAC60又因为,且 AB,21,BAC所以为正三角形,2分 1AACCACOO又
27、平行四边形的对角线相交于点,所以为的中点, 111BOAC,所以3分 1ABC,AACCABCAACC,AC又平面平面,且平面平面,4分 1111111BACBO,且平面5分 1AACCBO,所以平面6分 11EFABABAO(?)解法一连结交于,取中点,连结, EFAF111 AACCEFBOBO, 则,又平面 11EF,AACC平面,7分 所以EFAF,11ABAACC 所以直线与平面所成角为.8分 ，EAF1113,BACBO,3而在等边中,所以, EF,AB,2123同理可知, AOAF,3,1127222,AAF在中,10分 AFAAAFAAAF,，,2cos3011111410EF
28、3022RtEFA,所以中,. AEEFAF,，,sin，,EAF2AE1030ABAACC所以与平面所成角的正弦值为.12分 11110BBCCBB,AACCBBAACC解法二由于,平面,所以平面,7分 11111111BAACCAACC 所以点到平面的距离即点到平面的距离, B11111AACCBAACCBO,BO 由平面,所以到平面的距离即,8分 11111BOABAACC 也所以与平面所成角的正弦值为,9分 sin,111AB1,BACBO,3而在等边中,所以, AB,2122AOOC,3BC,6BCBOOC,，,6同理可知,所以,10分 111OC,BACOCBC,又易证平面,所以,
29、 1122OCBC,ABBCAC,，,10也所以,11分 111111BO330所以, sinAB1010130ABAACC即与平面所成角的正弦值为. 11110FACDE,ABCBC12.如图所示，直角梯形与等腰直角所在平面互相垂直，为的中 AE，,，,:BACACD90CDDCACAE,22点，?，.BCDABC(?)求证:平面平面; ,AFBDE(?)求证:?平面; BCDE,(?)求四面体的体积. ,ABCACDEABCACDEAC,CDAC, 解:(?)?面面，面面，, ,DCABC?面， 2分 ,DCBCDBCDABC又?面，?平面平面. 4分 ,1BDPEPFPFPDC(?)取的
30、中点，连结、，则 , 21EAEAFPDC又?，?， 6分 2AFPEAFEP?四边形是平行四边形，?， EPBDEBDEAFBDEAF,又?面且面，?面. 8分 ,BA,BA,ACABCACDEACACDE，面面=， ?面. (?)?BABABCDE,?就是四面体的高，且=2. 10分 AEAEDCACDC?=2=2，?， 11? SS,，,，,(12)23,121,ACE梯形ACDE2214S,312,? ? V,，,22.,CDEECDE,3313(如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数
31、据如图所示。 (?)求该几何体的体积; (?)求证:EM?平面ABC; , (?)?EA平面ABC,?EAAB,又ABAC, ?AB平面ACDE 6分 1?M为BD的中点， ?MG?CD且MG, CD,于是MG?AE,且MG,AE, 2所以四边形AGME为平行四边形,?EM?AG, ?EM?平面ABC.19. (本小题满分12分) PABCD,ABCDABCDPA,如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，ABBAD,，,2,60PAC;BD,.(?)求证:平面 PAAB,ACPB (?)若求与所成角的余弦值; PBCPDCPA (?)当平面与平面垂直时，求的长. 证明:(?)因为四边形ABCD是菱
32、形，所以AC?BD. 又因为PA?平面ABCD.所以PA?BD. 所以BD?平面PAC. 3(?)设AC?BD=O.因为?BAD=60?，PA=PB=2, 所以BO=1，AO=CO=. 如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则 333P(0，2)，A(0，0)，B(1，0，0)，C(0，0). PB,(1,3,2),AC,(0,23,0).所以 PB,AC66,cos,422，23|PB|,|AC|,设PB与AC所成角为，则. BC,(,1,3,0).BP,(,1,3,t)3(?)由(?)知设P(0，,，t)(t0)，则 BC,m,0,BP,m,0m,(x,y,z)设平面PBC的法
33、向量,则 ,x，3y,0,66,x,3,z,.m,(3,3,),x,3y，tz,0y,3,tt所以令则所以 6n,(,3,3,)t同理，平面PDC的法向量 36,6，,02tt,66m,n因为平面PCB?平面PDC,所以=0，即解得所以PA= 125EF10EF= SE=(10分)aBDa,sin，,ESF244SE10 15(如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，PA?面ABCD，PA=2,过点A作AE?PB,AF?PC,连接EF( (1)求证:PC?面AEF; (2)若面AEF交侧棱PD于点G(图中未标出点G),求多面体PAEFG的体积。 解析:(1)证明:PA?面
34、ABCD,BC在面内，? PA?BC BA?BC,BC?BA=B,?BC?面PAB，？又?AE在面PAB内? BC?AEAE?PB,BC?PB=B, ,?AE?面PBC又?PC在面PBC内？AE?PC, AE?PC, AE?AF=A, ?PC?面AEF(5分 ？(2)PC?面AEF, ? AG?PC, AG?DC ?PC?DC=C AG?面PDC, ?GF在面PDC内？?AG?GF?AGF是直角三角形，由(1)可知?AEF是直角三角形，？3362,AE=AG=,EF=GF=?, 又SSAEFAGF333231232342623AF=,PF=?,? ,，,SVAEFGP,AEFG3333339D
35、PABC,ABCACBC,PC16.如图，在三棱锥中，平面，为侧棱上一点，它的PA,正(主)视图和侧(左)视图如图所示( AD,PBC(1)证明:平面; DABC,)求三棱锥的体积; (2ABDPQ，ACBQPQ?(3)在的平分线上确定一点，使得平面，并求此时的长( P222D4222CA44侧(左)视图正(主)视图B 18. P222D4222CA44侧(左)视图正(主)视图B ABCPABC,解:(1)因为平面，所以， PA,ACBC,BC,PACBCAD,又，所以平面，所以( D,PACPAAC,4PCADPC,由三视图可得，在中，为中点，所以， AD,PBC所以平面，4分 BC,4(2
36、)由三视图可得， ，,:ADC90BC,PAC由?知，平面， DABC,BADC,又三棱锥的体积即为三棱锥的体积， 11116所以，所求三棱锥的体积(8分 V,，,4443223OCOQCQCO,2Q(3)取的中点，连接并延长至，使得，点即为所求( ABPDCAOQB CQOPQOD?因为为中点，所以， ABDABDABDPQ,PQ?OD,因为平面，平面，所以平面， BQAQACBQ连接，四边形的对角线互相平分， ACBQAQ,4ABC所以为平行四边形，所以，又平面， PA,22PQAPAQ,，,42所以在直角中，(12分 ,PAD,PADP,ABCDABCD17.已知在四棱锥中，底面是边长为
37、4的正方形，是正三角形，PADE,F,GPD,PC,BCABCD平面?平面，分别是的中点( PADEFG(I)求平面平面; ,MCDM,EFG(II)若是线段上一点，求三棱锥的体积( ？AD,CD,PD,CD(I)证明:， CD,?平面PAD， (6分) EF,?EF/CD，?平面PAD， ?平面EFG，?平面EFG平面PAD; EF,(II)解:?CD/EF，?CD/平面EFG，故CD上的点M到平面EFG的距离 V,V等于D到平面EFG的距离，?， M,EFGD,EFG1，平面EFGH平面PAD于EH， S,，EF，EH,2,EFG23?D到平面EFG的距离即三角形EHD的高,等于 23,?
38、( VM,EFG3ABCD18.如图，在梯形中， ,ABCD/AD,DC,CB,2，CAB,30， ACFEACFE,ABCD四边形为矩形，平面平面， CF,3( BC,ACFE(?)求证:平面; MEF(?)设点为中点， B,AM,C求二面角的余弦值( ,AD,DC,CB,2,，ABC,60 (1)证明: 2222AB,4AC,12AB,AC，BC则，则得 ？BC,AC？ACEF,ABCD，面平面， ACEF:ABCD,AC平面 面？BC,ACEF平面( 7分 AMHBHCCH,AM(II)过作交于点，连, ，CHBB,AM,CRT,BHCCH,3,HB,13 则为二面角的平面角，在中，31
39、3313B,AM,Ccos，CHB,，则二面角的余弦值为( 13130，,DEF9019.如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE/DF，( (?)求证:BE/平面ADF; 323(?)若矩形ABCD的一个边AB =，EF =，则另一边BC的长为3何值时，三棱锥F-BDE的体积为, 解(?)过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM( 因为CE/DF，所以四边形CEMD是平行四边形(可得EM = CD且EM /CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有BE/AM，而直线BE在平面ADF外，所以BE/平面ADF( 6分 0233，,MFE30(?)由EF =，EM = AB =，得FM =
40、 3且( 0，,DEF90由可得FD = 4，从而得DE = 2(8分 BCCD,BCFD,BC,因为，所以平面CDFE( 1所以，( 10分 VVSBC,，FBDEBDEFDEF,313V,3因为，所以( SDEEF,，,BC,23FBDE,DEF2233综上，当时，三棱锥F-BDE的体积为( BC,20，,DEF9020.如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE/DF，( (?)求证:BE/平面ADF; 323(?)若矩形ABCD的一个边AB =，EF =，则另一边BC的长为3何值时，三棱锥F-BDE的体积为, 解(?)过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM( 因为CE/DF，所以四
41、边形CEMD是平行四边形(可得EM = CD且EM /CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有BE/AM，而直线BE在平面ADF外，所以BE/平面ADF( 6分 0，,MFE30233?)由EF =，EM = AB =，得FM = 3且( ( 0，,DEF90可得FD = 4，从而得DE = 2(8分 由BCCD,BCFD,BC,因为，所以平面CDFE( 1所以，( 10分 VVSBC,，FBDEBDEFDEF,313V,3因为，所以( SDEEF,，,BC,23FBDE,DEF2233综上，当时，三棱锥F-BDE的体积为( BC,221. 已知正四棱锥P,ABCD中，底面是边长为2 的
42、正方形，2高为(为线段的中点( MPC(?) 求证:PA?平面MDB; (?) N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切 值( 本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。 (?)证明:在四棱锥P,ABCD中，连结AC交BD于点O，连结OM，PO(由条件可得222PO,，AC,2，PA,PC,2，CO,AO,( 因为在?PAC中，M为PC的中点，O为AC的中点， 所以OM为?PAC的中位线，得OM?AP， 又因为AP平面MDB，OM平面MDB， ,所以PA?平面MDB( 6分 (?) 解:设NC?MO,E，由题意得BP,BC,2，且?CPN,90?( 因为M为PC的中点，所以PC?BM， 同理PC?DM，故PC?平面BMD( 所以直线CN在平面BMD内的射影为直线OM，?MEC为直线CN与平面BMD所成的角， 又因为OM?PA，所以?PNC,?MEC( CP在Rt?CPN中，CP,2，NP,1，所以tan?PNC,， ,2NP故直线 CN与平面BMD所成角的正切值为2 ABCD,ABCDABCD，DAB,120:22(如图，已知直四棱柱，底面为菱形， 1111DC11EFCCBD为线段的中点，为线段的中点( 11A1B1EFDCABEFABCD(?)求证:?平面;